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湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试卷
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，，，
∴，
∴最接近标准的是选项C足球．
故答案为：C.
【分析】要判断哪个足球最接近标准质量，需要比较每一个足球与标准质量差值的绝对值（绝对值越小，说明与标准质量偏差越小，越接近标准）.
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿．
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意，从上面看该图形的俯视图如下：
故选：A．
【分析】
准确判断几何体在水平面上的分布情况，即从上方观察时，每一列、每一行是否有小正方体.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与的指数不同，不是同类项，无法合并，故此选项原计算错误；
B、，选项中结果为，符号错误， 故此选项原计算错误；
C、，选项中结果为，符号错误， 故此选项原计算错误；
D、， 故此选项原计算正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的一个因式，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式，据此可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
5．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
　 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■
则被遮盖的两个数据依次是（　　）
A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵5名同学的平均成绩为80分，
∴5名同学的总成绩为分，
∴丙的成绩为分，
此时5名同学的成绩为：76，80，80，81，83，
∵80出现次数最多，
∴众数为80，
∴被遮盖的两个数据依次是80，80．
故答案为：C.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此先求出丙同学的成绩，然后根据在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)可得答案.
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
7．如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【分析】
利用“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这一性质，建立已知角与圆心角的关系，进而结合题目给出的倍数关系求出，最后利用圆周角定理求出度数即可.
8．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为元，现打九折，再优惠元，那么该手机现在的售价为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵打九折即原价乘以，
∴折后价为元，
再优惠元，
∴现售价为元，
故答案为：D.
【分析】根据手机现在售价等于原售价乘以折扣率减去再优惠的价格列式即可.
9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
在中，
，，
．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得出BD=BC=18cm，在Rt△ABD中，根据正切函数定义，结合∠ABC的正切函数值可算出AD的长.
10．若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴m2+2+=0，
∴m2+2=-，
∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-，
作函数图象如图，
在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-的y值随m的增大而增大，
当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-=-=2，
∵6＞2，
∴交点横坐标大于-2，
当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-=-=4，
∵3＜4，
∴交点横坐标小于-1，
∴-2＜m＜-1．
故选A．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
【分析】
先将给定方程进行变形，然后通过分析两个函数的性质的特殊点的函数值，来确定方程解的范围.
11．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】 且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义，必须
解得 且x≠3．
故答案为： 且x≠3
【分析】根据二次有意义的条件，被开方数大于等于0，分式有意义的条件，分母不为0，进行求解即可。
12．知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是　 　．
【答案】-6
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6
故答案为：-6．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
13．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
解得：．
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于0，列出关于a的不等式，再解不等式得出a的取值范围.
14．如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为　 　．
【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点M的坐标为：（m，2m），（m＞0）
根据题意得：m2+（2m）2＝，
解得：m＝1，
即点M的坐标为：（1，2），
把点M（1，2）代入y＝得：
k＝2，
故答案为：2．
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，设点M的坐标为（m，2m），由两点间的距离公式，结合OM＝，得到关于m的一元二次方程，解之求出m的值，从而得到点M的坐标，再将点M的坐标代入y＝，即可算出k的值.
15．若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　度．
【答案】120
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是度．则
解得：．
故答案为：．
【分析】
先求出圆锥底面周长，再根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，利用弧长公式求圆心角即可.
16．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是　 　
【答案】5
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】
解答：解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）；
第二步时候：左边x-2，中间x+2，右边x；
第三步时候：左边x-2，中级x+3，右边x-1；
第四步开始时候，左边有（x-2）张牌，则从中间拿走（x-2）张，则中间所剩牌数为（x+3）-（x-2）=x+3-x+2=5．
所以中间一堆牌此时有5张牌．
【分析】
设初始每堆牌数为x，按步骤依次计算各堆牌数变化，最后求中间堆的数量即可.
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值“”，同时根据二次根式的性质“”，负整数指数幂的法则“”，零指数幂的法则“”分别计算，进而计算二次根式乘法，最后计算实数加减法运算即可.
18．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则分别计算，再根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）分别去括号，进而合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简结果计算即可.
