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第二十章勾股定理第１节：勾股定理及其应用
知识点
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
（2）公式变形：a= b= c=
(3)利用勾股定理进行计算:
①.已知两边求第三边：
已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边长度.
已知斜边和一条直角边，求另一条直角边.
②.解决实际问题中的应用：比如在建筑、测量等领域。如要测量一个池塘两点间的距离，可构造直角三角形，通过测量直角边长度利用勾股定理计算斜边（两点间距离）.
③.勾股定理的变形形式：a2=c2 b2,b2=c2 a2这些变形在计算直角边时很有用.
（4）勾股定理应用的常见类型：
①已知直角三角形的任意两边长求第三边；
②已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；
③证明包含由平方(算术平方根）关系的几何问题；
④求解几何体表面上的的最短路径问题；
⑤构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产，生活中的实际问题.
（5）求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
（6）利用勾股定理表示无理数的方法:
①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
②以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点.
在原点左边的点表示是负无理数；在原点右边的点表示是正无理数.
（7）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
①设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
②用已知含x的代数式表示出其他线段长；
③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
④解这个方程，从而求出所求线段长.
练习题
第 1 课时 勾股定理
１．设直角三角形的两条直角边长分别为 ａ 和 ｂ，斜边长为 ｃ，已知 ｂ ＝ １２，ｃ＝ １３，则 ａ ＝（ ）
Ａ．１ Ｂ．５ Ｃ．１０ Ｄ．２５
２．象棋起源于中国，是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图所示的是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长都为１，则“车”与“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．４
３．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＯＢ 是等边三角形，若点 Ｂ 的坐标是（４，０），则点Ａ 的坐标是 （ ）
Ａ．（２，２） Ｂ．（2，2） Ｃ．（2，2） Ｄ．（１，２）
４．如图，网格中的每 个 小 正 方 形 的 边 长 都 为 １，△ＡＢＣ 的顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ 均在网格的格点上，ＢＤ⊥ＡＣ 于点 Ｄ，则 ＢＤ 的长为 ．
５．已知一个直角三角形的两边长分别为 ３ 和 ４，则第三边长的平方是 ．
６．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＢ＝ ５ｃｍ，ＢＣ ＝ ３ｃｍ，点 Ｄ 为 ＡＣ 上的一点，将△ＢＣＤ 沿 ＢＤ 折叠，使点 Ｃ 恰好落在 ＡＢ 上的点 Ｅ 处，求ＡＤ的长．
７．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的是 （ ）
