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专题22 指数、对数、幂函数、函数图象
（四大考点，92题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：指数函数 2025 年：天津卷考零点区间，上海卷考指数不等式条件；2024 年：新课标 Ⅰ 卷考分段函数递增求参，天津卷考值的大小比较和充要条件；2023 年：新课标 Ⅰ 卷考复合函数递减求参，全国乙卷考偶函数求参，北京卷考单调递增判断，天津卷考解析式，全国甲卷考值的比较；2022 年：新高考 Ⅰ 卷、全国甲卷考值的比较，浙江卷考指数对数运算，北京卷考函数性质；2021 年：全国乙卷考最小值，天津卷考值的比较；2020 年：全国 II 卷考指数不等式，全国 I 卷考指数对数运算，山东卷考偶函数图像；2019 年：全国 I、III 卷考值的比较，全国 II 卷考函数性质，天津卷考值的比较；2018 年：天津卷考值的比较；2016 年：全国 I 卷考性质应用，全国 III 卷考值的比较，山东卷考集合运算。 以单调性、奇偶性为基础，常与对数、幂函数结合比较大小，零点、复合函数单调性及参数范围是重点。
考点 2：对数函数 2025 年：全国一卷考变量大小关系，北京卷考实际应用；2024 年：新课标 Ⅱ 卷考含对数不等式求参最值，北京卷考性质应用，全国甲卷考对数运算求参；2023 年：全国乙卷考含对数函数单调性求参；2022 年：天津卷考对数运算和值的比较，北京卷考图像应用，全国乙卷考奇函数中对数参数；2021 年：新高考 II 卷、全国乙卷考值的比较，全国甲卷考实际应用，天津卷考对数运算；2020 年：全国 II 卷考奇偶性与单调性，全国 III 卷考模型应用和值的比较，海南卷考定义域与单调性，天津卷考值的比较，山东卷考定义域和运算；2019 年：北京卷考实际应用，天津卷考值的比较；2018 年：全国 III 卷考值的比较和图像对称，天津卷考值的比较；2017 年：天津卷考单调性应用，北京卷考实际应用，全国 I 卷考指数对数结合比较；2016 年：浙江卷考对数指数运算。 围绕运算、单调性、奇偶性，常与指数函数结合比较大小，实际应用和含参问题是热点。
考点 3：幂函数 2024 年：新课标 Ⅰ 卷考幂函数相关集合交集；2023 年：天津卷考幂函数与指数函数值的比较；2020 年：江苏卷考幂函数与奇函数结合求函数值。 侧重单调性，多与指数、对数函数结合比较大小，偶与奇偶性结合考函数值。
考点 4：函数的图象 2025 年：天津卷考解析式判断；2024 年：全国甲卷考图象判断；2023 年：北京卷考图象与性质结论判断，全国甲卷考图象与不等式；2022 年：全国甲、乙卷，天津卷，浙江卷考图象判断；2021 年：浙江卷考图象判断；2020 年：天津卷、浙江卷考图象判断，北京卷考图象解不等式；2019 年：浙江卷考图象判断；2018 年：浙江卷，全国 III、II 卷考图象判断，全国 III 卷考图象与不等式；2017 年：全国 I、III 卷考图象判断，天津卷考图象与不等式，北京卷考图象与实际应用。 以图象识别为重点，通过奇偶性、单调性、特殊点排除判断，与不等式结合及实际应用是热点。
考点01：指数函数
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
5．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
9．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
10．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
13．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
14．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
15．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
16．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
17．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
18．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
19．（2020·全国I卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
20．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
21．（2019·全国I卷·高考真题）已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】 则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
22．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
23．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
24．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】，
，
，故，
所以．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
25．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
26．（2016·全国I卷·高考真题）若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】B
【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
27．（2016·全国III卷·高考真题）已知，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b故选：A.
28．（2016·全国III卷·高考真题）已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
29．（2016·山东·高考真题）设集合则=
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－10}∪{x|－1－1}，故选C．
30．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
31．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
32．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
考点02：对数函数
33．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
34．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
35．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
36．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
37．（2022·天津·高考真题）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：C
38．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故选：D.
39．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
40．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
41．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
42．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
43．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】 ，，
.
故选：C.
44．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
45．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
46．（2020·全国III卷·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
47．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
48．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
49．（2020·全国III卷·高考真题）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
50．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
51．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
52．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】；
；
．
故．
故选A．
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
53．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选：B.
54．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
55．（2018·天津·高考真题）已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
56．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
57．（2017·北京·高考真题）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
【答案】D
【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
58．（2017·全国I卷·高考真题）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【详解】令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
59．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
60．（2020·山东·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.则（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
61．（2024·全国甲卷·高考真题）（多选）已知且，则 ．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
62．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
63．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
64．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
65．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是 .
【答案】
【分析】根据对数运算化简为，求解的值.
【详解】，
即，解得：.
故答案为：
66．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，若，则 ．
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
67．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
【答案】
【详解】试题分析：设，因为，
因此
指数运算，对数运算．
在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误
68．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；
（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
（2）解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
考点03：幂函数
69．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而 .
故选：A.
70．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
71．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点04：函数的图象
72．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
73．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
74．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
75．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
76．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
77．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
78．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
79．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
80．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
81．（2018·浙江·高考真题）函数y=的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
82．（2018·全国III卷·高考真题）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
83．（2018·全国II卷·高考真题）函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
84．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
85．（2017·全国I卷·高考真题）函数的部分图像大致为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，故排除D；当时，，故排除A．故选C．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
86．（2017·全国III卷·高考真题）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；
当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
87．（2017·天津·高考真题）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
88．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
89．（2017·北京·高考真题）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 .
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 .