19．如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．
（1）连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）．
①；②；③；④
（2）当，______；
（3）若，，P为上一动点，求的最小值．
【答案】（1）④
（2）
（3）解：过点G作于H，即为的最小值，
∵，，，
∴，
∵，，是的平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
（1）
解：连接、，
在和中，
，
∴，
故选：④；
（2）
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【分析】
（1）根据尺规作图，分析和的三边关系，确定全等的判定依据；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线定义求出，最后在直角三角形中求出度数即可；
（3）根据“垂线段最短”确定GP最小值的几何位置，利用角平分线的性质（角平分线上的点到两边的距离相等）将GP转化为GC，最后利用面积法列方程求解即可.
（1）解：连接、，
在和中，
，
∴，
故选：④；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点G作于H，即为的最小值，
∵，，，
∴，
∵，，是的平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值．
20．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________；
（2）图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）40
（2）54°
解：C级的人数是：（人），
补全条形统计图如下：
（3）700
（4）解：根据题意画树形图如下：
共有12种等可能结果，选中小明的有6种，
则（选中小明）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量；数形结合
【解析】【解答】（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人），
故答案为：40；
（2）解：图1中的度数是；
故答案为：54°；
（3）解：估计不及格的人数为（人）
故答案为：700；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用B级的人数除以其占抽样总人数的百分率，即可求出本次抽样测试的学生人数；
（2）用360°乘以A级人数所占的百分比即可求得∠α的度数；根据四个等级的人数之和等于本次抽样测试的学生人数求出结合C级的人数，继而补全统计图即可；
（3）用该县九年级总人数乘以样本中不及格人数所占百分比，即可估算出该县九年级全部参加这次中考体育科目测试不及格的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能结果，选中小明的有6种，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人），
故答案为：40；
（2）解：图1中的度数是；
C级的人数是：（人），
如图：
（3）解：估计不及格的人数为（人）
故答案为：700；
（4）解：根据题意画树形图如下：
共有12种等可能结果，选中小明的有6种，
则（选中小明）
21．如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，．若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点定义，证明四边形EBFD的对角线平分，从而判定其为平行四边形，得出对边相等；
（2）通过线段数量关系发现为等腰三角形，利用“三线合一”性质证明BEAC，进而利用勾股定理求出高BE的长度，最后结合底边AC计算平行四边形的面积即可.
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积．
22．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．
【答案】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等 ”列出分式方程，求解得出a的值，检验后再求出a+400的值即可；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据“ 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元”列出不等式组，求出不等式组的整数解即可得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
23．如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，由三角形中位线平行第三边得到，由平行线的性质可得，，则，从而利用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得出，进而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接AE，由直径所对的圆周角是直角得，由有两组角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程得到，进而根据∠C的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠C的度数.
（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
24．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
【答案】（1）解：，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由题可知，的“轮转对称方程”是；
【分析】（1）根据“ 轮转对称方程 ”定义直接写出方程，然后用因式分解法解方程即可；
（2）①由于点P、Q的纵坐标相同，故点P、Q关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系；然后根据“轮转对称函数”的定义写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；
②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可；
（3）根据关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限可得抛物线一定与x轴又两个不同的交点及两交点横坐标符号相同，利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式可得△＞0且，结合已知求得；设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，结合两点间的距离公式可得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可．
（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
25．如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接．
（1）填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上）
（2）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值；
（3）如图3，记，，
①试用含m，n的式子表示；
②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
∵，
，
，
，
，
设，，则，
，
整理得：，
解得：或（负数舍去），
在中，，
在中，，
即；
（3）解：①设点到的距离为，边上的高为，在中，平分，
，
∴，
①，
，
在中，②．
联立①②解得，，
又，，
，
，
即；
②连接，
点I是的内心，
，，
，
即，
．
，，，
，
．
在中，，
在中，，
．
∵，
∴，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】（1）证明：是的直径，
，
为的平分线，
，
，，
∴，
；
，，
，，
；
，，
，
，
，，
，
，
，．
故答案为： ；
【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到∠ADC=∠ABC=90°，由角平分线的定义及同弧所对的圆周角相等可推出∠ADB=∠ACB=∠BDC=∠BAC=45°，由等角对等边得出AB=BC，由勾股定理得，，从而即可求出第一空答案；由有两组角相等的两个三角形相似证明，，由相似三角形对应边成比例、等式性质、线段和差及等腰直角三角形性质即可解决后两空答案；
（2）由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得；设，，则，则，解得；在中，由勾股定理算出DN，在中，由正切函数定义求出∠NCD的正切函数值，再根据等角的同名三角函数值相等即可求出∠ABD的正切函数值；
（3）①根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可设点到的距离为，边上的高为，根据三角形面积公式及同高、等高三角形面积等于对应底之比得，则①；在中由勾股定理得②，联立①②，求解表示出AM与CM；由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成即可解决此题；
②连接，根据三角形内心定义及圆周角定理可得，，根据三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出，由等角对等边得BA=BI；由，求出；在中，由勾股定理表示出AC，在中，由等腰直角三角形性质表示出AB，则；由有两组角相等的两个三角形相似证，由相似三角形对应边求出，从而根据线段和差、等量代换即可求出两线段的比值.
