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第二十章勾股定理第2节：勾股定理的逆定理及其应用
知识点
（1）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
（2）特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
（3）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
（4）常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
（5）勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
(6)题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
(7)判断三角形形状
①.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形.
②.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状.
若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形.
练习题
第 1 课时 勾股定理的逆定理
１．以下列各组线段长为边长，组成的三角形不是直角三角形的是 （ ）
Ａ．1，1， Ｂ．1，， Ｃ．３，４，５ Ｄ．４，５，６
２．已知 ａ，ｂ，ｃ 为△ＡＢＣ 的三边长，下列条件中不能判定△ＡＢＣ 是直角三角形的是 （ ）
Ａ．∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ Ｂ．ａ＝６，ｂ＝８，ｃ＝１０
Ｃ．ａ２＋ｂ２＝ｃ２ Ｄ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝２∶３∶４
３．如图，ＢＣ ＝ ５，ＡＣ ＝ １２，ＡＢ ＝ １３．Ｐ是线段 ＡＢ 上一点，连接 ＰＣ，ＰＣ 的长不可能是（ ）
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
４．如图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，Ｄ是 ＣＡ 的延长线上一点，连接 ＢＤ．若 ＡＣ ＝ ８，ＡＤ ＝ １７，ＢＤ＝１５，则△ＡＢＤ 的面积为 ．
５．如图，网格中每个小正方形的边长为 １， △ＡＢＣ 的 三 个 顶 点 均 在 格 点 上， 求证：△ＡＢＣ为直角三角形．
６．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝９，ＡＣ＝１２，在 △ＡＢＥ中，ＤＥ 是ＡＢ 边上的高，ＤＥ＝８，△ＡＢＥ 的面积为 ６０．
（１）ＡＢ 的长为 ．
（２）求四边形 ＡＣＢＥ 的面积．
７．下列是勾股数的一组是 （ ）
Ａ．４，５，６ Ｂ．1，， Ｃ．５，１２，１３ Ｄ．１，，
８．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①３，４，５；②５，１２，１３；③７，２４，２５；④９，４０，４１；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
９．已知△ＡＢＣ 的三边长 ａ，ｂ，ｃ 满足（ａ－ｂ）２＋ ＋｜ｃ－3｜ ＝ ０，则△ＡＢＣ 是（ ）
Ａ．等腰直角三角形 Ｂ.等腰三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.等边三角形
１０．如果ｍ表示大于１的整数，设ａ＝２ｍ，ｂ＝ｍ２－１，ｃ＝２ｍ２＋２ｍ，ｄ＝ｍ２＋１，其中任选三个数能构成勾股数的是 （ ）
Ａ．ａ，ｂ，ｃ Ｂ．ａ，ｂ，ｄ Ｃ．ａ，ｃ，ｄ Ｄ．ｂ，ｃ，ｄ
１１．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ 均在小正方形的顶点上，线段 ＡＢ，ＣＤ 交于点 Ｆ，若∠ＣＦＢ＝ α，则∠ＡＢＥ 的度数为 （用含 α 的式子表示）．
