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专题23 函数及其基本性质（八大考点，118题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 01：函数的定义 2024 新课标 Ⅰ 卷：结合函数性质判断函数值大小；2016 山东卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2023 北京卷：求函数在特定点的值；2018 全国 I 卷：根据函数值求参数 1. 常考查函数定义的理解及应用，结合函数的性质（周期性、奇偶性等）求解函数值或参数。2. 注重对函数关系式的运用，通过递推等方式解决与函数值相关的问题。
考点 02：函数的定义域和值域 2025 北京卷：判断函数值域与条件的充要关系；2020 山东卷：求函数定义域；2017 全国卷：求函数定义域；2016 全国 II 卷：判断函数定义域和值域是否相同；2022 上海卷：求参数取值范围使集合取得所有值域；2022 北京卷：求函数定义域；2019 江苏卷：求函数定义域；2018 江苏卷：求函数定义域；2016 江苏卷：求函数定义域 1. 定义域求解主要涉及分式、偶次根式、对数等有意义的条件。2. 值域问题常与函数性质结合，判断值域与某些条件的关系，或求参数范围使值域满足特定要求。
考点 03：分段函数 2024 新课标 Ⅰ 卷：根据分段函数单调性求参数范围；2019 天津卷：求方程解的个数对应的参数范围；2018 全国 I 卷：解分段函数不等式；2017 山东卷：根据分段函数值相等求参数及函数值；2025 上海卷：结合向量求模的范围；2024 上海卷：求分段函数在特定点的值；2023 北京卷：判断分段函数的结论正确性；2023 上海卷：求分段函数的值域；2022 北京卷：求分段函数存在最小值时参数的取值；2022 浙江卷：求分段函数的函数值及区间长度最大值；2021 浙江卷：根据分段函数的复合函数值求参数；2019 江苏卷：根据分段函数和周期函数的方程解的个数求参数；2018 天津卷：根据分段函数恒成立求参数范围；2018 浙江卷：解分段函数不等式及求参数范围；2017 全国 III 卷：解分段函数不等式；2018 江苏卷：求分段函数的复合函数值；2016 北京卷：求分段函数的最大值及参数范围；2016 江苏卷：根据周期分段函数求函数值；2016 天津卷：根据分段函数单调性和方程解的个数求参数；2020 山东卷：求分段函数的复合函数值及解不等式 1. 分段函数是考查重点，常涉及单调性、最值、方程解的个数、不等式求解等问题。2. 多与函数的其他性质（周期性、奇偶性等）结合，综合性较强，需分段分析处理。
考点 04：函数的单调性的判断及其应用 2025 天津卷：根据函数图像判断解析式；2023 新课标 Ⅰ 卷：根据函数单调性求参数范围；2023 北京卷：判断函数在区间上的单调性；2023 全国甲卷：比较函数值大小；2022 天津卷：判断函数图像；2021 全国甲卷：判断增函数；2020 山东卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2020 全国 II 卷：判断函数奇偶性和单调性；2020 山东卷：判断函数单调性；2019 北京卷：判断函数在区间上的单调性；2019 全国 III 卷：比较函数值大小；2019 全国 III 卷：判断函数图像；2017 北京卷：判断函数奇偶性和单调性；2017 全国 I 卷：判断函数单调性和对称性；2017 全国 I 卷：根据函数单调性解不等式；2017 全国 II 卷：求函数单调递增区间；2017 天津卷：比较函数值大小；2017 天津卷：比较函数值大小；2017 江苏卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2016 天津卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2025 上海卷：根据函数存在极大值求参数范围 1. 单调性的判断是基础，常通过定义、导数或基本函数的单调性进行判断。2. 应用方面，多涉及比较函数值大小、解不等式、求参数范围等，与函数的奇偶性等性质结合考查。
考点 05：函数的最值及其应用 2025 上海卷：判断三角形面积的最值情况；2024 新课标 Ⅱ 卷：求参数平方和的最小值；2021 北京卷：判断函数单调性与最大值的关系；2020 全国 III 卷：判断函数的最值和对称性；2017 浙江卷：判断函数最值与参数的关系；2017 天津卷：根据不等式恒成立求参数范围；2016 北京卷：求函数最大值；2025 天津卷：求参数表达式的最小值；2019 浙江卷：根据存在性条件求参数最大值；2017 浙江卷：根据函数最大值求参数范围；2016 北京卷：求函数最大值 1. 最值求解常结合函数的单调性、奇偶性等性质，通过导数、不等式等方法实现。2. 应用场景包括恒成立问题、存在性问题等，需转化为最值问题处理。
考点 06：函数的奇偶性 2025 全国一卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2024 新课标 Ⅱ 卷：根据函数交点情况求参数；2024 天津卷：判断函数是否为偶函数；2024 上海卷：判断函数性质的正确性；2023 新课标 Ⅱ 卷：根据偶函数求参数；2023 全国乙卷：根据偶函数求参数；2023 天津卷：根据函数图像判断解析式；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数性质求函数值和；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数奇偶性和对称性判断函数值；2021 全国甲卷：根据函数奇偶性和周期性求函数值；2021 全国乙卷：判断函数经过变换后是否为奇函数；2021 全国甲卷：根据函数奇偶性求函数值；2020 全国 II 卷：判断函数的奇偶性和单调性；2019 北京卷：判断函数为偶函数的条件；2018 全国 II 卷：根据函数奇偶性和周期性求函数值和；2019 全国 II 卷：根据奇函数求函数解析式；2017 全国 III 卷：根据函数有唯一零点求参数；2016 全国 I 卷：判断函数图像；2020 山东卷：根据偶函数判断函数图像；2025 全国二卷：判断奇函数的性质；2023 新课标 Ⅰ 卷：根据函数性质判断结论；2022 新高考全国 Ⅰ 卷：根据函数奇偶性和对称性判断结论；2024 上海卷：根据奇函数求参数；2023 全国甲卷：根据偶函数求参数；2022 全国乙卷：根据奇函数求参数；2022 上海卷：根据奇函数求参数；2021 新高考全国 Ⅰ 卷：根据偶函数求参数；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：写出具有特定性质的函数；2020 全国 III 卷：判断函数的性质；2019 全国 II 卷：根据奇函数求参数；2018 全国 III 卷：根据函数性质求函数值；2019 北京卷：根据函数奇偶性和单调性求参数；2017 全国 II 卷：根据奇函数求函数值；2016 全国 III 卷：根据偶函数求切线方程 1. 