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第二十章勾股定理单元知识点及其练习题
知识点
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
（2）公式变形：a= b= c=
(3)利用勾股定理进行计算:
①.已知两边求第三边：
已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边长度.
已知斜边和一条直角边，求另一条直角边.
②.解决实际问题中的应用：比如在建筑、测量等领域。如要测量一个池塘两点间的距离，可构造直角三角形，通过测量直角边长度利用勾股定理计算斜边（两点间距离）.
③.勾股定理的变形形式：a2=c2 b2,b2=c2 a2这些变形在计算直角边时很有用.
（4）勾股定理应用的常见类型：
①已知直角三角形的任意两边长求第三边；
②已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；
③证明包含由平方(算术平方根）关系的几何问题；
④求解几何体表面上的的最短路径问题；
⑤构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产，生活中的实际问题.
（5）求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
（6）利用勾股定理表示无理数的方法:
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
②以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点.
在原点左边的点表示是负无理数；在原点右边的点表示是正无理数.
（7）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
①设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
②用已知含x的代数式表示出其他线段长；
③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
④解这个方程，从而求出所求线段长.
（8）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（9）特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
（10）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
（11）常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
（12）勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
(13)题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
(14)判断三角形形状
①.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形.
②.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状.
若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形.
第二十章勾股定理单元测试题
（满分100分 时间40分钟）
一、选择题（每小题 ５ 分，共 ４０ 分）
１．下列各组数据中，不是勾股数的是 （ ）
Ａ．３，４，５ Ｂ．７，２４，２５ Ｃ．８，１５，１７ Ｄ．５，７，９
２．在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，若三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，则下列结论不可能成立的是 （ ）
Ａ．ａ＝３ｋ，ｂ＝４ｋ，ｃ＝５ｋ（ｋ≠０） Ｂ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝３∶２∶２
Ｃ．ａ∶ｂ∶ｃ＝１∶１∶ Ｄ．∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ
３．如图，网格中每个小正方形的边长均为 １，以 Ａ 为圆心，ＡＢ 为半径画弧，交网格线于点 Ｄ，则 ＥＤ 的长为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．无法确定
４．如图，在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ，ＢＤ 相交于点 Ｏ，且 ＡＣ⊥ＢＤ，若ＡＤ＝２，ＢＣ＝４，则ＡＢ２＋ＣＤ２的值为 （ ）
Ａ．８ Ｂ．１４ Ｃ．２０ Ｄ．２６
５．如图，高速公路上的 Ａ，Ｂ 两点相距 １０ｋｍ，Ｃ，Ｄ 为两村庄，已知 ＤＡ ＝４ｋｍ，ＣＢ ＝ ６ｋｍ．ＤＡ⊥ＡＢ 于 Ａ，ＣＢ⊥ＡＢ 于 Ｂ，现要在 ＡＢ 上建一个服务站 Ｅ，使得Ｃ，Ｄ 两村庄到服务站 Ｅ 的距离相等，则 ＥＡ 的长是（ ）
Ａ．４ ｋｍ Ｂ．５ ｋｍ Ｃ．６ ｋｍ Ｄ．2ｋｍ
６．如图，在长方形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ３ ｃｍ，ＡＤ ＝ ９ ｃｍ，将此长方形折叠，使点 Ｂ 与点 Ｄ 重合，折痕为 ＥＦ，则△ＡＢＥ 的面积为（ ）
Ａ．３ ｃｍ２ Ｂ．４ ｃｍ２ Ｃ．６ ｃｍ２ Ｄ．１２ ｃｍ２