（1）证明：是的直径，
，
为的平分线，
，
，，
∴，
；
，，
，，
；
，，
，
，
，，
，
，
，．
故答案为： ；
（2）解：，，
，
∵，
，
，
，
，
设，，则，
，
整理得：，
解得：或（负数舍去），
在中，，
在中，，
即；
（3）解：①设点到的距离为，边上的高为，
在中，平分，
，
∴，
①，
，
在中，②．
联立①②解得，，
又，，
，
，
即；
②连接，
点I是的内心，
，，
，
即，
．
，，，
，
．
在中，，
在中，，
．
∵，
∴，
，
，
．
1 / 1湖南长沙市长郡教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次学情分析数学试卷
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；模型参数可达6710亿个，其中6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．8个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看到的形状图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
　 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■
则被遮盖的两个数据依次是（　　）
A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
8．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为元，现打九折，再优惠元，那么该手机现在的售价为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
10．若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
11．使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
12．知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是　 　．
13．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
14．如图，点M是函数y＝2x与y＝的图象在第一象限内的交点，OM＝，则k的值为　 　．
15．若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　度．
16．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是　 　
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．
（1）连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）．
①；②；③；④
（2）当，______；
（3）若，，P为上一动点，求的最小值．
20．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________；
（2）图1中的度数是________，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为________．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
21．如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，．若，求的面积．
22．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润．
23．如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的度数．
24．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
25．如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接．
（1）填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上）
（2）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值；
（3）如图3，记，，
①试用含m，n的式子表示；
②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，，，
∴，
∴最接近标准的是选项C足球．
故答案为：C.
【分析】要判断哪个足球最接近标准质量，需要比较每一个足球与标准质量差值的绝对值（绝对值越小，说明与标准质量偏差越小，越接近标准）.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿．
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意，从上面看该图形的俯视图如下：
故选：A．
【分析】
准确判断几何体在水平面上的分布情况，即从上方观察时，每一列、每一行是否有小正方体.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与的指数不同，不是同类项，无法合并，故此选项原计算错误；
B、，选项中结果为，符号错误， 故此选项原计算错误；
C、，选项中结果为，符号错误， 故此选项原计算错误；
D、， 故此选项原计算正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的一个因式，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式，据此可判断C选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵5名同学的平均成绩为80分，
∴5名同学的总成绩为分，
∴丙的成绩为分，
此时5名同学的成绩为：76，80，80，81，83，
∵80出现次数最多，
∴众数为80，
∴被遮盖的两个数据依次是80，80．
故答案为：C.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此先求出丙同学的成绩，然后根据在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)可得答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，结合，，得相等，相等，和为，进一步得，，，即可得的度数.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【分析】
利用“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这一性质，建立已知角与圆心角的关系，进而结合题目给出的倍数关系求出，最后利用圆周角定理求出度数即可.
8．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵打九折即原价乘以，
∴折后价为元，
再优惠元，
∴现售价为元，
故答案为：D.
【分析】根据手机现在售价等于原售价乘以折扣率减去再优惠的价格列式即可.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
在中，
，，
．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得出BD=BC=18cm，在Rt△ABD中，根据正切函数定义，结合∠ABC的正切函数值可算出AD的长.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴m2+2+=0，
∴m2+2=-，
∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-，
作函数图象如图，
在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-的y值随m的增大而增大，
当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-=-=2，
∵6＞2，
∴交点横坐标大于-2，
当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-=-=4，
∵3＜4，
∴交点横坐标小于-1，
∴-2＜m＜-1．
故选A．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
【分析】
先将给定方程进行变形，然后通过分析两个函数的性质的特殊点的函数值，来确定方程解的范围.