１２．在平面直角坐标系中，点Ｃ（－３，０），点 Ａ，Ｂ 分别在 ｘ 轴，ｙ 轴的正半轴上，且满足＋｜ＯＡ－２｜＝０，试判断△ＡＢＣ的形状．
１３．已知：如 图，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ １３，ＡＣ＝ ５，△ＡＢＣ 的周长为 ３０．
（１）证明：△ＡＢＣ 是直角三角形．
（２）过点 Ｃ 作 ＣＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄ，点 Ｅ 为 ＡＢ 边上的一点，且 ＣＥ＝ＢＥ，过点 Ｅ 作 ＥＦ⊥ＡＢ 交∠ＡＣＢ的平分线于点 Ｆ．
①证明：∠ＤＣＦ＝∠ＥＣＦ．
②求线段 ＥＦ 的长．
１４．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（１）如图 １，已知格点（小正方形的顶点）Ｏ，Ａ，Ｂ，若 Ｍ 为格点，请直接画出所有以 ＯＡ，ＯＢ 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 ＯＡＭＢ．
（２）如图 ２，将△ＡＢＣ 绕顶点 Ｂ 按顺时针方向旋转６０°，得到△ＤＢＥ，连接 ＡＤ，ＤＣ，∠ＤＣＢ＝３０°，求证：ＤＣ２＋ＢＣ２ ＝ ＡＣ２，即四边形 ＡＢＣＤ 是勾股四边形．
（３）如图 ３，在四边形 ＡＢＣＤ 中，△ＢＣＤ 为等边三角形，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，∠ＤＡＢ＝３０°，求 ＡＣ 的长．
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
１．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 ５ 里，１２ 里，１３ 里，则该沙田的面积为（“里”是我国市制长度单位，１ 里 ＝５００ 米） （ ）
Ａ.７.５平方千米 Ｂ.７５平方千米 Ｃ.１平方千米 Ｄ.７５０平方千米
２．在某一时刻，渔船 Ａ 和渔船 Ｂ 与灯塔 Ｏ 的位置如图所示，测得 ＯＡ ＝１２海里，ＯＢ＝９海里，ＡＢ＝１５海里，在灯塔Ｏ处测得渔船 Ａ 位于北偏东２４°方向，则灯塔 Ｏ 位于渔船 Ｂ 的 （ ）
Ａ．北偏西 ２４°方向 Ｂ．南偏西 ２４°方向
Ｃ．北偏西 ６６°方向 Ｄ．南偏西 ６６°方向
３．为了增强学生的环保意识和生态意识，某中学在植树节当天组织了植树活动，这次植树活动中，小洛所在班级一共植树 １２ 棵，按如图所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是２ｍ，则小洛所在班级植树围成的区域（△ＡＢＣ）的面积为 ｍ２．
４．如图，分别以△ＡＢＣ 的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，若Ｓ１＋Ｓ２＝Ｓ３，则△ＡＢＣ 的形状为 三角形．
５．小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现 ＡＢ＝ １３ ｃｍ，ＡＤ＝ ５ｃｍ，∠ＤＢＣ ＝ ９０°，ＢＣ＝１６ｃｍ，ＣＤ＝２０ ｃｍ．根据设计要求需保证ＡＤ∥ＢＣ．请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由．
６．如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄 Ｃ，河边原有两个取水点 Ａ，Ｂ，其中 ＡＢ＝ ＡＣ．现在由 Ｃ 到 Ａ 的路暂时不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 Ｈ（Ａ，Ｈ，Ｂ 在同一条直线上），并新修一条公路 ＣＨ，测得ＣＢ＝２千米，ＣＨ＝ １.６千米，ＨＢ＝１.２ 千米．
（１）公路 ＣＨ 是不是从村庄 Ｃ 到河边的最短路径？请通过计算加以说明．
（２）求原来的路线 ＡＣ 的长．