奇偶性的判断主要依据定义，即 f (-x) 与 f (x) 的关系。2. 常与函数的周期性、单调性等结合，用于求函数值、判断函数图像、求参数等。
考点 07：函数的周期性 2025 全国一卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数周期性求函数值和；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数周期性和奇偶性判断函数值；2021 全国甲卷：根据函数周期性和奇偶性求函数值；2018 全国 II 卷：根据函数周期性和奇偶性求函数值和；2016 山东卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2016 上海卷：判断函数周期性相关命题；2018 江苏卷：利用函数周期性求复合函数值；2017 山东卷：利用函数周期性求函数值；2016 四川卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值和；2016 四川卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值和 1. 周期性的判断和应用是重点，常通过定义或函数关系式推出周期。2. 多与奇偶性、单调性结合，用于求函数值、判断函数图像等。
考点 08：函数的对称性 2022 全国乙卷：根据函数对称性求函数值和；2020 全国 III 卷：判断函数的对称性和最值；2018 全国 III 卷：求与已知函数关于直线对称的函数；2017 全国 I 卷：判断函数的对称性和单调性；2016 全国 II 卷：根据函数对称性求交点坐标和；2016 全国 II 卷：根据函数对称性求交点横坐标和；2017 全国 高考真题：根据函数对称性求参数 1. 对称性包括轴对称和中心对称，判断依据是函数满足的关系式。2. 应用方面，多涉及交点问题、函数值求和等，需利用对称性质转化求解。
考点01：函数的定义
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2．（2016·山东·高考真题）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
4．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，若，则 ．
【答案】-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
考点02：函数的定义域和值域
5．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
7．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义求解即可.
【详解】由，得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
8．（2016·全国II卷·高考真题）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
9．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 .
【答案】，，
【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得．
【详解】令得，或（舍去）；
当时，，故对任意，
都存在，，，故，
故，，，而当时，，
故当，，时，参数的最小值为，
故参数的取值范围为，，
故答案为：，．
10．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
11．（2019·江苏·高考真题）函数的定义域是 .
【答案】.
【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
12．（2018·江苏·高考真题）函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞）
【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
13．（2016·江苏·高考真题）函数y=的定义域是 .
【答案】
【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为
考点：函数定义域
考点03：分段函数
14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
15．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图象及直线，借助图象分析．
【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．
即，即，
或者，得，，即，得，
所以的取值范围是．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
16．（2018·全国I卷·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
17．（2017·山东·高考真题）设,若,则
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.