11．【答案】 且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义，必须
解得 且x≠3．
故答案为： 且x≠3
【分析】根据二次有意义的条件，被开方数大于等于0，分式有意义的条件，分母不为0，进行求解即可。
12．【答案】-6
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6
故答案为：-6．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
解得：．
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于0，列出关于a的不等式，再解不等式得出a的取值范围.
14．【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点M的坐标为：（m，2m），（m＞0）
根据题意得：m2+（2m）2＝，
解得：m＝1，
即点M的坐标为：（1，2），
把点M（1，2）代入y＝得：
k＝2，
故答案为：2．
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，设点M的坐标为（m，2m），由两点间的距离公式，结合OM＝，得到关于m的一元二次方程，解之求出m的值，从而得到点M的坐标，再将点M的坐标代入y＝，即可算出k的值.
15．【答案】120
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是度．则
解得：．
故答案为：．
【分析】
先求出圆锥底面周长，再根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面周长，利用弧长公式求圆心角即可.
16．【答案】5
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】
解答：解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）；
第二步时候：左边x-2，中间x+2，右边x；
第三步时候：左边x-2，中级x+3，右边x-1；
第四步开始时候，左边有（x-2）张牌，则从中间拿走（x-2）张，则中间所剩牌数为（x+3）-（x-2）=x+3-x+2=5．
所以中间一堆牌此时有5张牌．
【分析】
设初始每堆牌数为x，按步骤依次计算各堆牌数变化，最后求中间堆的数量即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值“”，同时根据二次根式的性质“”，负整数指数幂的法则“”，零指数幂的法则“”分别计算，进而计算二次根式乘法，最后计算实数加减法运算即可.
18．【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则分别计算，再根据去括号法则（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）分别去括号，进而合并同类项化简，最后将x、y的值代入化简结果计算即可.
19．【答案】（1）④
（2）
（3）解：过点G作于H，即为的最小值，
∵，，，
∴，
∵，，是的平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】
（1）
解：连接、，
在和中，
，
∴，
故选：④；
（2）
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【分析】
（1）根据尺规作图，分析和的三边关系，确定全等的判定依据；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线定义求出，最后在直角三角形中求出度数即可；
（3）根据“垂线段最短”确定GP最小值的几何位置，利用角平分线的性质（角平分线上的点到两边的距离相等）将GP转化为GC，最后利用面积法列方程求解即可.
（1）解：连接、，
在和中，
，
∴，
故选：④；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点G作于H，即为的最小值，
∵，，，
∴，
∵，，是的平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值．
20．【答案】（1）40
（2）54°
解：C级的人数是：（人），
补全条形统计图如下：
（3）700
（4）解：根据题意画树形图如下：
共有12种等可能结果，选中小明的有6种，
则（选中小明）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量；数形结合
【解析】【解答】（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人），
故答案为：40；
（2）解：图1中的度数是；
故答案为：54°；
（3）解：估计不及格的人数为（人）
故答案为：700；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用B级的人数除以其占抽样总人数的百分率，即可求出本次抽样测试的学生人数；
（2）用360°乘以A级人数所占的百分比即可求得∠α的度数；根据四个等级的人数之和等于本次抽样测试的学生人数求出结合C级的人数，继而补全统计图即可；
（3）用该县九年级总人数乘以样本中不及格人数所占百分比，即可估算出该县九年级全部参加这次中考体育科目测试不及格的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能结果，选中小明的有6种，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：本次抽样测试的学生人数是（人），
故答案为：40；
（2）解：图1中的度数是；
C级的人数是：（人），
如图：
（3）解：估计不及格的人数为（人）
故答案为：700；
（4）解：根据题意画树形图如下：
共有12种等可能结果，选中小明的有6种，
则（选中小明）
21．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点定义，证明四边形EBFD的对角线平分，从而判定其为平行四边形，得出对边相等；
（2）通过线段数量关系发现为等腰三角形，利用“三线合一”性质证明BEAC，进而利用勾股定理求出高BE的长度，最后结合底边AC计算平行四边形的面积即可.