７．如图所示的是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架ＡＣ＝８０ｃｍ，ＣＢ＝６０ ｃｍ，两轮中心的距离 ＡＢ＝ １００ ｃｍ，则点 Ｃ 到 ＡＢ 的距离为 ｃｍ．
8．如图，在等腰 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ４，Ｄ 是 ＢＣ 边上的一个动点，连接 ＡＤ，则 ＡＤ 的最小值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知 Ａ（３，０），Ｂ（０，２），过点 Ｂ 作 ｙ 轴的垂线ｌ，Ｐ为直线ｌ上一动点，连接 ＰＯ，ＰＡ，则ＰＯ＋ＰＡ的最小值为 ．
10．（１）探究：如图①，点 Ｐ，Ｑ 为△ＡＢＣ 的边 ＡＢ，ＡＣ 上的两定点，在 ＢＣ 上求作一点 Ｍ，使△ＰＱＭ 的周长最小．
（２）应用：如图②，在长方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ６，ＡＤ ＝８，点 Ｅ，Ｆ 分别为边ＡＢ，ＡＤ 的中点，点 Ｍ，Ｎ 分别为 ＢＣ，ＣＤ 上的动点，求四边形 ＥＦＮＭ 周长的最小值．
（３）拓展：如图③，在△ＡＢＣ 中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝ ９０°，点 Ｄ 在ＢＣ上，ＢＤ ＝ ３，ＤＣ ＝ １，点 Ｐ 是 ＡＢ 上的动点，试求ＰＣ＋ＰＤ的最小值．
11．如图所示的是一个三级台阶， 每 一 级 台 阶 的 长、 宽、 高 分 别 是 ５０ ｃｍ、３０ ｃｍ、１０ ｃｍ，Ａ 和 Ｂ 是这个台阶的两个相对的顶点，Ａ 点有一只壁虎，它想到 Ｂ 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从 Ａ 点出发，沿着台阶面爬到 Ｂ 点，至少需爬 （ ）
Ａ．１３ ｃｍ Ｂ．４０ ｃｍ Ｃ．１３０ ｃｍ Ｄ．１６９ ｃｍ
12．如图，长方体的长为 １０ｃｍ，宽为８ｃｍ，高为１６ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点Ａ爬到点Ｂ，需要爬行的最短路程是 ｃｍ ．
13．如图 １，圆柱形杯子高为 １８ ｃｍ，底面周长为２４ ｃｍ，在杯内壁离杯底 ４ ｃｍ 的点 Ｂ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿２ ｃｍ 与蜂蜜相对的点 Ａ 处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁 Ａ 处沿着最短路径到达内壁 Ｂ 处．
（１）图 ２ 是杯子的侧面展开图，请在杯沿 ＣＤ 上确定一点 Ｐ，使蚂蚁沿 Ａ→Ｐ→Ｂ 爬行的距离最短．
（２）结合图 ２，求出蚂蚁爬行的最短路径长．
１4．在△ＡＢＣ 纸片中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＣ＝ １２，ＢＣ ＝ ５．现将△ＡＢＣ 按如图所示的方式折叠，使点 Ｃ 落在 ＡＢ 上的点 Ｄ 处，折痕为 ＢＥ，则 ＤＥ的长为 （ ）
Ａ． Ｂ．６ Ｃ． Ｄ．３ ５
15．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ 纸片中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝ ６，ＢＣ＝ ８，点 Ｄ 在边 ＢＣ 上，将△ＡＢＤ 折叠得到△ＡＢ′Ｄ， ＡＤ 为 折 痕， ＡＢ′ 与 边 ＢＣ 交 于 点 Ｅ． 若∠ＤＥＢ′＝ ９０°，则 ＢＤ 的长是 （ ）
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
16．如图，三角形纸片 ＡＢＣ 中，点 Ｄ是 ＢＣ 边上一点，连接 ＡＤ，把△ＡＢＤ 沿着直线 ＡＤ翻折，得到△ＡＥＤ，ＤＥ 交 ＡＣ 于点 Ｇ，连接 ＢＥ 交 ＡＤ于点 Ｆ，若 ＤＧ＝ＥＧ，ＡＦ＝ ４，ＡＢ＝ ５，△ＡＥＧ 的面积为，则 ＢＤ 的长是 （ ）
Ａ． １３ Ｂ． １０ Ｃ． ７ Ｄ． ５