Ａ．①③ Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．①④
８．学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 １，点 Ｂ 是正方形 ＡＣＤＥ 的边 ＣＤ 上一点，连接 ＡＢ，得到直角三角形 ＡＣＢ，三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，将△ＡＣＢ 裁剪、拼接至△ＡＥＦ 的位置，如图 ２ 所示，该同学用图 １、图 ２ 的面积不变证明了勾股定理．请你写出用该方法证明勾股定理的过程．
９．图 １ 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的．若图 １ 中大正方形的面积为 ２４，小正方形的面积为 ４，现将这四个直角三角形拼成图 ２，则图 ２ 中大正方形的面积为 （ ）
Ａ．２４ Ｂ．３６ Ｃ．４０ Ｄ．４４
１０．如 图，在△ＡＢＣ 中， ∠Ａ ＝１２０°，ＡＢ＝ ＡＣ，边 ＡＣ 的中点为 Ｄ，边 ＢＣ 上的点 Ｅ满足 ＥＤ⊥ＡＣ．若 ＤＥ＝，则 ＡＣ 的长是 （ ）
Ａ．4 Ｂ．６ Ｃ．2 Ｄ．３
１１．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 在 ｘ 轴上，点 Ｂ 的坐标为（１，０），点 Ｅ 在边 ＣＤ 上，将△ＡＤＥ 沿 ＡＥ 折叠，使点 Ｄ 落在点 Ｆ 处．若点 Ｆ 的坐标为（０，３），则点 Ｅ的坐标为 ．
12．如图所示的是一棵勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是 １６，则图中阴影正方形的面积之和为 ．
13．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，在 ＡＢ 同侧分别以ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ 为直径作三个半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若ＢＣ＝８，ＡＣ＝ ６，则阴影部分的面积为 ．
14.如图，以 Ｒｔ△ＡＢＣ 的三边为边分别向外作等边三角形，若斜边ＡＢ＝ ２，则图中阴影部分的面积为 ．
15．定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”．
（１）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ ４，ＢＣ＝３，求△ＡＢＣ 中 ＡＢ 边的“中偏度值”．
（２）在△ＡＢＣ 中，ＡＣ＝ １３，ＡＢ ＝１５，ＢＣ 边上的高
ＡＤ＝１２，求△ＡＢＣ中ＢＣ 边的“中偏度值”．
第 2 课时 勾股定理的应用
１．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行 １.２ ｋｍ 后，再向北飞行 ０.９ｋｍ 到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路程为 （ ）
Ａ．１.０ ｋｍ Ｂ．１.５ ｋｍ Ｃ．１.８ ｋｍ Ｄ．２.１ ｋｍ
２．如图，有一盏灯由传感器 Ａ 控制，传感器 Ａ 装在门正上方离地面 ４.５ ｍ 的墙上，任何东西只要移动至该传感器周围 ５ ｍ 及５ ｍ 以内，灯就会自动发光，一位身高 １.５ ｍ 的学生走到离墙多远的地方时，灯刚好自动发光？ （ ）
Ａ．３ ｍ Ｂ．４ ｍ Ｃ．５ ｍ Ｄ．７ ｍ
３．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口 Ｏ出发，海天号轮船以 ２０ 海里/时的速度沿南偏东４５°方向航行，顺艺号轮船沿南偏西 ４５°方向航行，已知它们离开港口 Ｏ 两小时后，分别航行至点 Ｎ，Ｍ 处，此时两艘轮船相距 ５０ 海里，则顺艺号轮船平均每小时航行 （ ）
