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专题14 三角恒等变换（三大考点，71题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1：两角和与差公式 2025 年全国二卷：利用二倍角余弦和两角差正弦公式求值；2024 年新课标 Ⅰ 卷：利用两角和余弦公式求三角函数值；2024 年全国甲卷：弦化切及两角和正切公式的应用；2023 年新课标 Ⅰ 卷：和角、差角正弦及二倍角余弦公式的运用；2023 年全国乙卷：正弦定理边化角结合两角和正弦公式求角；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：两角和差正余弦公式化简及同角三角函数关系应用；2021 年全国甲卷：三角高程测量中正弦定理及两角和差公式的应用；2020 年全国 III 卷：三角函数式展开变形逆用两角和正弦公式；2020 年全国 III 卷：两角和正切公式化简求值；2019 年全国 I 卷：诱导公式与两角差正切公式计算；2017 年全国 I 卷：两角和正弦公式及正弦定理应用；2016 年全国 III 卷：解三角形中相关计算。 1. 高考对两角和与差公式考查频率较高，主要体现在利用公式进行三角函数值的求解、化简变形以及在解三角形等问题中的应用，是考查的热点。
考点 2：二倍角公式 2025 年全国一卷：二倍角公式在三角形面积相关问题中的应用；2024 年上海卷：利用二倍角公式判断函数最小正周期；2023 年新课标 Ⅱ 卷：二倍角公式求三角函数值；2023 年全国甲卷：向量问题中相关计算；2022 年北京卷：二倍角公式化简函数判断单调性；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：二倍角公式与平方关系配方化简求值；2021 年全国甲卷：二倍角公式化简求三角函数值；2021 年全国乙卷：诱导公式与二倍角公式化简；2020 年全国 I 卷：二倍角余弦公式转化求解；2019 年全国 II 卷：二倍角公式结合同角关系求正弦值；2018 年全国 I 卷：二倍角公式化简求函数性质；2018 年全国 III 卷：二倍角公式计算；2017 年全国 III 卷：二倍角公式计算；2017 年山东：二倍角余弦公式计算；2016 年全国 II 卷：二倍角公式结合同角关系计算；2016 年全国 III 卷：二倍角公式计算。 2. 二倍角公式的考查主要集中在利用公式进行三角函数的化简、求值以及结合其他公式解决函数性质等问题，在高考中考查较为常见。
考点 3：辅助角公式 2025 年北京卷：辅助角公式化简函数求最小正周期及零点相关问题；2023 年全国乙卷：辅助角公式在向量数量积求最值问题中的应用；2022 年北京卷：辅助角公式化简函数求数量积取值范围；2021 年全国乙卷：辅助角公式化简求函数最小正周期和最大值；2017 年山东：辅助角公式化简求函数最小正周期；2016 年天津：辅助角公式化简函数分析零点情况；2023 年新课标 Ⅰ 卷：辅助角公式相关计算。 3. 辅助角公式的考查主要体现在利用公式化简函数，进而研究函数的周期性、最值、零点以及在向量等问题中的应用，有一定的考查频率且应用广泛。
考点01：两角和与差公式-单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
7．（2021·全国甲卷·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
8．（2020·全国III卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
9．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
10．（2020·全国III卷·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
11．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
12．（2019·全国I卷·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
13．（2016·全国III卷·高考真题）在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
14．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）(2015新课标全国Ⅰ理科)=
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】原式= ==，故选D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
15．（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
考点01：两角和与差公式-多选题
16．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
17．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
考点01：两角和与差公式-填空题
18．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
19．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是 .
【答案】
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．（2020·浙江·高考真题）已知，则 ； ．
【答案】
【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【详解】，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
21．（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是 .
【答案】.
【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
22．（2018·全国II卷·高考真题）已知，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开
因为，所以，解之得．
故答案为：．
［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式
．
故答案为：．
［方法三］：换元法＋两角和的正切公式
令，则，且．
．
故答案为：．
【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；
方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；
方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．
23．（2017·全国I卷·高考真题）已知，tanα=2，则= ．
【答案】
【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
24．（2017·江苏·高考真题）若,则 .
【答案】
【详解】
故答案为.
25．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= .
【答案】
【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
26．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
【答案】8.