【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
18．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故 .
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
19．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
20．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
21．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
22．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
23．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以 ，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
24．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
25．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
26．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
27．（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4)
【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.
详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
28．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
29．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
30．（2016·北京·高考真题）设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【答案】2
【分析】试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点，
①当时， ，由图象可知的最大值是 ；
②由图象知当时， 有最大值；只有当 时，，无最大值，所以所求 的取值范围是．
【考点】分段函数求最值,数形结合
【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
【详解】
31．（2016·江苏·高考真题）设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[）上， 其中 若 ，则的值是 .
【答案】
【详解】，
因此
【考点】分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.
32．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
33．（2020·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为，
所以，因为，
所以.
（2）因为，
则，
因为，所以，
即，解得.
34．（2016·浙江·高考真题）已知，函数F（x）=min{2|x 1|，x2 2ax+4a 2}，
其中min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2 2ax+4a 2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；
（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由于，故
当时，，
当时，．
所以，使得等式成立的的取值范围为．
（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，
则，，
所以，由的定义知，即
（ⅱ）当时，
，
当时，．
所以，．
【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．
【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．
考点04：函数的单调性的判断及其应用
35．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
36．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
37．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
38．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
39．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
40．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
41．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
42．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
43．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
44．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
45．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
46．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的图像大致为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
47．（2017·北京·高考真题）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
48．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
49．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，，
即 则有 ，解得 ，故选D.
50．（2017·全国II卷·高考真题）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由>0得：x∈( ∞, 2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=lnt，
∵x∈( ∞, 2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
51．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
52．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
53．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
54．（2016·天津·高考真题）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得．
55．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
考点05：函数的最值及其应用
56．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
57．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
58．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
59．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
60．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
61．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
62．（2016·北京·高考真题）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由题意得，线段AB的方程：，，
∴，
当时等号成立，即的最大值为7.
故选：C.
【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
63．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
64．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是 .
【答案】
【分析】从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
要求实数的最大值，不妨令则，即，，
即的最大值是
65．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是
【答案】
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
66．（2016·北京·高考真题）函数的最大值为 .
【答案】2
【分析】分离常量，由函数可得函数单调递减，然后求解函数的最大值即可.
【详解】[方法一]：分离常量法
由函数，得在单调递减，
即 .
故答案为：2.
[方法二]：换元法
由函数，令，，得，
可知在是单调递减的，即 .
故答案为：2.
[方法三]：反函数法
由函数，得，由，得，
从而有，即 .
故答案为：2.
[方法四]：函数图像法
由函数 ，由在单调递增，
得在单调递减，即 .
故答案为：2.
考点06：函数的奇偶性
一、单选题
67．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
68．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
69．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，
则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
70．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
71．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
72．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
73．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
74．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
75．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
76．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
77．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
78．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
79．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
80．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
81．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
82．（2019·全国II卷·高考真题）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.
【详解】是奇函数， 时，．
当时，，，得．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
83．（2017·全国III卷·高考真题）已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
84．（2016·全国I卷·高考真题）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
故选：D.

85．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
二、多选题
86．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
87．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
88．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
89．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 .
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】是奇函数，则恒成立，
所以，解得
故答案为：0．
90．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
91．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
92．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【详解】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1.
93．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
94．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
95．（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
96．（2019·全国II卷·高考真题）已知是奇函数，且当时，.若，则 .
【答案】
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
97．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数，，则 ．
【答案】
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
98．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性 单调性 利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识 基础知识 基本运算能力的考查.
99．（2017·全国II卷·高考真题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .
【答案】12
【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.
【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.
100．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
考点07：函数的周期性
101．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
102．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
103．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
104．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
105．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
106．（2016·山东·高考真题）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
107．（2016·上海·高考真题）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【详解】试题分析：
因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；
取，，均不是增函数，
而，，均为增函数，
因此命题①是假命题；，因此①不正确.选D.
【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性
【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.
108．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.
详解：由得函数的周期为4，所以因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
109．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝ .
【答案】6
【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.
【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .
【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.
110．（2016·四川·高考真题）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则 = .
【答案】
【详解】因为函数是定义在 上周期为2的奇函数，所以
，所以 ，即， ，所以.
111．（2016·四川·高考真题）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=，则f（）+f（2）= ．
【答案】-2
【详解】∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴，
又f(2)＝f(0)＝0，
因此＋f(2)＝－2＋0＝－2.
