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浙江省初中名校发展共同体2025-2026学年八年级下学期学业质量阶段调研数学试卷
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数.同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计最中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差
5．用配方法解一元二次方程将其化成的形式，则变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　）
A．70 B．75 C．150 D．350
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数y=（k-3）x+5-k的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知以等腰Rt△ABC1的斜边BC1为直角边向外作第1个等腰Rt△C1BC2，再以等腰Rt△C1BC2的斜边BC2为直角边向外作第2个等腰Rt△C2BC3，……，以此类推，若则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，且满足则该方程的解为（　　）
A． B．
C． D．
10．对于实数x，y，存在正整数n和常数k>0，满足且y=x-8n.甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当k=10，y=22时，则x=45；乙同学：若对于任意的正整数n，都有y≥3，则常数k的取值范围是k≥7.其中正确的结论有（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占40%，期末考试成绩占60%计算.若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为　 　分.
13．一元二次方程的两根为α与β.则的值是　 　.
14．已知a，b满足则a+b=　 　.
15．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　 　.
16．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程.如图1：在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为（因为所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3。聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形EFGD面积为25，则中的a=　 　；b=　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
19．某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如下统计图.
（1）【数据分析】
小华利用平均数和方差进行分析.①处应填　 　环.由表格中的数据可以看出　 　（填“A”或“B”）选手的发挥更稳定.
（2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数：m25、m50、m75的值.
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B ① 0.75
（3）【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔　 　（填“A”或“B”参加青少年射击比赛），并说明理由.
20．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值.
21．观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式：……
（1）请直接写出第4个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ▲ ，并计算：
22．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
23．已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2cm，AB=4cm，BC=6cm，E是BC中点，∠C=45°.已知动点P从点A出发，沿着AB方向以1cm/s的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着CD方向以的速度向终点D匀速运动.当一个点到达终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为ts.
（1）当t=2s时，求PE的长；
（2）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（3）当∠PEQ=90°时，求t的值.
24．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”设其两根为定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中若两个“全整根方程”的特征数对分别为则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①：特征数对M（9，20）；
方程②：特征数对M2（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：
（1）【概念辨析与计算】
已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.
（2）【关联探究与推理】
若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.
（3）【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程”与“全整根方程”且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、原式＝ ，不是最简最简二次根式，故A不符合题意；
B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意；
C、原式＝ ，不是最简最简二次根式，故C不符合题意；
D、 是最简最简二次根式，符合题意
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程；
B、方程不是整式方程，不是一元二次方程；
C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程．
故选：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只把二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A、B选项；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C选项；当被开方数是带分数的时候，需要先将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，据此可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；离差平方和
【解析】【解答】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数，
∴中位数一定不会发生改变，
平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变．
故答案为：B.
【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义判断解答即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】把常数项移项，加上一次项系数一半的平方，左边写成平方的形式解答即可．
6．【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：，
则这组数据的离差平方和为：
．
故答案为：D.
【分析】根据离差平方和的定义解答即可．
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：D.
【分析】根据方程根的情况得到，解得，然后得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，逐项判断解答即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在等腰 中，，
由勾股定理得，
在第①个等腰直角三角形中，，；
在第②个等腰直角三角形中，，；
在第③个等腰直角三角形中，，；
故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为，
则第2026个等腰直角三角形的斜边长为 ．
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理找出规律“第个等腰直角三角形的斜边长为”解答即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
对于一元二次方程，两根之和满足，
∵，
，
解得，
∴，
即方程的解为，．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件得到=-2a，然后根据根与系数的关系得到，根据求出方程的两根解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由 ，
可得，
两边平方得，
，
代入得 ，
验证甲的看法：
∵，，代入得 ，整理得，
解得或，
∵是正整数，
∴，
计算得 ，∴甲错误；
验证乙的看法：
设 ，
若对任意正整数，都有，
，
解得，∴乙正确．
综上，甲错误，乙正确．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件得到，即可得到，将 k=10，y=22代入求出x的值判断甲的说法；把y关于n的二次函数配方得到顶点式，根据最值的取值范围列不等式求出x的值判断乙的说法解答即可．
11．【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
12．【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的数学期末总评成绩为（分）．
故答案为：84.
