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第十九章二次根式第3节二次根式的加法与减法
知识点
（1）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
（注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.）
（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：m+n=(m+n)
(3)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(4)加减法的运算步骤：
①化——将非最简二次根式的二次根式化简；
②找——找出被开方数相同的二次根式；
③并——把被开方数相同的二次根式合并.
（口诀：一化简二判断三合并）
（5）二次根式的混合运算及应用
①.运算种类：
二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算.
②.运算顺序：
无括号的先乘方，再乘除，最后加减.
有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）.
同级运算，从左到右进行计算.
③.运算依据：
实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
（6）利用乘法公式进行二次根式的运算
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;
练习题
第 1 课时 二次根式的加减
１．下列式子中，能与合并的是（ ）
Ａ． Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．
２．已知二次根式 与是可以合并的二次根式，则ｘ的值可以是 ．（只需写出一个）
3．下列计算正确的是 （ ）
Ａ．－＝ Ｂ．－＝ Ｃ．３＋２＝５ Ｄ．＋＝
４．计算：
（１）－(－)＝ ．
（２）（+）－（－）＝ ．
５．若ａ，ｂ为有理数且－＋＝ ａ＋ｂ，则ａ＋ｂ＝ ．
６．对于任意两个不相等的实数 ｘ，ｙ，定义运算“Ω”为若 ｘ＜ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ＋ｙ；若ｘ＞ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ－ｙ，其他运算符号的意义不变，按照上述定义，计算（Ω）－（Ω）的值为 ．
７．如图，中国结内包含两个全等的正方形，若两个大正方形的面积均为９８ｃｍ２，重叠部分的小正方形面积为 ７２ｃｍ２，则ＢＥ的长为 ｃｍ．
８．若两个最简二次根式３与 ２可以合并，则合并后的结果是（ ）
Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．５ Ｄ．５
９．已知 ａ，ｂ，ｃ满足（ａ－）２＋＋｜ｃ－３｜＝０．以 ａ，ｂ，ｃ 为边长的三角形的周长为 ．
１０．化简：ｍ＋８ｍ－２ｍ２，并任取一个 ｍ 的值使其结果为正整数．
１１．嘉琪准备完成题目“计算：－■－（３－４）时，发现“■” 处的数字印刷不清楚．
（１）他把“■” 处的数字猜成 ４，请你计算－4－（３－４）的结果．
（２）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 3．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几．
第 2 课时 二次根式的混合运算
１．计算(5－２)÷（－）的结果是（ ）
Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－７５
２．已知实数 ｍ＝×(－)，则实数 ｍ 的值应在 （ ）
Ａ．１与２之间 Ｂ．２与３之间 Ｃ．３与４之间 Ｄ．４与５之间
３．计算÷－ ＋2×的结果为（ ）
Ａ．－２ Ｂ．６－２ Ｃ．6－２ Ｄ．６
４．计算 ÷－×2－（－）２的结果为 ．
５．现将一个面积为 ３００ ｃｍ２的正方形的一组对边缩短 ８ｃｍ，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ｃｍ２．
６．计算：
（１）（－）×－３．
（２）÷－×＋．
（３）(2－)×－
７．计算（＋）（－）＝（ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
８．若（2＋）２ ＝ ａ＋ｂ（ ａ，ｂ 为整数），则 ａ＋ｂ 等于 （ ）
Ａ．７ Ｂ．９ Ｃ．１１ Ｄ．１２
９．计算：
（１）（３＋）（３－）－÷．
（２） (－3)÷＋（2－）×（2＋）．
（３）（＋）２０２６×（－）２０２６．
１０．下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
（＋）２－（－）２
＝（）２＋（）２－（）２＋（）２ ………… 第一步
＝ ６＋５－６＋５ ……………………………… 第二步
＝１０． ……………………………………… 第三步
任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 完全平方公式运用错误 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
１１．计算（＋４）２０２５×（－４）２０２６的结果是 （ ）
Ａ．＋４ Ｂ．４ Ｃ．－４ Ｄ．－４
１２．已知ｘ＋ｙ＝－９，ｘｙ＝９，则ｘ＋ｙ的值是 （ ）
Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．３ Ｄ．－３
１３．若３－的整数部分为 ａ，小数部分为 ｂ，则代数式（２＋ａ）·ｂ 的值为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．－２
１４．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图所示，老师把题目交给第一位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是 ．