考点08：函数的对称性
112．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
113．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
114．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
115．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
116．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法.
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点 ，
∴，故选B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
[方法三]：构造法.
设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点 .
将，代入，即得
∴，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数和的图象都关于对称,
所以两函数的交点也关于对称,
对于每一组对称点和，都有.
从而.故选B.
考点：函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.
117．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2 x），若函数 y=|x2 2x 3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.
【考点】 函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
118．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则 ．
【答案】
【分析】根据指数函数图象可得的图象，写出其对称轴，由特殊推一般，可得的对称轴，即可求出的值.
【详解】因为的对称轴为，
的对称轴为相当于y＝向右平移1个单位，所以.
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题23 函数及其基本性质（八大考点，118题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 01：函数的定义 2024 新课标 Ⅰ 卷：结合函数性质判断函数值大小；2016 山东卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2023 北京卷：求函数在特定点的值；2018 全国 I 卷：根据函数值求参数 1. 常考查函数定义的理解及应用，结合函数的性质（周期性、奇偶性等）求解函数值或参数。2. 注重对函数关系式的运用，通过递推等方式解决与函数值相关的问题。
考点 02：函数的定义域和值域 2025 北京卷：判断函数值域与条件的充要关系；2020 山东卷：求函数定义域；2017 全国卷：求函数定义域；2016 全国 II 卷：判断函数定义域和值域是否相同；2022 上海卷：求参数取值范围使集合取得所有值域；2022 北京卷：求函数定义域；2019 江苏卷：求函数定义域；2018 江苏卷：求函数定义域；2016 江苏卷：求函数定义域 1. 定义域求解主要涉及分式、偶次根式、对数等有意义的条件。2. 值域问题常与函数性质结合，判断值域与某些条件的关系，或求参数范围使值域满足特定要求。
考点 03：分段函数 2024 新课标 Ⅰ 卷：根据分段函数单调性求参数范围；2019 天津卷：求方程解的个数对应的参数范围；2018 全国 I 卷：解分段函数不等式；2017 山东卷：根据分段函数值相等求参数及函数值；2025 上海卷：结合向量求模的范围；2024 上海卷：求分段函数在特定点的值；2023 北京卷：判断分段函数的结论正确性；2023 上海卷：求分段函数的值域；2022 北京卷：求分段函数存在最小值时参数的取值；2022 浙江卷：求分段函数的函数值及区间长度最大值；2021 浙江卷：根据分段函数的复合函数值求参数；2019 江苏卷：根据分段函数和周期函数的方程解的个数求参数；2018 天津卷：根据分段函数恒成立求参数范围；2018 浙江卷：解分段函数不等式及求参数范围；2017 全国 III 卷：解分段函数不等式；2018 江苏卷：求分段函数的复合函数值；2016 北京卷：求分段函数的最大值及参数范围；2016 江苏卷：根据周期分段函数求函数值；2016 天津卷：根据分段函数单调性和方程解的个数求参数；2020 山东卷：求分段函数的复合函数值及解不等式 1. 分段函数是考查重点，常涉及单调性、最值、方程解的个数、不等式求解等问题。2. 多与函数的其他性质（周期性、奇偶性等）结合，综合性较强，需分段分析处理。