【答案】 Q1 p2
【详解】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，
分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是
【考点】图象的应用，实际应用问题
【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.
90．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
91．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
92．（2018·全国III卷·高考真题）设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析
（2）
【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．
（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22 指数、对数、幂函数、函数图象
（四大考点，92题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：指数函数 2025 年：天津卷考零点区间，上海卷考指数不等式条件；2024 年：新课标 Ⅰ 卷考分段函数递增求参，天津卷考值的大小比较和充要条件；2023 年：新课标 Ⅰ 卷考复合函数递减求参，全国乙卷考偶函数求参，北京卷考单调递增判断，天津卷考解析式，全国甲卷考值的比较；2022 年：新高考 Ⅰ 卷、全国甲卷考值的比较，浙江卷考指数对数运算，北京卷考函数性质；2021 年：全国乙卷考最小值，天津卷考值的比较；2020 年：全国 II 卷考指数不等式，全国 I 卷考指数对数运算，山东卷考偶函数图像；2019 年：全国 I、III 卷考值的比较，全国 II 卷考函数性质，天津卷考值的比较；2018 年：天津卷考值的比较；2016 年：全国 I 卷考性质应用，全国 III 卷考值的比较，山东卷考集合运算。 以单调性、奇偶性为基础，常与对数、幂函数结合比较大小，零点、复合函数单调性及参数范围是重点。
考点 2：对数函数 2025 年：全国一卷考变量大小关系，北京卷考实际应用；2024 年：新课标 Ⅱ 卷考含对数不等式求参最值，北京卷考性质应用，全国甲卷考对数运算求参；2023 年：全国乙卷考含对数函数单调性求参；2022 年：天津卷考对数运算和值的比较，北京卷考图像应用，全国乙卷考奇函数中对数参数；2021 年：新高考 II 卷、全国乙卷考值的比较，全国甲卷考实际应用，天津卷考对数运算；2020 年：全国 II 卷考奇偶性与单调性，全国 III 卷考模型应用和值的比较，海南卷考定义域与单调性，天津卷考值的比较，山东卷考定义域和运算；2019 年：北京卷考实际应用，天津卷考值的比较；2018 年：全国 III 卷考值的比较和图像对称，天津卷考值的比较；2017 年：天津卷考单调性应用，北京卷考实际应用，全国 I 卷考指数对数结合比较；2016 年：浙江卷考对数指数运算。 围绕运算、单调性、奇偶性，常与指数函数结合比较大小，实际应用和含参问题是热点。
考点 3：幂函数 2024 年：新课标 Ⅰ 卷考幂函数相关集合交集；2023 年：天津卷考幂函数与指数函数值的比较；2020 年：江苏卷考幂函数与奇函数结合求函数值。 侧重单调性，多与指数、对数函数结合比较大小，偶与奇偶性结合考函数值。
考点 4：函数的图象 2025 年：天津卷考解析式判断；2024 年：全国甲卷考图象判断；2023 年：北京卷考图象与性质结论判断，全国甲卷考图象与不等式；2022 年：全国甲、乙卷，天津卷，浙江卷考图象判断；2021 年：浙江卷考图象判断；2020 年：天津卷、浙江卷考图象判断，北京卷考图象解不等式；2019 年：浙江卷考图象判断；2018 年：浙江卷，全国 III、II 卷考图象判断，全国 III 卷考图象与不等式；2017 年：全国 I、III 卷考图象判断，天津卷考图象与不等式，北京卷考图象与实际应用。 以图象识别为重点，通过奇偶性、单调性、特殊点排除判断，与不等式结合及实际应用是热点。
考点01：指数函数
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
15．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·全国II卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·全国I卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2019·全国I卷·高考真题）已知，则
A． B． C． D．
22．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
23．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
24．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
25．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
26．（2016·全国I卷·高考真题）若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
27．（2016·全国III卷·高考真题）已知，，，则
A． B．
C． D．
28．（2016·全国III卷·高考真题）已知，则
A． B．
C． D．
29．（2016·山东·高考真题）设集合则=
A． B． C． D．
30．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
31．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
32．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 .
考点02：对数函数
33．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
35．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
36．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
37．（2022·天津·高考真题）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
38．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
39．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
40．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·全国乙卷·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
42．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
43．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
44．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
45．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
46．（2020·全国III卷·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a47．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
48．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
49．（2020·全国III卷·高考真题）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
50．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
51．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
52．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
53．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
54．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
55．（2018·天津·高考真题）已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
56．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
57．（2017·北京·高考真题）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
58．（2017·全国I卷·高考真题）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
59．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
60．（2020·山东·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.则（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
61．（2024·全国甲卷·高考真题）（多选）已知且，则 ．
62．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
63．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
64．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
65．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是 .
66．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，若，则 ．
67．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
68．（2022·上海·高考真题）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
考点03：幂函数
69．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
70．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
71．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
考点04：函数的图象
72．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
73．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
74．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
75．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
76．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
77．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
78．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
79．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
80．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
81．（2018·浙江·高考真题）函数y=的图象可能是
A． B．
C． D．
82．（2018·全国III卷·高考真题）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
83．（2018·全国II卷·高考真题）函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
84．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A． B．
C． D．
85．（2017·全国I卷·高考真题）函数的部分图像大致为
A． B． C． D．
86．（2017·全国III卷·高考真题）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
87．（2017·天津·高考真题）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
88．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
89．（2017·北京·高考真题）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 .
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 .

90．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
91．（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
92．（2018·全国III卷·高考真题）设函数．
（1）画出的图像；
（2）当，，求的最小值．

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