【详解】，又，因此
即最小值为8.
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
27．（2016·全国II卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .
【答案】
【详解】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.
【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
28．（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则 ．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得，则．
又或，所以．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由，可得，则或．
若，代入得，即．
若，代入得，与题设矛盾．
综上所述，．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由，得．
又，，即，则．从而．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则或．
若，则，即．
当k为偶数时，，由，得，又，所以．
当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．
若，则．则，得，这与已知矛盾．
综上所述，．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
考点02：二倍角公式-单选题
29．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
30．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
31．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
32．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
33．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
34．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
35．（2021·全国乙卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
36．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
37．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
38．（2019·全国II卷·高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
39．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
40．（2018·全国III卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
41．（2018·全国I卷·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
42．（2018·全国III卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
43．（2017·全国III卷·高考真题）已知，则．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
所以选A.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
44．（2017·山东·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】.
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
45．（2016·全国II卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析： ，
且，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
46．（2016·全国III卷·高考真题）若 ，则
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
47．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
48．（2016·全国III卷·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
分子分母同时除以，即得：.
故选D.
49．（2017·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出的值.
【详解】∵，
∴，∴．
故选：D.
考点02：二倍角公式-多选题
50．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
考点02：二倍角公式-填空题
51．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
【答案】/
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知，则.
故答案为：
52．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
53．（2022·上海·高考真题）函数的周期为 ；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
54．（2020·全国II卷·高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
55．（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为 ．
【答案】.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
56．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
【答案】.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
考点03：辅助角公式-单选题
57．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
58．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
59．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

60．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
61．（2017·山东·高考真题）函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵y＝2＝2sin，
，
故选：C.
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
62．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，，
所以，
因此，
选：D.
63．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

考点03：辅助角公式-填空题
64．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
65．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
66．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
【答案】
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
67．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
68．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ．
【答案】（均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
69．（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：．
故答案为．
【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．
70．（2016·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0， 1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】[方法一]：坐标法
由是曲线上一个动点，可设，
即
又由于，得
从而可得
[方法二]：换元法
由P是曲线上一个动点，不妨设，即，
即
令，
得
又由于，得
从而有
[方法三]：向量法
不妨设，由P是曲线上一个动点，得
由
又由于，得，
从而可得
[方法四]：线性规划法
由P是曲线上一个动点，不妨设，
得
令，得
要求的取值范围，
只要求与圆弧相交的平行线束的y轴截距的取值范围即可，
如图可知，（1）当过点时，
此时平行线束y轴的截距最小，即最小，
（2）当与单位上半圆 相切于点C时，
此时平行线束y轴的截距最大，即最大
故由圆心O到直线的距离等于半径，
得，
求得或（舍），
即
综上所得
[方法五]：几何法
由
得要求的取值范围，只要求的取值范围即可
过点P作BA的垂线PC，交BA的延长线于点C
由，得，即
设：
如图，（1）当直线PC过点D时，最小
由，得：
又由直线:，联立直线的方程，
得此时的C，即
（2）当直线PC与圆弧相切于点P（第一象限）时，最大
即圆心到直线PC的距离，求得或（舍）
即此时的直线PC：
联立方程，得
即此时
综上所得，
从而有
[方法六]：
由题意设, ，则，又，所以，所以的取值范围为.
【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想
【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
71．（2016·浙江·高考真题）已知，则 ，= ．
【答案】；1．
【详解】试题分析：由题意得，,所以.
