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第十九章二次根式单元知识点和练习题
知识点
（1）①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
②如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用(a≥0)表示.
③我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
（2）①一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式. “”称为二次根号.
②注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0.
③两个必备特征
（3）二次根式有意义的条件(被开方数≥0)
（4）①单个二次根式如有意义的条件:A≥0；
②多个二次根式相加如++...+有意义的条件：
③二次根式作为分式的分母如有意义的条件A＞0；
④二次根式与分式的和如+有意义的条件:A≥0且B≠0.
（5）（）2（a≥0）的性质：①一般地，（）2＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
②注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.
（6）的性质：①==，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
（7）二次根式的双重非负性：具有双重非负性：①a≥0:②≥0.
②()2与的区别与联系
1.区别：①取值范围不同 ②运算顺序不同 ③运算结果不同：()2=a，=
2.联系：①()2与均为非负数；②当a≥0时，（)2=
（8）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把
数 或 表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
（9）列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
（8）①二次根式的乘法法则:一般地，对于二次根式的乘法是·=（a≥0，b≥0）
②二次根式相乘，___根指数_____不变， 被开方数 相乘.
③语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
（注意：a,b都必须是非负数.）
（9）二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即··...=（a≥0，b≥0，c≥0，...n≥0）
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即m·n=（mn）（a≥0，b≥0）
（10）比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
（11）二次根式乘法法则的逆用：二次根式乘法法则的逆用：=·(a≥0,b≥0)
（语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.）
（12）化简二次根式的步骤：
①.把被开方数分解因式(或因数).
②2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积.
③.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式=,把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
（13）二次根式的除法法则:文字叙述:=(a≥0,b>0)
（算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.）
（14）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得=(a≥0,b>0,n≠0)
（15）商的算术平方根的性质：我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:
=(a≥0,b>0)
（语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.）
（16）最简二次根式满足如下两个特点：
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
③我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
（简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.）
（17）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
（18）分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．
（19）二次根式比较大小的方法
(20)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.
(21)比较被开方数法：逆用公式=a(a≥0)，先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.
(22)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a,b都是正数时，
①若>1，则a>b. ②若=1,则a=b.③若<1,则a（23）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
（注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.）
（24）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：m+n=(m+n)
(25)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(26)加减法的运算步骤：
①化——将非最简二次根式的二次根式化简；