【分析】根据加权平均数的公式计算解答即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为a与β．
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用根与系数的关系求得，，把变形为，然后整体代入计算即可．
14．【答案】10
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：、满足，
且，
，
∴，
．
故答案为：10.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负性求得的值，然后代入求出b的值，再运算假发解答即可．
15．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
，
．
故答案为：2026.
【分析】根据m是方程的根可得，利用根与系数的关系得到，然后整体代入计算即可．
16．【答案】10；39
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
配方得：，
根据题意：大正方形是配方后的正方形，面积为，
∴ ，
∴右上角的小正方形就是配方额外补充的正方形，面积为，
∴它的面积就是 ；
∵边长为正数，
∴ ，解得，
代入得 ，解得 ．
故答案为：10；39.
【分析】将配方得，即可得到 ， ，求出a，b的值解答即可.
17．【答案】（1）解：原式
（2）原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后运算二次根式的乘除解答即可；
（2）先运算完全平方公式和平方差公式，然后合并解答即可．
18．【答案】（1）解：x（x-4）=0
∴x=0或x-4=0
（2）解：
(x-5)(x-5-8)=0
x-5=0或x-13=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x分解因式，然后根据因式分解法解方程即可；
（2）提取公因式(x-5)，然后利用分解因式法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）9；B
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）B
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的波动程度；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9，B；
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
【分析】（1）根据平均数的公式计算，再比较两个选手的方差，根据方差小的成绩稳定解答即可；
（2）根据四分位数的定义解答即可；
（3）比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，作出决策即可．
20．【答案】（1）解：
∴该方程总有两个实数根.
（2）解：∵，
∴ ，
∴ 或，
解得：，，
即， ，
第1种情况：当是腰，2是底边时，，
，
，
的三边长为：、、2，能组成三角形；
第2种情况：当2是腰，是底边时，，
，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形；
第3种情况：当、2是腰时，，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7；
综上所述：或4或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的概念；根据一元二次方程的根的情况求参数；分类讨论
【解析】【分析】（1）通过计算可得，证明结论；
（2）根据因式分解法求出，，再分三种情况解答即可，当是腰，2是底边时；当2是腰，是底边；当、2是腰时根据三角形的周长和等腰三角形的定义求出k的值解答即可．
21．【答案】（1）
（2）（的自然数）
原式
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：；
【分析】（1）根据前面3个等式的规律写出第4个等式即可；
（2）利用前面等式得出第n个等式：，然后根据裂项相消解答即可．
22．【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）设商品降价元，表示出销售量和每件利润，根据题意可得，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
23．【答案】（1）解：当时，，，
∵，E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：过点D作于点H，
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
过点Q作于点G，于点F．
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴．
若：，
；
若：，
；
综上所述，；
（3）解：，
，
，
∵，
∴，即，
整理得：，
，
解得：，
由于：故．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当时，求出AP和PB长，然后求出BE长，根据勾股定理解答即可；
（2）过点D作于点H，即可得到四边形是矩形，求出AD和AB的值，进而得到，即可得；过点Q作于点G，于点F．则四边形是矩形，即可得到，进而得到是等腰直角三角形，，表示，得出．分，两种情况，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理求PE2和QE2，在Rt△PEQ中利用勾股定理列方程求出t的值即可．
24．【答案】（1）；x2=2；
②∵其特征数对为，
∴ ， ，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得： ，即 ，
代入得，
整理得．
两根积： ，展开得 ，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对： ， ．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴ （）， ，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴ 是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：①，
∴，
解得：或，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用因式分解诶发求出方程的解即可；
②根据方程的特征数对出 ， ， 利用根与系数的关系得到得出，，即可得到，求出k的值解答即可．
（2）根据 方程 的根与系数的关系可得，，再根据方程的根为，可得 ，，然后整体代入表示p和q即可．
（3）解方程求出 ，得出方程B的特征数对．对方程A：可得，，求出特征数对，，根据“关联全整根方程”定义得出，即可得到，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出 是非负完全平方数，求出最大整数n的值即可．
1 / 1浙江省初中名校发展共同体2025-2026学年八年级下学期学业质量阶段调研数学试卷
1．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、原式＝ ，不是最简最简二次根式，故A不符合题意；
B、原式＝3，不是最简最简二次根式，故B不符合题意；
C、原式＝ ，不是最简最简二次根式，故C不符合题意；
D、 是最简最简二次根式，符合题意
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程；
B、方程不是整式方程，不是一元二次方程；
C、方程满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
D、方程中含有两个未知数x，y，不是一元二次方程．
故选：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程”逐项判断解答即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只把二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A、B选项；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C选项；当被开方数是带分数的时候，需要先将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，据此可判断D选项.