考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 三角恒等变换（三大考点，71题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1：两角和与差公式 2025 年全国二卷：利用二倍角余弦和两角差正弦公式求值；2024 年新课标 Ⅰ 卷：利用两角和余弦公式求三角函数值；2024 年全国甲卷：弦化切及两角和正切公式的应用；2023 年新课标 Ⅰ 卷：和角、差角正弦及二倍角余弦公式的运用；2023 年全国乙卷：正弦定理边化角结合两角和正弦公式求角；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：两角和差正余弦公式化简及同角三角函数关系应用；2021 年全国甲卷：三角高程测量中正弦定理及两角和差公式的应用；2020 年全国 III 卷：三角函数式展开变形逆用两角和正弦公式；2020 年全国 III 卷：两角和正切公式化简求值；2019 年全国 I 卷：诱导公式与两角差正切公式计算；2017 年全国 I 卷：两角和正弦公式及正弦定理应用；2016 年全国 III 卷：解三角形中相关计算。 1. 高考对两角和与差公式考查频率较高，主要体现在利用公式进行三角函数值的求解、化简变形以及在解三角形等问题中的应用，是考查的热点。
考点 2：二倍角公式 2025 年全国一卷：二倍角公式在三角形面积相关问题中的应用；2024 年上海卷：利用二倍角公式判断函数最小正周期；2023 年新课标 Ⅱ 卷：二倍角公式求三角函数值；2023 年全国甲卷：向量问题中相关计算；2022 年北京卷：二倍角公式化简函数判断单调性；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：二倍角公式与平方关系配方化简求值；2021 年全国甲卷：二倍角公式化简求三角函数值；2021 年全国乙卷：诱导公式与二倍角公式化简；2020 年全国 I 卷：二倍角余弦公式转化求解；2019 年全国 II 卷：二倍角公式结合同角关系求正弦值；2018 年全国 I 卷：二倍角公式化简求函数性质；2018 年全国 III 卷：二倍角公式计算；2017 年全国 III 卷：二倍角公式计算；2017 年山东：二倍角余弦公式计算；2016 年全国 II 卷：二倍角公式结合同角关系计算；2016 年全国 III 卷：二倍角公式计算。 2. 二倍角公式的考查主要集中在利用公式进行三角函数的化简、求值以及结合其他公式解决函数性质等问题，在高考中考查较为常见。
考点 3：辅助角公式 2025 年北京卷：辅助角公式化简函数求最小正周期及零点相关问题；2023 年全国乙卷：辅助角公式在向量数量积求最值问题中的应用；2022 年北京卷：辅助角公式化简函数求数量积取值范围；2021 年全国乙卷：辅助角公式化简求函数最小正周期和最大值；2017 年山东：辅助角公式化简求函数最小正周期；2016 年天津：辅助角公式化简函数分析零点情况；2023 年新课标 Ⅰ 卷：辅助角公式相关计算。 3. 辅助角公式的考查主要体现在利用公式化简函数，进而研究函数的周期性、最值、零点以及在向量等问题中的应用，有一定的考查频率且应用广泛。
考点01：两角和与差公式-单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国甲卷·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
8．（2020·全国III卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2020·全国III卷·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
11．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
12．（2019·全国I卷·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
13．（2016·全国III卷·高考真题）在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
14．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）(2015新课标全国Ⅰ理科)=
A． B．
C． D．
15．（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
考点01：两角和与差公式-多选题
16．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点01：两角和与差公式-填空题
18．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
19．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是 .
20．（2020·浙江·高考真题）已知，则 ； ．
21．（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是 .
22．（2018·全国II卷·高考真题）已知，则 ．
23．（2017·全国I卷·高考真题）已知，tanα=2，则= ．
24．（2017·江苏·高考真题）若,则 .
25．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= .
26．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
27．（2016·全国II卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .
28．（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则 ．
考点02：二倍角公式-单选题
29．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
31．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
33．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·全国乙卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
37．（2020·全国I卷·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
38．（2019·全国II卷·高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
39．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
40．（2018·全国III卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
41．（2018·全国I卷·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
42．（2018·全国III卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
43．（2017·全国III卷·高考真题）已知，则．
A． B． C． D．
44．（2017·山东·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
45．（2016·全国II卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
46．（2016·全国III卷·高考真题）若 ，则
A． B． C．1 D．
47．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
48．（2016·全国III卷·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
49．（2017·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
考点02：二倍角公式-多选题
50．（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
考点02：二倍角公式-填空题
51．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
52．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
53．（2022·上海·高考真题）函数的周期为 ；
54．（2020·全国II卷·高考真题）若，则 ．
55．（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为 ．
56．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
考点03：辅助角公式-单选题
57．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
58．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
59．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
61．（2017·山东·高考真题）函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
62．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
63．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
考点03：辅助角公式-填空题
64．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
65．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
66．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
67．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
68．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 ．
69．（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为 .
70．（2016·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0， 1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
71．（2016·浙江·高考真题）已知，则 ，= ．
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