１５．已知Ａ＝ｘ２－２ｘ．
（１）把多项式Ａ分解因式为 ．
（２）当 ｘ＝＋时，多项式 Ａ 的值为 ．
16.已知ｘ＝，ｙ＝，求＋和（ｘ－１）（ｙ－１）的值．
17.计算：
（１）3×÷2． （２） ×４÷ ．
（３）3－６＋2． （４）－３＋｜２－｜．
18．计算：
（１）÷－｜3－2｜＋（）－１．
（２）（+）×－÷．
（３）（2－６＋３）÷2．
（４）－×（＋３）
19．计算：
（１）（3－１）（3＋１）－（2－１）２．
（２）（＋）（２－2）－（－）２．
（３）（7＋4）（2－）２＋（２＋）（２－）－．
20．观察下列运算：
①由（＋１）（－１）＝ １，得＝－１；
②由（＋）（－）＝ １，得＝－；……
问题：
（１）通过观察你得出什么规律？ 用含 ｎ 的式子表示出来．
（２）利用（１）中发现的规律计算：（++＋… ＋＋）（＋１）．
21．观察下列各式：
＝１＋－＝ １；
＝１＋－＝ １；
＝１＋－＝ １；．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（１）猜想：１＝ ＝ ．
（２）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用 ｎ（ｎ 为正整数） 表示的等式： ．
（ ３ ） 应用：用上述规律计算++＋…＋．
22．先化简，再求值：（+）÷，其中ｘ＝＋１，ｙ＝．
23.（１）已知 ａ ＝－２，求代数式 ａ３＋４ａ２－ａ＋６ 的值．
（２）已知ｘ＝－２，ｙ＝＋２，求+的值．
24．若 ａ，ｂ为实数，且ｂ＝＋＋１５，试求－的值．
25．（１）先化简， 再求值：＋ｘ－４ｙ－，其中 ｘ＝，ｙ＝４．
（２）已知 ｘ＝，ｙ＝，求代数式ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２的值．
26．阅读理解题 阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简 ．
解：＝＝＝｜１＋｜ ＝ １＋．
（１）依据上述计算，填空：＝ ，＝ ．
（２） 根 据 上 述 方 法 求 值：＋＋＋…＋．
答案
第 1 课时 二次根式的加减
１．Ｂ
２．０（答案不唯一）
３．Ｂ
４．（１）３ （２）３－
５．－
６．2 ．
７．
８．Ｄ
９．５＋５
１０．解析 ｍ＋８ｍ－２ｍ２
＝ｍ·3＋８ｍ·－２ｍ２·
＝ｍ＋4ｍ－2m
＝ｍ
当ｍ＝４ 时，原式＝×4×＝２８．（答案不唯一）
１１．解析 （１）－4－（３－４）
＝4－４×－３×＋４×
＝3＋．
(2)8
第 2 课时 二次根式的混合运算
１．Ａ
２．Ｂ
３．Ｂ
４．－4－３
５．６０
６．解析 （１）原式＝（－）×－３
＝６－6－
＝６－７．
(2)原式＝÷－×＋
＝4－3＋2
＝1＋2．
（３）原式＝(2－)×－
＝12－－5
＝11－5．
７．Ｂ
８．Ｃ
９．解析 （１）原式＝（３＋）（３－）－÷
＝７－４
＝７－２
＝５．
（２）原式＝(－3)÷＋（2－）×（2＋）
＝－＋２＋
＝．
（3）原式 ＝（＋）２０２６×（－）２０２６
＝（１１－１０）２０２６
＝ １．
１０．解析 任务一：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误．
任务二：（＋）２－（－）２
＝ （）２＋2＋（）２－［（）２－２＋（）２］
＝ ６＋２＋５－（６－２＋５）
＝ ６＋２＋５－６＋２－５
＝４．
１１．Ｄ
１２．Ｂ
１３．Ａ
１４．小丽和小红
１５．（１）ｘ（ｘ－２） （２）４
１６．解析 ∵ ｘ＋ｙ＝+＝，ｘｙ＝＝ １，
∴＋=＝＝＝3
（ｘ－１）（ｙ－１）
＝ ｘｙ－ｘ－ｙ＋１
＝ｘｙ－（ｘ＋ｙ）＋１
＝１－＋１
＝ ２－．
17．解析 （１）原式＝3×÷2
＝
＝．
（2）原式＝ ×４÷
＝ 8÷4＝２．
（３）原式＝3－６＋2＝12．
（４）原式＝2－3×＋2－
＝2－＋2－
＝2
18.解析 （１）原式＝－（3－2）＋５
＝－3＋2＋5
＝3＋2．
（２）（+）×－÷
＝4+6－2
＝10－2．
（３）（2－６＋３）÷2
=－3×+×4
=7
（4）－×（＋３）
=－12－6
=－
19.解析 （１）（3－１）（3＋１）－（2－１）２
＝２７－１－（１２－4＋１）
＝２７－１－１２＋4－１
＝ １３＋４．
（２）（＋）（２－2）－（－）２
＝ （4＋3）（２－2 ）－（3－2+２）
＝8－２４＋6－6－3+2－２
＝8－4＋6－２９．
（３）（7＋4）（2－）２＋（２＋）（２－）－
＝ （7＋4）（7－4）＋２２－（）２－
＝４９－４８＋４－３－
＝２－．
20．解析 （１）=－（ｎ 为正整数）．
（２）原式 ＝（－１＋－＋－＋…＋－＋－）（＋１）
＝ （－１）（ ＋１）
＝ ２０２６－１
＝ ２０２５．
21.解析：（1）1+－ 1
（2）=1+－
（3）++＋…＋．
=１＋－+１＋－+１＋－+...+1+－
=10－
=9
22．解析 原式＝（+）÷
＝（）÷
＝
＝
当ｘ＝＋１，ｙ＝时，原式＝=
23.解析 （１）∵ａ＝－２，
∴ ａ＋２ ＝，
∴（ａ＋２）２＝ ５，
∴ ａ２＋４ａ＝ １，
∴ 原式 ＝ ａ（ａ２＋４ａ）－ａ＋ ＝ａ×１－ａ＋６＝ ６．
(2)∵ ｘ＝－２，ｙ ＝＋２，
∴ ｘ＋ｙ ＝２，ｘｙ＝３－４＝－１，
∴ 原式＝==－14
24．解析 由二次根式的定义，得
∴ ａ＝
∴ｂ＝１５
∴ａ＋ｂ＞０，ａ－ｂ＜０，ａｂ＞０，
∴－
＝－
＝－
＝
＝
＝
25．解析 （１）＋ｘ－ ４ｙ－
＝ ５ ＋－４－
＝
当ｘ＝，ｙ ＝ ４ 时，原式＝＝．
（２）∵ｘ＝==－
ｙ＝==－－
ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２
＝（x+y）2+xy
＝（－－－）2+（－）（－－）
＝８－１
＝ ７
26．解析（1）2+ 4－3
（２）＋＋＋…＋
＝－１＋（－） ＋（２－） ＋…＋（１０－）
＝１０－１
＝ ９．

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