Ａ．１５ 海里 Ｂ．１６ 海里 Ｃ．１７ 海里 Ｄ．１８ 海里
４．如图，长为 ３ｍ 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 １.８ｍ，则梯子顶端距地面的高度ｈ为 ｍ．
５．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ＡＢ＝ＡＢ′，ＡＢ⊥Ｂ′Ｃ 于点Ｃ，ＢＣ＝０.５尺，Ｂ′Ｃ＝２尺．设ＡＣ的长度为ｘ 尺，可列方程为 ．
６．某传媒公司用吊车张贴广告，示意图如图，已知吊臂总长 ＡＢ ＝ １５ 米，Ｂ 点与楼房的距离 ＢＥ＝ １２ 米，且 Ｂ 点距离地面 １．５ 米．
（１）求吊臂最高点 Ａ 与地面之间的距离（ ＡＯ 的长度）．
（２）完成 Ａ 处张贴任务后，吊车沿射线 ＯＰ 右移，使得吊臂上的顶点 Ａ 下滑至 Ｃ 处，若已知 ＡＣ 长为 ３ 米，求吊臂支柱 Ｂ 点移动的距离（ＢＤ 的长度）．
７．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房 ＣＤ 的高度（如图），他们在 Ａ 处仰望楼顶，测得仰角∠Ａ ＝ ３０°，再往楼的方向前进５０ 米至 Ｂ 处，测得仰角∠ＤＢＣ ＝ ６０°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计） （ ）
Ａ．25米 Ｂ．２５ 米 Ｃ．25米 Ｄ．５０ 米
８．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 Ａ 处摆绳 ＯＡ 与地面垂直，摆绳长 ２ｍ，向前荡起到最高点 Ｂ 处时距地面１．３ ｍ，摆动的水平距离 ＢＤ 为 １．６ ｍ，然后向后摆到最高点 Ｃ 处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 ＯＢ 与 ＯＣ 成９０°角，则小丽在 Ｃ 处时距离地面的高度是 （ ）
Ａ．０．９ ｍ Ｂ．１．３ ｍ Ｃ．１．６ ｍ Ｄ．２ ｍ
９．某单行隧道的截面如图所示，四边形 ＡＢＣＤ 是长方形，上部是以 ＡＤ 为直径的半圆，ＡＢ＝ ６ ｍ，ＢＣ＝ ４ ｍ．现有一辆装满货物的卡车，高为 ７.３ ｍ，宽为 ３.２ ｍ，问这辆卡车能否安全通过隧道？ 请说明理由．
１０．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ 是我国南部的三个岛屿，已知岛屿 Ｃ 在岛屿 Ａ 的东北方向上，岛屿 Ｂ 在岛屿 Ａ 的正东方向上，Ａ，Ｃ 两岛之间的距离为20ｋｍ，Ａ，Ｂ 两岛之间的距离为 ６８ ｋｍ．
（１）求出 Ｂ，Ｃ 两岛之间的距离．
（２）此时岛屿 Ｂ 产生了台风，风力影响半径为２５ ｋｍ（即以台风中心为圆心，２５ ｋｍ 为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以２０ ｋｍ/ｈ 的速度由 Ｂ 向 Ａ 移动，请判断岛屿 Ｃ会不会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿 Ｃ 持续的时间有多长．
第 3 课时 利用勾股定理进行作图与计算
１．如图，在数轴上，以 １ 个单位长度为边长画正方形，以正方形对角线的长为半径画弧，与数轴交于点 Ａ，则点 Ａ 表示的数为 （ ）
Ａ． Ｂ．1＋ Ｃ．2＋ Ｄ．3－
２．如图，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＦ，∠ＣＢＡ＝∠ＤＣＡ＝∠ＥＤＡ＝∠ＦＥＡ＝９０°，以 Ａ 点为圆心，ＡＦ 的长为半径作圆弧与数轴交于点 Ｐ．若点 Ａ表示的数为 ０，点 Ｂ 表示的数为 １，则点 Ｐ 表示的数为 ．
３．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 １，每个顶点叫作格点．
（１）在图１ 中以格点为顶点画一个面积为１０ 的正方形．
