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浙江省舟山市金衢山五校联考2026数学初中毕业生学业水平第一次质量监测
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．已知四个数：，，，，其中正数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．数130000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
C．描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图
D．调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查
6．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0
8．如图，四边形是菱形，于，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．计算的结果是　 　．
12．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
13．计算：的结果是　 　．
14．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
15．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
16．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分）
17．计算：
18．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程．
计算：
嘉嘉： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 琪琪： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步
（1）请指出两名同学的错误分别在第几步；
（2）请你写出正确的解答过程．
19．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求．
20．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
22．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．
①线段长？
②四边形的面积？
23．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点．
安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度．
24．在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
（1）证明：．
（2）连结交于点K，若，求的值．
（3）作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；正数、负数的概念与分类；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是负数
∴正数共有3个，
故答案为：C．
【分析】先运算乘方、绝对值、多重复号的化简，再根据有理数的分类解答即可．
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示．
故答案为：D.
【分析】根据俯视图是从上面看得到的几何图形解答即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数130000000用科学记数法可表示为．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：.，错误；
.，正确；
.，错误；
.，错误．
故答案为：B.
【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类
【解析】【解答】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》，
∴A选项错误；
∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件，
∴B选项正确；
∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图，
∴C选项错误；
∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查，
∴D选项错误．
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类，统计图的选择，调查的分类判断解答即可.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得；
购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得
因此可列方程组．
故答案为：D.
【分析】设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，根据题意列出方程组即可．
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象经过一、三、四象限可得，求出a的取值范围解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设与交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出长，然后根据菱形的面积公式计算解答．
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故答案为：．
【分析】作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，即可得到，由两点之间线段最短得到此时的值最小为的长，根据勾股定理计算即可．
11．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据同分母分式的运算法则计算，然后月份解答即可.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解： 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】根据积的乘方的逆运算解答即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
15．【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
16．【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得，根据题意得到懂啊，即可求出，利用30°的之间三角形的性质解答即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的化简、乘方、零次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步．
（2）解：原式．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则逐步判断解答即可．
（2）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加减解答即可．
19．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点
（2）解：为的中点，为的中点，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据两直线平行，同位角相等可得， 利用垂径定理证明即可；
（2）根据三角形的中位线可得，在中利用勾股定理求出解答即可．
20．【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
21．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
22．【答案】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可证明结论；
（2）①在中根据勾股定理求出，进而根据线段的和差和等量代换解答即可；
②过点作于，根据面积公式得△ABF的面积公式求出BH长，再根据SSS证明，得到，进而求出四边形BEDF的面积．
23．【答案】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为，
当时，，
∴，
由题可得的长度为，
∴，
∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据对称性可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）计算时的函数值，即可得到长，根据线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点K作于点M，则，根据两角对应相等得到，然后可得利用对应边成比例求出，再根据平行线分线段成比例解答即可；
（3）①由题意可分当与边相切；当与边相切时；当与边相切三种情况画图，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例解答即可
②连接，过点H作于点R，根据折叠的性质可得，证明四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出RH长，利用三角形的面积公式计算解答即可．
1 / 1浙江省舟山市金衢山五校联考2026数学初中毕业生学业水平第一次质量监测
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．已知四个数：，，，，其中正数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；正数、负数的概念与分类；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是正数
∵，，
∴是负数
∴正数共有3个，
故答案为：C．
【分析】先运算乘方、绝对值、多重复号的化简，再根据有理数的分类解答即可．
2．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示．
故答案为：D.
【分析】根据俯视图是从上面看得到的几何图形解答即可．
3．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．数130000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数130000000用科学记数法可表示为．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：.，错误；
.，正确；
.，错误；
.，错误．
故答案为：B.
【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项判断解答即可．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
C．描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图
D．调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件的分类
【解析】【解答】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》，
∴A选项错误；
∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件，
∴B选项正确；
∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图，
∴C选项错误；
∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查，
∴D选项错误．
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类，统计图的选择，调查的分类判断解答即可.
6．为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得；
购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元，
可得
因此可列方程组．
故答案为：D.
【分析】设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，根据题意列出方程组即可．
7．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象经过一、三、四象限可得，求出a的取值范围解答即可．
8．如图，四边形是菱形，于，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设与交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，，
，
，
．
故答案为：B.
【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出长，然后根据菱形的面积公式计算解答．
9．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
10．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴点在以点为圆心、为半径的圆上，
如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，
则，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即最小值是，
故答案为：．
【分析】作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，即可得到，由两点之间线段最短得到此时的值最小为的长，根据勾股定理计算即可．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据同分母分式的运算法则计算，然后月份解答即可.
12．数学老师把分别写有“2026”、“中考”、“必胜”的3张除正面文字外其余相同的卡片，字面朝下随机放在桌面上；你再把这3张卡片排成一行，字面朝上后从左到右恰好排成“2026中考必胜”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解： 将写有“2026”、“中考”、“必胜”的三张卡片分别记为、、，
把三张卡片随机排成一行，所有等可能的结果为：、、、、、，共种，
其中从左到右恰好排成“2026中考必胜”的结果只有种，
故恰好排成“2026中考必胜”的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.
13．计算：的结果是　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】根据积的乘方的逆运算解答即可．
14．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
15．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
16．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得，根据题意得到懂啊，即可求出，利用30°的之间三角形的性质解答即可．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分）
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的化简、乘方、零次幂、负整数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程．
计算：
嘉嘉： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 琪琪： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步
（1）请指出两名同学的错误分别在第几步；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步．
（2）解：原式．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则逐步判断解答即可．
（2）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加减解答即可．
19．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点
（2）解：为的中点，为的中点，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据两直线平行，同位角相等可得， 利用垂径定理证明即可；
（2）根据三角形的中位线可得，在中利用勾股定理求出解答即可．
20．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
21．一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点D转动到点的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点D转动到点的路径长为（）．
（2）解：如图，过点D作于点G，过点E作于点H．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
又∵，
∴点D到直线的距离约为．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DBE的度数，根据角的和差求出，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作于点G，过点E作于点H，在 和中根据正弦的定义求出DG和EH长，再根据线段的和差解答即可.
22．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，．
①线段长？
②四边形的面积？
【答案】（1）证明：连接交于．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②过点作于，
∵，，，，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可证明结论；
（2）①在中根据勾股定理求出，进而根据线段的和差和等量代换解答即可；
②过点作于，根据面积公式得△ABF的面积公式求出BH长，再根据SSS证明，得到，进而求出四边形BEDF的面积．
23．某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点．
安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴．
任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计）
数据采集 顶点F的坐标为，，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度．
【答案】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把点代入，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为，
当时，，
∴，
由题可得的长度为，
∴，
∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据对称性可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）计算时的函数值，即可得到长，根据线段的和差解答即可．
24．在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
（1）证明：．
（2）连结交于点K，若，求的值．
（3）作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
【答案】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点K作于点M，则，根据两角对应相等得到，然后可得利用对应边成比例求出，再根据平行线分线段成比例解答即可；
（3）①由题意可分当与边相切；当与边相切时；当与边相切三种情况画图，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例解答即可
②连接，过点H作于点R，根据折叠的性质可得，证明四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出RH长，利用三角形的面积公式计算解答即可．
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