17．如图，在△ＡＢＣ 纸片中，∠Ａ ＝９０°，∠Ｂ＝ ３０°，ＢＣ ＝＋1，点 Ｅ，Ｆ 分别是 ＢＣ，ＡＣ边上的动点，沿 Ｅ，Ｆ 所在直线折叠△ＣＥＦ，使点 Ｃ的对应点 Ｃ′始终落在边 ＡＢ 上，当△ＢＥＣ′是直角三角形时，ＢＣ′的长为 ．
18．如图，将长方形纸片 ＡＢＣＤ 沿直线 ＥＦ 折叠，使点 Ｄ 落在边 ＢＣ 的中点 Ｍ 处． 若ＡＢ＝ ４，ＢＣ＝ ６，则 ＣＦ＝ ．
19．如图，长方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝ ８，ＢＣ ＝ ６，Ｐ 为 ＡＤ 上一点，将△ＡＢＰ 沿 ＢＰ 翻折至△ＥＢＰ，ＰＥ 与 ＣＤ 相交于点 Ｏ，且 ＯＥ ＝ＯＤ，ＢＥ与 ＣＤ 相交于点 Ｆ．
（１）求证：ＯＰ＝ＯＦ．
（２）求 ＡＰ 的长．
20．如图，在长方形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ＝ ９，点 Ｇ 在边 ＡＤ 上，ＡＢ＝ＧＤ＝ ４，边 ＢＣ 上有一点 Ｈ，将长方形沿 ＧＨ 折叠，点 Ｃ 和点 Ｄ 的对应点分别是点 Ｃ′和点 Ｄ′，当Ａ，Ｄ′，Ｃ′三点恰好在同一条直线上时，求 ＡＣ′的长．
21．某占地面积为 ４００ ｍ２ 的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化，该办公区的规划如图所示．已知 ＡＢ ＝ １２ ｍ，ＢＣ ＝ ９ ｍ，ＣＤ＝８ ｍ，ＡＤ＝１７ ｍ，∠ＡＢＣ＝９０°．
（１）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条连接点 Ａ 到点 Ｃ 的直道，求这条直道 ＡＣ 的长度．
（２）规划时， 要求该办公区的绿化面积不低于３０％，请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由．
22．【问题背景】如图①，Ｐ是等边△ＡＢＣ 内一点，连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．若ＰＡ＝５，ＰＢ ＝ ３，ＰＣ ＝ ４，求∠ＢＰＣ 的度数．下面是小英同学的部分解题过程：
解：把△ＢＰＣ 绕点 Ｂ 逆时针旋转 ６０°得到△ＢＰ′Ａ，连接 ＰＰ′，由旋转可得△Ｐ′ＢＡ≌△ＰＢＣ，∠ＰＢＰ′＝ ６０°，
∴ ∠ＢＰ′Ａ ＝∠ＢＰＣ，∠Ｐ′ＢＡ ＝∠ＰＢＣ，Ｐ′Ｂ＝ＰＢ＝ ３，ＡＰ′＝ＰＣ＝ ４．……
（１）请你帮助小英续写解题过程．
【解决问题】
（２）如图②，点 Ｄ 是等腰 Ｒｔ△ＡＢＣ 内一点，ＡＣ＝ＢＣ，连接 ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ，ＡＤ＝５，ＢＤ＝３，ＣＤ＝2，求∠ＢＤＣ 的度数．
23．阅读下列材料，然后回答问题．
已知平面直角坐标系内两点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则这两点间的距离可用下列公式计算：ＭＮ ＝．例如：已知 Ｐ（ ５，１），Ｑ（３，－２ ）， 则 这 两 点 间 的 距 离 为 ＰＱ＝＝． 特 别 地， 如 果 Ｍ（ｘ１，ｙ１ ），Ｎ（ｘ２，ｙ２）两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为ＭＮ＝ ｜ｘ１－ｘ２｜或 ＭＮ＝ ｜ ｙ１－ｙ２｜ ．
（１）已知 Ａ（ １，４），Ｂ（ － ２，３），求 Ａ，Ｂ 两点间的距离．
（２）已知 Ａ，Ｂ 两点在平行于 ｙ 轴的同一条直线上，点 Ａ 的纵坐标为 ６，点 Ｂ 的纵坐标为－１，求 Ａ，Ｂ 两点间的距离．
（３） 已知 △ＡＢＣ 的顶点坐标分别为 Ａ （ ０， ４），Ｂ（－１，２），Ｃ（４，２），你能判断△ＡＢＣ 的形状吗？ 请说明理由．
答案
第 1 课时 勾股定理的逆定理
１．Ｄ
２．Ｄ
３．Ａ
４．６０
５．证明 由题图得，ＡＢ２＝６２＋４２＝５２，ＡＣ２＝２２＋３２＝１３，ＢＣ２＝１２＋８２＝６５，
∵ ５２＋１３ ＝ ６５，
∴ ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，