（２）在图 ２ 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为２， ，，并求这个三角形的面积和最长边上的高．
４．如图，在平面直角坐标系中，点 Ｐ 的坐标为（－２，３），以点Ｏ为圆心，以ＯＰ的长为半径画弧，交ｘ轴的负半轴于点 Ａ，则点Ａ 的横坐标介于 （ ）
Ａ.－２.５ 和－３ 之间 Ｂ.－３ 和－３.５ 之间
Ｃ.－３.５ 和－４ 之间 Ｄ.－４ 和－４.５ 之间
５．如图，Ｒｔ△ＯＡＢ的直角边ＯＡ＝２，ＡＢ＝１，ＯＡ在数轴上，在ＯＢ上截取 ＢＣ＝ＢＡ，以原点Ｏ为圆心，ＯＣ长为半径画弧，交数轴于点 Ｐ，则 ＯＰ 的中点 Ｄ 所表示的实数是 ．
６．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
（１）如图 １，一个直角三角形的直角边ＢＣ落在数轴上，点Ｂ与数轴原点Ｏ重合，ＢＣ＝ ３，ＡＣ ＝ ５，∠ＡＣＢ＝ ９０°，以 Ｂ 为圆心，ＢＡ 长为半径画弧，交数轴于点 Ｄ，则点 Ｄ 表示的实数是 ．
（２）在图２中，作出实数－２所在的位置．（保留必要的作图痕迹）
答案
第 1 课时 勾股定理
１．Ｂ
２．Ｃ
３．Ｂ
４．
５．２５ 或 ７
６．2.5
７．Ｄ
８．略
９．Ｄ
１０．Ｂ
１１．（－，5）
12．１６
13．24
14.２
15．（1）0.7 （2）2或7
第 2 课时 勾股定理的应用
１．Ｂ
２．Ｂ
３．Ａ
４．２.４
５．ｘ２＋２２ ＝ （ｘ＋０．５）２
６．解析 （１）∵ ＡＢ＝ １５ 米，ＢＥ＝ １２ 米，∠ＡＥＢ＝９０°，
∴ＡＥ＝＝ ９（米），
易得 ＯＥ＝ １．５ 米，
∴ ＡＯ＝ ＡＥ＋ＯＥ＝ ９＋１.５ ＝ １０.５（米）．
答：吊臂最高点 Ａ 与地面之间的距离是 １０.５ 米．
（２）∵ ＡＥ＝ ９ 米，ＡＣ＝ ３ 米，
∴ ＣＥ＝ ＡＥ－ＡＣ＝ ９－３ ＝ ６（米），
∵ ＣＤ＝ ＡＢ＝ １５ 米，
∴ ＤＥ＝＝3（米），
∴ ＢＤ＝ＤＥ－ＢＥ＝ （3－１２）米．
答：吊臂支柱 Ｂ 点移动的距离为（3－１２）米．
７．Ａ
８．Ａ
９．解析:不能安全通过．
理由：如图，设点 Ｏ 为半圆的圆心，则 Ｏ 为 ＡＤ的中点，因为卡车的宽为 ３.２ ｍ，所以在 ＯＤ 上取 ＯＦ＝ １.６ ｍ，过点 Ｆ 作
ＧＥ⊥ＡＤ，交半圆于点 Ｇ，交 ＢＣ 于点Ｅ，连接 ＯＧ，在Ｒｔ△ＯＦＧ中，ＯＧ＝AD＝BC＝２ｍ，
∴ＦＧ２＝ ＯＧ２－ＯＦ２＝２２－１.６２＝ １.２２
∴ＦＧ ＝１.２ ｍ，
所以 ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝ ６＋１.２ ＝ ７.２ ｍ＜７.３ ｍ，
所以卡车不能安全通过隧道．
１０．解析 （１）如图，过点 Ｃ 作 ＣＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄ，
∴ ∠ＡＤＣ＝ ９０°，
由题意易得∠Ａ＝∠ＡＣＤ＝４５°，
∴ ＣＤ＝ＡＤ，
在 Ｒｔ△ＡＣＤ 中，ＡＣ＝20ｋｍ，
由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２，
∴２ＡＤ２ ＝ （20）２，
∴ ＡＤ＝ ２０ ｋｍ（负值已舍），
∴ ＣＤ＝ ２０ ｋｍ，
在Ｒｔ△ＢＣＤ 中，ＢＤ＝ ＡＢ－ＡＤ＝ ６８－２０ ＝ ４８（ｋｍ），
由勾股定理，得 ＢＣ＝＝５２（ｋｍ）．
答：Ｂ，Ｃ 两岛之间的距离为 ５２ ｋｍ．
（２）会受到影响．
如图，以点 Ｃ 为圆心，２５ ｋｍ 为半径画弧与 ＡＢ 交于点 Ｅ，Ｆ，连接 ＣＥ，则 ＥＦ＝ ２ＤＥ，
在Ｒｔ△ＣＤＥ 中，由勾股定理，得ＤＥ＝＝１５（ｋｍ），
∴ ＥＦ ＝ ３０ ｋｍ，
∴ ３０÷２０ ＝ １.５（ｈ）．
答：台风影响岛屿 Ｃ 持续的时间为 １.５ ｈ．
第 3 课时 利用勾股定理进行作图与计算
１．Ｂ
２．－
３．解析 （１）如图，正方形 ＡＢＣＤ 即为所求（正方形位置不唯一）．
（２）略
４．Ｃ
５．
６．（1）－ （2）略

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