4．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数.同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计最中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；离差平方和
【解析】【解答】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数，
∴中位数一定不会发生改变，
平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变．
故答案为：B.
【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义判断解答即可.
5．用配方法解一元二次方程将其化成的形式，则变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】把常数项移项，加上一次项系数一半的平方，左边写成平方的形式解答即可．
6．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　）
A．70 B．75 C．150 D．350
【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：，
则这组数据的离差平方和为：
．
故答案为：D.
【分析】根据离差平方和的定义解答即可．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数y=（k-3）x+5-k的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：D.
【分析】根据方程根的情况得到，解得，然后得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，逐项判断解答即可.
8．如图，已知以等腰Rt△ABC1的斜边BC1为直角边向外作第1个等腰Rt△C1BC2，再以等腰Rt△C1BC2的斜边BC2为直角边向外作第2个等腰Rt△C2BC3，……，以此类推，若则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在等腰 中，，
由勾股定理得，
在第①个等腰直角三角形中，，；
在第②个等腰直角三角形中，，；
在第③个等腰直角三角形中，，；
故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为，
则第2026个等腰直角三角形的斜边长为 ．
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理找出规律“第个等腰直角三角形的斜边长为”解答即可.
9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2，且满足则该方程的解为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
对于一元二次方程，两根之和满足，
∵，
，
解得，
∴，
即方程的解为，．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件得到=-2a，然后根据根与系数的关系得到，根据求出方程的两根解答即可．
10．对于实数x，y，存在正整数n和常数k>0，满足且y=x-8n.甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当k=10，y=22时，则x=45；乙同学：若对于任意的正整数n，都有y≥3，则常数k的取值范围是k≥7.其中正确的结论有（　　）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由 ，
可得，
两边平方得，
，
代入得 ，
验证甲的看法：
∵，，代入得 ，整理得，
解得或，
∵是正整数，
∴，
计算得 ，∴甲错误；
验证乙的看法：
设 ，
若对任意正整数，都有，
，
解得，∴乙正确．
综上，甲错误，乙正确．
故答案为：C.
【分析】根据已知条件得到，即可得到，将 k=10，y=22代入求出x的值判断甲的说法；把y关于n的二次函数配方得到顶点式，根据最值的取值范围列不等式求出x的值判断乙的说法解答即可．
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥-1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得，
故答案为：x≥-1.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+1≥0，求解即可.
12．某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占40%，期末考试成绩占60%计算.若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为　 　分.
【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：他的数学期末总评成绩为（分）．
故答案为：84.
【分析】根据加权平均数的公式计算解答即可.
13．一元二次方程的两根为α与β.则的值是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为a与β．
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用根与系数的关系求得，，把变形为，然后整体代入计算即可．
14．已知a，b满足则a+b=　 　.
【答案】10
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：、满足，
且，
，
∴，
．
故答案为：10.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负性求得的值，然后代入求出b的值，再运算假发解答即可．
15．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　 　.
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
，
．
故答案为：2026.
【分析】根据m是方程的根可得，利用根与系数的关系得到，然后整体代入计算即可．
16．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程.如图1：在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为x+3的大正方形，得到大正方形的面积为（因为所以大正方形的边长为x+3=6，得到x=3。聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形ABCD面积为64，小正方形EFGD面积为25，则中的a=　 　；b=　 　.
【答案】10；39
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
配方得：，
根据题意：大正方形是配方后的正方形，面积为，
∴ ，
∴右上角的小正方形就是配方额外补充的正方形，面积为，
∴它的面积就是 ；
∵边长为正数，
∴ ，解得，
代入得 ，解得 ．
故答案为：10；39.
【分析】将配方得，即可得到 ， ，求出a，b的值解答即可.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后运算二次根式的乘除解答即可；
（2）先运算完全平方公式和平方差公式，然后合并解答即可．
18．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：x（x-4）=0
∴x=0或x-4=0
（2）解：
(x-5)(x-5-8)=0
x-5=0或x-13=0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）提取公因式x分解因式，然后根据因式分解法解方程即可；
（2）提取公因式(x-5)，然后利用分解因式法解一元二次方程即可．
19．某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制如下统计图.