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积．
22．【答案】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据总价除以单价等于数量及“ 商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等 ”列出分式方程，求解得出a的值，检验后再求出a+400的值即可；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据“ 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元”列出不等式组，求出不等式组的整数解即可得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，
由题意，得：，
解得，
经检验是原方程的解；
；
答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元；
（2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台，
由题意，得：
解得，
x为整数，
，共3种方案；
，
y随x的增大而减小，
当时，购进空调台，y有最大值为13300元，
答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，由三角形中位线平行第三边得到，由平行线的性质可得，，则，从而利用“SAS”证，由全等三角形的对应角相等得出，进而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）连接AE，由直径所对的圆周角是直角得，由有两组角相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程得到，进而根据∠C的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠C的度数.
（1）证明：如图，连接，
，
，
点D是的中点，O是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
，
，
．
答：的度数为
24．【答案】（1）解：，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由题可知，的“轮转对称方程”是；
【分析】（1）根据“ 轮转对称方程 ”定义直接写出方程，然后用因式分解法解方程即可；
（2）①由于点P、Q的纵坐标相同，故点P、Q关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系；然后根据“轮转对称函数”的定义写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；
②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可；
（3）根据关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限可得抛物线一定与x轴又两个不同的交点及两交点横坐标符号相同，利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式可得△＞0且，结合已知求得；设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，结合两点间的距离公式可得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可．
（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是，
即，
解得，；
（2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
∵函数与互为“轮转对称函数”，
，
函数的图象的对称轴为；
②，
令，
解得，，
函数的图象过定点，．
（3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
且，
，
同号，
又且，
，
设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
令，
，
，
，
当时，，
即的最大值为6．
25．【答案】（1）
（2）解：，，
，
∵，
，
，
，
，
设，，则，
，
整理得：，
解得：或（负数舍去），
在中，，
在中，，
即；
（3）解：①设点到的距离为，边上的高为，在中，平分，
，
∴，
①，
，
在中，②．
联立①②解得，，
又，，
，
，
即；
②连接，
点I是的内心，
，，
，
即，
．
，，，
，
．
在中，，
在中，，
．
∵，
∴，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】（1）证明：是的直径，
，
为的平分线，
，
，，
∴，
；
，，
，，
；
，，
，
，
，，
，
，
，．
故答案为： ；
【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得到∠ADC=∠ABC=90°，由角平分线的定义及同弧所对的圆周角相等可推出∠ADB=∠ACB=∠BDC=∠BAC=45°，由等角对等边得出AB=BC，由勾股定理得，，从而即可求出第一空答案；由有两组角相等的两个三角形相似证明，，由相似三角形对应边成比例、等式性质、线段和差及等腰直角三角形性质即可解决后两空答案；
（2）由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得；设，，则，则，解得；在中，由勾股定理算出DN，在中，由正切函数定义求出∠NCD的正切函数值，再根据等角的同名三角函数值相等即可求出∠ABD的正切函数值；
（3）①根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可设点到的距离为，边上的高为，根据三角形面积公式及同高、等高三角形面积等于对应底之比得，则①；在中由勾股定理得②，联立①②，求解表示出AM与CM；由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成即可解决此题；
②连接，根据三角形内心定义及圆周角定理可得，，根据三角形外角性质、角的构成及等式性质可推出，由等角对等边得BA=BI；由，求出；在中，由勾股定理表示出AC，在中，由等腰直角三角形性质表示出AB，则；由有两组角相等的两个三角形相似证，由相似三角形对应边求出，从而根据线段和差、等量代换即可求出两线段的比值.
（1）证明：是的直径，
，
为的平分线，
，
，，
∴，
；
，，
，，
；
，，
，
，
，，
，
，
，．
故答案为： ；
（2）解：，，
，
∵，
，
，
，
，
设，，则，
，
整理得：，
解得：或（负数舍去），
在中，，
在中，，
即；
（3）解：①设点到的距离为，边上的高为，
在中，平分，
，
∴，
①，
，
在中，②．
联立①②解得，，
又，，
，
，
即；
②连接，
点I是的内心，
，，
，
即，
．
，，，
，
．
在中，，
在中，，
．
∵，
∴，
，
，
．
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