∴ △ＡＢＣ 为直角三角形．
６．解析 （１）由题意得 Ｓ△ＡＢＥ＝ＡＢ·ＤＥ＝ＡＢ×８ ＝ ６０，
∴ ＡＢ＝ １５．
故答案为 １５．
（２）∵ 在△ＡＢＣ 中，ＢＣ＝ ９，ＡＣ＝ １２，ＡＢ＝ １５，
∴ ＢＣ２＋ＡＣ２＝９２＋１２２＝２２５＝１５２ ＝ＡＢ２，
∴ △ＡＢＣ 是直角三角形，且∠Ｃ＝ ９０°．
∴ Ｓ△ＡＢＣ＝×９×１２ ＝ ５４，
∴ Ｓ四边形ＡＣＢＥ＝ Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＢＥ＝ ５４＋６０ ＝ １１４．
７．Ｃ
８．１１，６０，６１
９．Ａ
１０．Ｂ
１１．９０°＋α
１２．解析 ∵＋｜ＯＡ－２｜＝ ０，
∴ＯＢ２＝ ６，ＯＡ＝ ２，
∴ ＯＢ＝ ６ （负值已舍），
∵ 点 Ａ，Ｂ分别在 ｘ 轴，ｙ轴的正半轴上，
∴ Ａ（２，０），Ｂ（０， ６ ），
∴ ＢＣ２＝ＯＢ２ ＋ＯＣ２＝６＋ ９＝１５，ＡＢ２＝ＯＢ２＋ＯＡ２＝６＋４＝１０，
∵ＡＣ＝２－（－３）＝ ５，
∴ ＡＣ２＝２５，
∴ ＢＣ２＋ＡＢ２ ＝ ＡＣ２，
∴ △ＡＢＣ 是直角三角形．
１３．解析 （１）证明：∵ ＡＢ ＝ １３，ＡＣ ＝ ５，△ＡＢＣ 的周长为 ３０，
∴ ＢＣ＝ ３０－１３－５ ＝ １２，
∵ ＡＣ２＋ＢＣ２＝５２＋１２２＝ １６９，ＡＢ２＝１６９，
∴ ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ ＡＢ２，
∴ △ＡＢＣ 是直角三角形．
(2)①略 ②EF=
１４．解析 （１）如图 １，勾股四边形 ＯＡＭＢ 即为所求．
（2）证明：连接 ＣＥ，如图 ２，
∵ △ＡＢＣ 绕顶点 Ｂ 按顺时针方向旋转６０°，得到△ＤＢＥ，
∴ ＡＣ ＝ ＤＥ，ＢＣ＝ ＢＥ，∠ＣＢＥ ＝ ６０°，
∴△ＢＣＥ 是等边三角形，
∴ ＥＣ ＝ ＢＣ， ∠ＢＣＥ ＝ ６０°，
∵∠ＤＣＢ ＝ ３０°，
∴∠ＤＣＥ＝ ９０°，
∴ ＤＣ２＋ＥＣ２＝ＤＥ２，
∴ ＤＣ２ ＋ＢＣ２ ＝ＡＣ２，即四边形 ＡＢＣＤ 是勾股四边形．
（３）如图，将△ＡＢＣ绕顶点Ｂ按逆时针方向旋转６０°，使点 Ｃ 与点 Ｄ 重合，得到△ＥＢＤ，连接 ＡＥ，
∴ ＡＢ＝ＢＥ，ＡＣ＝ＤＥ，∠ＡＢＥ＝ ６０°，
∴ △ＡＢＥ 是等边三角形，
∴ ＢＥ ＝ ＡＥ ＝ ＡＢ，∠ＢＡＥ ＝ ６０°，
∵∠ＤＡＢ ＝３０°，
∴∠ＤＡＥ ＝∠ＤＡＢ ＋∠ＢＡＥ ＝３０°＋６０° ＝９０°，
∴ △ＤＡＥ 为直角三角形，
∴ ＤＥ２＝ＡＤ２＋ＡＥ２，即ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＡＢ２，
∴ ＡＣ２＝８２＋６２，
∴ ＡＣ＝ １０．
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
１．Ａ
２．Ｃ
３．２４
４．直角
５．解析 符合设计要求．
理由：∵ ∠ＤＢＣ ＝９０°，ＢＣ ＝ １６ｃｍ，ＣＤ ＝ ２０ｃｍ，
∴ ＢＤ ＝＝ １２（ｃｍ），
在△ＡＢＤ 中，ＡＢ＝ １３ ｃｍ，ＡＤ＝ ５ ｃｍ，
∴ ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝５２＋１２２＝１３２ ＝ＡＢ２，
∴ △ＡＢＤ 是直角三角形，且∠ＡＤＢ＝ ９０°，
∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＤＢＣ，
∴ ＡＤ∥ＢＣ．
故该尾翼符合设计要求．
６．解析 （１）是．
理由：在△ＣＨＢ 中，ＣＢ ＝２千米，ＣＨ＝ １.６ 千米，ＨＢ＝ １.２ 千米，
∴ ＣＨ２ ＋ＨＢ２ ＝ ＣＢ２，
∴ △ＣＨＢ 是直角三角形，且∠ＣＨＢ＝ ９０°，
∴ ＣＨ⊥ＡＢ，
故公路 ＣＨ 是从村庄 Ｃ 到河边的最短路径．
（２）设 ＡＣ＝ ＡＢ＝ ｘ 千米，则 ＡＨ＝ （ｘ－１.２）千米，
在 Ｒｔ△ＡＣＨ 中，ＣＨ＝ １.６ 千米，
由勾股定理得 ＡＣ２ ＝ ＡＨ２＋ＣＨ２，
即 ｘ２＝（ｘ－１.２）２＋１．６２，
解得ｘ＝．
答：原来的路线 ＡＣ 的长为千米.