（1）【数据分析】
小华利用平均数和方差进行分析.①处应填　 　环.由表格中的数据可以看出　 　（填“A”或“B”）选手的发挥更稳定.
（2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析.下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数：m25、m50、m75的值.
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B ① 0.75
（3）【作出决策】
根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔　 　（填“A”或“B”参加青少年射击比赛），并说明理由.
【答案】（1）9；B
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）B
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的波动程度；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9，B；
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
【分析】（1）根据平均数的公式计算，再比较两个选手的方差，根据方差小的成绩稳定解答即可；
（2）根据四分位数的定义解答即可；
（3）比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，作出决策即可．
20．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值.
【答案】（1）解：
∴该方程总有两个实数根.
（2）解：∵，
∴ ，
∴ 或，
解得：，，
即， ，
第1种情况：当是腰，2是底边时，，
，
，
的三边长为：、、2，能组成三角形；
第2种情况：当2是腰，是底边时，，
，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形；
第3种情况：当、2是腰时，，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7；
综上所述：或4或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的概念；根据一元二次方程的根的情况求参数；分类讨论
【解析】【分析】（1）通过计算可得，证明结论；
（2）根据因式分解法求出，，再分三种情况解答即可，当是腰，2是底边时；当2是腰，是底边；当、2是腰时根据三角形的周长和等腰三角形的定义求出k的值解答即可．
21．观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式：……
（1）请直接写出第4个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ▲ ，并计算：
【答案】（1）
（2）（的自然数）
原式
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：；
【分析】（1）根据前面3个等式的规律写出第4个等式即可；
（2）利用前面等式得出第n个等式：，然后根据裂项相消解答即可．
22．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）设商品降价元，表示出销售量和每件利润，根据题意可得，列出一元二次方程，求解即可．
（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．
23．已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2cm，AB=4cm，BC=6cm，E是BC中点，∠C=45°.已知动点P从点A出发，沿着AB方向以1cm/s的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着CD方向以的速度向终点D匀速运动.当一个点到达终点时，另一点也随之停止.设运动的时间为ts.
（1）当t=2s时，求PE的长；
（2）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（3）当∠PEQ=90°时，求t的值.
【答案】（1）解：当时，，，
∵，E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：过点D作于点H，
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
过点Q作于点G，于点F．
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴．
若：，
；
若：，
；
综上所述，；
（3）解：，
，
，
∵，
∴，即，
整理得：，
，
解得：，
由于：故．
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当时，求出AP和PB长，然后求出BE长，根据勾股定理解答即可；
（2）过点D作于点H，即可得到四边形是矩形，求出AD和AB的值，进而得到，即可得；过点Q作于点G，于点F．则四边形是矩形，即可得到，进而得到是等腰直角三角形，，表示，得出．分，两种情况，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理求PE2和QE2，在Rt△PEQ中利用勾股定理列方程求出t的值即可．
24．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”.对于“全整根方程”设其两根为定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中若两个“全整根方程”的特征数对分别为则称这两个方程互为“关联全整根方程”.
举例说明：方程①：特征数对M（9，20）；
方程②：特征数对M2（6，5）；
验证：因为9+6=|20-5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”.解答下列问题：
（1）【概念辨析与计算】
已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”.
①则该方程的两根分别为 ▲ ， ▲ ；
②若其特征数对为M（3，2），求k的值.
（2）【关联探究与推理】
若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为αβ和α+1，β+1.请用含a，b的代数式表示p，q.
（3）【AI验证与拓展】
某同学利用AI工具生成了“全整根方程”与“全整根方程”且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值.
【答案】（1）；x2=2；
②∵其特征数对为，
∴ ， ，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得： ，即 ，
代入得，
整理得．
两根积： ，展开得 ，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对： ， ．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴ （）， ，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴ 是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：①，
∴，
解得：或，
故答案为：；；
【分析】（1）①利用因式分解诶发求出方程的解即可；
②根据方程的特征数对出 ， ， 利用根与系数的关系得到得出，，即可得到，求出k的值解答即可．
（2）根据 方程 的根与系数的关系可得，，再根据方程的根为，可得 ，，然后整体代入表示p和q即可．
（3）解方程求出 ，得出方程B的特征数对．对方程A：可得，，求出特征数对，，根据“关联全整根方程”定义得出，即可得到，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出 是非负完全平方数，求出最大整数n的值即可．
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