７．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ ＝ ９０°，∠Ｂ＝ ３０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＤ 平分∠ＣＡＢ 交 ＢＣ 于点 Ｄ，点Ｅ 为边 ＡＢ 上一点，则线段 ＤＥ 长度的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．３
８．如图所示的是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ＡＢＣＤ，连接 ＡＥ，ＤＥ，若 ＡＤ＝ＡＥ，ＤＥ＝2，则正方形 ＡＢＣＤ 的边长是 （ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ2 Ｄ．2
二、填空题（每小题 ５ 分，共 ２０ 分）
９．一个三角形的三边长的比为３∶４∶５，且其周长为２４ｃｍ，则它的面积为 cm２．
１０．如图所示的是由相同的小正方形组成的网格，点 Ａ，Ｂ，Ｐ 是网格线的交点，则∠ＡＰＢ＝ ．
１１．如图，教室的墙面 ＡＤＥＦ 与地面 ＡＢＣＤ 垂直，点 Ｐ 在墙面上．若 ＰＡ ＝ ＡＢ ＝ １０ 米，点 Ｐ 到 ＡＤ 的距离是 ６ 米，有一只蚂蚁要从点 Ｐ爬到点 Ｂ，它的最短行程是 米．
１２．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点 Ｐ在ｘ轴的正半轴上，点 Ａ 的坐标为（３，４）．连接 ＯＡ，ＡＰ，若△ＡＯＰ是等腰三角形，那么所有满足条件的点Ｐ的坐标为 ．
三、解答题（共 ４０ 分）
１３．（１２分）如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ为ＡＣ上一点，连接ＢＤ，ＢＣ ＝ ２０，ＣＤ＝ １２，ＢＤ＝ １６．
（１）试判断△ＡＢＤ 的形状，并说明理由．
（２）求 ＡＤ 的长．
14.（１４分） 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下记录表：
数据处理组得到测量数据以后做了认真分析，他们发现根据测量组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度 ＡＤ．请完成以下任务：
（１）求风筝离地面的垂直高度（ＡＤ 的长）．
（２）如果小明想要风筝沿 ＤＡ 方向再上升 １２ 米，ＢＣ长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？
１５．（１４分）如图，长方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ８，ＢＣ ＝ １０，在边 ＣＤ 上取一点 Ｅ，使得将△ＡＤＥ 沿 ＡＥ 折叠后点 Ｄ 恰好落在 ＢＣ 边上的点 Ｆ 处．
（１）求 ＣＥ 的长．
（２）在（１）的条件下，ＢＣ 边上是否存在一点 Ｐ，使得 ＰＡ ＋ＰＥ 的值最小？ 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案
１．Ｄ
２．Ｂ
３．Ａ
４．Ｃ
５．Ｃ
６．Ｃ
７．Ｃ
８．Ｄ
９．２４
１０．135 °
１１．8
１２．（５，０）或（６，０）或（，0）
１３．解析 （１） △ＡＢＤ 是直角三角形．
理由：∵ＣＤ２＋ＢＤ２＝１２２＋１６２＝４００，ＢＣ２＝２０２＝４００，
∴ ＣＤ２＋ＢＤ２ ＝ＢＣ２，
∴ △ＢＣＤ 是直角三角形，且∠ＢＤＣ＝ ９０°，
∴ ∠ＡＤＢ＝ １８０°－∠ＢＤＣ＝ ９０°，
∴ △ＡＢＤ 是直角三角形．
（２）
14.解析 （１）∵ 在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ １５ 米，
ＡＢ＝１７米，
∴ＡＣ＝＝ ８（米），
又∵ ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ，ＣＤ＝１.７ 米，
∴ ＡＤ＝８＋１.７＝９.７（米）．
答：风筝离地面的垂直高度为 ９.７ 米．
（２）∵风筝沿ＤＡ方向再上升１２米后，风筝拉线的长为（８＋１２）２＋１５２＝２５（米），
∴他应该再放出 ２５－１７ ＝ ８（米）风筝拉线．
１５．解析 （１） ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是长 方 形， ＡＢ ＝８，ＢＣ＝１０，
∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝９０°，ＣＤ＝ＡＢ＝８，ＡＤ＝ＢＣ＝１０，由折叠知ＥＦ＝ＤＥ，ＡＦ＝ ＡＤ＝ １０，
∴ 在Ｒｔ△ＡＢＦ 中，根据勾股定理得 ＢＦ＝＝ ６，
∴ ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝ ４，
设ＣＥ＝ ｘ，则 ＥＦ＝ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝ ８－ｘ，
在 Ｒｔ△ＥＣＦ 中，根据勾股定理得 ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２，
∴ １６＋ｘ２＝（８－ｘ）２，
∴ ｘ ＝ ３，∴ ＣＥ＝ ３．
（２）存在．如图，延长 ＥＣ 至 Ｅ′，使 ＣＥ′ ＝ ＣＥ ＝ ３，连接 ＡＥ′交 ＢＣ 于 Ｐ，连接 ＰＥ，此时 ＰＡ＋ＰＥ 的值最小，最小值为 ＡＥ′的长，
∵ ＣＤ＝ ８，
∴ ＤＥ′＝ＣＤ＋ＣＥ′＝ ８＋３ ＝ １１，
在 Ｒｔ△ＡＤＥ′中，根据勾股定理得ＡＥ′＝＝ ．故 ＰＡ＋ＰＥ 的最小值为．

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