７．４８
8．2
9．５
10．解析 （１）如图①所示，作点 Ｐ 关于 ＢＣ 的对称点Ｐ′，连接 Ｐ′Ｑ，交 ＢＣ 于点 Ｍ，连接 ＰＱ，ＰＭ，则 ＰＭ ＝Ｐ′Ｍ，此时△ＰＱＭ 的周长最小，为 ＰＱ＋ＰＭ＋ＱＭ ＝ＰＱ＋Ｐ′Ｍ＋ＱＭ＝ＰＱ＋Ｐ′Ｑ，
∴ 点 Ｍ 即为所求．
（2）5
（3）5
11．Ｃ
12．２０
13．解析 （１）如图所示，作点 Ａ 关于 ＣＤ 的对称点 Ａ１，连接 Ａ１Ｂ 交 ＣＤ 于点 Ｐ，连接 ＡＰ，点 Ｐ 即为所求．
（２）20cm
14．Ａ
15．Ｄ
16．Ｂ
17．或 ２
18．
19．解 析 （１） 证 明： ∵四 边 形ＡＢＣＤ 是长方形，
∴ ∠Ｄ ＝ ∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＡＢ＝ ８．
由 翻 折 可 知 ＥＰ＝ＡＰ，∠Ｅ＝∠Ａ＝ ９０°，ＢＥ＝ ＡＢ＝ ８，
在△ＯＤＰ 和△ＯＥＦ 中，∠Ｄ＝∠Ｅ＝ ９０°，ＯＤ＝ＯＥ，∠ＤＯＰ＝∠ＥＯＦ，
∴ △ＯＤＰ≌△ＯＥＦ（ＡＳＡ），
∴ ＯＰ＝ＯＦ．
（２）4.8
20．ＡＣ′=7或1
21．解析 （１）∵ ＡＢ＝１２ ｍ，ＢＣ＝９ ｍ，∠ＡＢＣ＝９０°，
∴ ＡＣ ＝ ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝１２２＋９２＝ １５（ｍ）．
答：这条直道 ＡＣ 的长度为 １５ ｍ．
(2)不符合
22．解析 （１）续写如下：∴ △ＰＢＰ′是等边三角形，
∴ ＰＰ′＝ＰＢ＝ ３，∠ＰＰ′Ｂ＝ ６０°，
∵ ＰＡ＝ ５，ＡＰ′＝ ４，ＰＰ′＝ ３，
∴ ＰＡ２＝ＡＰ′２＋ＰＰ′２，
∴ △ＡＰＰ′是直角三角形，且∠ＡＰ′Ｐ＝ ９０°，
∴ ∠ＢＰＣ＝∠ＢＰ′Ａ＝ ９０°＋６０° ＝ １５０°．
（２）150°
23．解析 （１）∵ Ａ（１，４），Ｂ（－２，３），
∴ ＡＢ＝＝．
（２）∵ Ａ，Ｂ 两点在平行于 ｙ 轴的同一条直线上，点 Ａ 的纵坐标为 ６，点 Ｂ 的纵坐标为－１，
∴ ＡＢ＝ ｜６－（－１）｜＝ ７．
（３）△ＡＢＣ 是直角三角形．
理由：∵ ＡＢ＝＝５，ＢＣ＝｜－１－４｜＝５，ＡＣ＝＝2，
∴ ＡＢ２＋ＡＣ２＝ （）２＋（2）２＝２５，ＢＣ２＝５２＝ ２５，
∴ ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２，
∴ △ＡＢＣ 是直角三角形．

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