②找——找出被开方数相同的二次根式；
③并——把被开方数相同的二次根式合并.
（口诀：一化简二判断三合并）
（27）二次根式的混合运算及应用
①.运算种类：
二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算.
②.运算顺序：
无括号的先乘方，再乘除，最后加减.
有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）.
同级运算，从左到右进行计算.
③.运算依据：
实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
（28）利用乘法公式进行二次根式的运算
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;
二次根式单元测试题
（满分40分 时间40分钟）
一、选择题（每小题 ５ 分，共 ４０ 分）
１．若在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围是 （ ）
Ａ．ｘ≤１ Ｂ．ｘ≥１ Ｃ．ｘ≤－１ Ｄ．ｘ≥－１
２．下列式子中，为最简二次根式的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３．下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．下列运算正确的是 （ ）
Ａ．＋＝ Ｂ．－＝－
Ｃ．（＋２）（－２）＝ ５ Ｄ．（＋）÷＝ ３
５．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 在数轴上，则可以近似表示×－ ÷２的运算结果的点是 （ ）
Ａ．点 Ａ Ｂ．点 Ｂ Ｃ．点 Ｃ Ｄ．点 Ｄ
６．若 ２，５，ｎ 为三角形的三边长，则化简＋的结果为 （ ）
Ａ．５ Ｂ．２ｎ－１１ Ｃ．１１－２ｎ Ｄ．－５
７．下列各式成立的是 （ ）
Ａ．＝· Ｂ． ＝·
Ｃ．＝· Ｄ．＝×
８．按如图所示的程序计算，若开始输入的 ｎ 值为，则输出的结果是 （ ）
Ａ．２２ Ｂ．１５＋７ Ｃ．３６ Ｄ．２２＋
二、填空题（每小题 ５ 分，共 ２０ 分）
９．若式子在实数范围内有意义，则 ｍ 的取值范围是 ．
１０．已知 ｍ＝＋２，ｎ＝－２，则＝ ．
１１．如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2米，宽为2米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块长方形绿地的长为（2＋２）米，宽为（2－２）米．除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，则这个广场铺地砖的面积为 平方米．
1２．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则ａ－ｂ＝ ．
三、解答题（共 ４０ 分）
１３．（８分）计算：
（１）×（－）÷．
（２）÷（－）ｘ（－）
１４．（１０ 分）（１）已知 ａ＝，求－的值．
（２）已知ｘ＝（＋），ｙ＝（），求ｘ２＋６ｘｙ＋ｙ２ 的值．
１５．（１０分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间 ｔ（ｓ）和高度 ｈ（ｍ）近似满足公式 ｔ＝（不考虑阻力的影响）．
（１）求物体从 ６０ ｍ 的高空落到地面的时间．
（２）小明说物体从 １２０ ｍ 的高空落到地面的时间是（１）中所求时间的 ２ 倍，他的说法正确吗？请说明理由．
（３）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：Ｊ）＝１０×物体质量（ｋｇ）×高度（ｍ），某质量为０.０６ ｋｇ的鸡蛋经过 ５ ｓ 落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？ 你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要 ６５ Ｊ 的能量）
１６．（１２ 分）阅读下面材料：
将边长分别为 ａ，ａ＋，ａ＋２，ａ＋３的
正方形面积分别记为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，
则 Ｓ２－Ｓ１
＝（ａ＋）２－ａ２
＝［（ａ＋）＋ａ］·［（ａ＋）－ａ］
＝（２ａ＋）·
＝２ａ＋ｂ．
例如：当 ａ ＝１，ｂ＝３ 时，Ｓ２－Ｓ１＝3＋2．根据以上材料，解答下列问题：
（１）当 ａ ＝ １，ｂ ＝ ３ 时，Ｓ３－Ｓ２＝ ，Ｓ４－Ｓ３＝
．
（２）当 ａ ＝ １，ｂ ＝ ３ 时，把边长为ａ＋ｎ的正方形面积记作Ｓｎ＋１，其中 ｎ 是正整数，根据（１） 中的计算结果，你能猜出 Ｓｎ＋１－Ｓｎ 等于多少吗？ 并证明你的猜想．
（３）当 ａ ＝１，ｂ＝３时，令 ｔ１＝ Ｓ２－Ｓ１，ｔ２＝ Ｓ３－Ｓ２ ，ｔ３＝Ｓ４－Ｓ３ ，……，ｔｎ＝ Ｓｎ＋１－Ｓｎ，且Ｔ＝ ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋…＋ｔ５０ ，求 Ｔ 的值．
答案
１．Ｄ
２．Ｄ
３．Ａ
４．Ｂ
５．Ｃ
６．Ａ
７．Ｄ
８．Ｂ
９．ｍ≥１
１０．３
１１．（１６８－ ９６）
1２．－６
１３．（１）原式＝×（－）
=－
=－3
（２）原式＝÷（－）ｘ（－）
=
=
１４．解析 （１）∵ ａ＝＝２－＜１，
∴ａ－１＜０，
∴ 原式 ＝－
＝ａ－３＋
＝２－－３＋２＋
＝１．
（２）x+y=（＋）+（）=
xy=（＋）·（）=
ｘ２＋６ｘｙ＋ｙ２=（x+y）2+4xy=5+2=7
１５．解析 （１）把 ｈ ＝６０ｍ代入公式ｔ＝=
可得 ｔ＝＝2（ｓ）．
（２）不正确．
理由：当 ｈ ＝１２０ｍ时，ｔ＝＝2（ｓ）．
∵2≠２×２，
∴ 小明的说法不正确．
（３）当 ｔ＝ ５ｓ 时，５＝
∴ｈ＝１２５ ｍ．
∴ 鸡蛋在下落过程中所带能量为１０×０.０６×１２５＝７５（Ｊ）．
启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人．（答案不唯一，言之有理即可）
１６．解析 （１）9+2 15+2
Ｓｎ＋１－Ｓｎ=6n－3+2
（3）T=7500+100

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