考点 04：函数的单调性的判断及其应用 2025 天津卷：根据函数图像判断解析式；2023 新课标 Ⅰ 卷：根据函数单调性求参数范围；2023 北京卷：判断函数在区间上的单调性；2023 全国甲卷：比较函数值大小；2022 天津卷：判断函数图像；2021 全国甲卷：判断增函数；2020 山东卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2020 全国 II 卷：判断函数奇偶性和单调性；2020 山东卷：判断函数单调性；2019 北京卷：判断函数在区间上的单调性；2019 全国 III 卷：比较函数值大小；2019 全国 III 卷：判断函数图像；2017 北京卷：判断函数奇偶性和单调性；2017 全国 I 卷：判断函数单调性和对称性；2017 全国 I 卷：根据函数单调性解不等式；2017 全国 II 卷：求函数单调递增区间；2017 天津卷：比较函数值大小；2017 天津卷：比较函数值大小；2017 江苏卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2016 天津卷：根据函数单调性和奇偶性解不等式；2025 上海卷：根据函数存在极大值求参数范围 1. 单调性的判断是基础，常通过定义、导数或基本函数的单调性进行判断。2. 应用方面，多涉及比较函数值大小、解不等式、求参数范围等，与函数的奇偶性等性质结合考查。
考点 05：函数的最值及其应用 2025 上海卷：判断三角形面积的最值情况；2024 新课标 Ⅱ 卷：求参数平方和的最小值；2021 北京卷：判断函数单调性与最大值的关系；2020 全国 III 卷：判断函数的最值和对称性；2017 浙江卷：判断函数最值与参数的关系；2017 天津卷：根据不等式恒成立求参数范围；2016 北京卷：求函数最大值；2025 天津卷：求参数表达式的最小值；2019 浙江卷：根据存在性条件求参数最大值；2017 浙江卷：根据函数最大值求参数范围；2016 北京卷：求函数最大值 1. 最值求解常结合函数的单调性、奇偶性等性质，通过导数、不等式等方法实现。2. 应用场景包括恒成立问题、存在性问题等，需转化为最值问题处理。
考点 06：函数的奇偶性 2025 全国一卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2024 新课标 Ⅱ 卷：根据函数交点情况求参数；2024 天津卷：判断函数是否为偶函数；2024 上海卷：判断函数性质的正确性；2023 新课标 Ⅱ 卷：根据偶函数求参数；2023 全国乙卷：根据偶函数求参数；2023 天津卷：根据函数图像判断解析式；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数性质求函数值和；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数奇偶性和对称性判断函数值；2021 全国甲卷：根据函数奇偶性和周期性求函数值；2021 全国乙卷：判断函数经过变换后是否为奇函数；2021 全国甲卷：根据函数奇偶性求函数值；2020 全国 II 卷：判断函数的奇偶性和单调性；2019 北京卷：判断函数为偶函数的条件；2018 全国 II 卷：根据函数奇偶性和周期性求函数值和；2019 全国 II 卷：根据奇函数求函数解析式；2017 全国 III 卷：根据函数有唯一零点求参数；2016 全国 I 卷：判断函数图像；2020 山东卷：根据偶函数判断函数图像；2025 全国二卷：判断奇函数的性质；2023 新课标 Ⅰ 卷：根据函数性质判断结论；2022 新高考全国 Ⅰ 卷：根据函数奇偶性和对称性判断结论；2024 上海卷：根据奇函数求参数；2023 全国甲卷：根据偶函数求参数；2022 全国乙卷：根据奇函数求参数；2022 上海卷：根据奇函数求参数；2021 新高考全国 Ⅰ 卷：根据偶函数求参数；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：写出具有特定性质的函数；2020 全国 III 卷：判断函数的性质；2019 全国 II 卷：根据奇函数求参数；2018 全国 III 卷：根据函数性质求函数值；2019 北京卷：根据函数奇偶性和单调性求参数；2017 全国 II 卷：根据奇函数求函数值；2016 全国 III 卷：根据偶函数求切线方程 1. 奇偶性的判断主要依据定义，即 f (-x) 与 f (x) 的关系。2. 常与函数的周期性、单调性等结合，用于求函数值、判断函数图像、求参数等。
考点 07：函数的周期性 2025 全国一卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数周期性求函数值和；2021 新高考全国 Ⅱ 卷：根据函数周期性和奇偶性判断函数值；2021 全国甲卷：根据函数周期性和奇偶性求函数值；2018 全国 II 卷：根据函数周期性和奇偶性求函数值和；2016 山东卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值；2016 上海卷：判断函数周期性相关命题；2018 江苏卷：利用函数周期性求复合函数值；2017 山东卷：利用函数周期性求函数值；2016 四川卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值和；2016 四川卷：利用函数周期性和奇偶性求函数值和 1. 周期性的判断和应用是重点，常通过定义或函数关系式推出周期。2. 多与奇偶性、单调性结合，用于求函数值、判断函数图像等。
考点 08：函数的对称性 2022 全国乙卷：根据函数对称性求函数值和；2020 全国 III 卷：判断函数的对称性和最值；2018 全国 III 卷：求与已知函数关于直线对称的函数；2017 全国 I 卷：判断函数的对称性和单调性；2016 全国 II 卷：根据函数对称性求交点坐标和；2016 全国 II 卷：根据函数对称性求交点横坐标和；2017 全国 高考真题：根据函数对称性求参数 1. 对称性包括轴对称和中心对称，判断依据是函数满足的关系式。2. 应用方面，多涉及交点问题、函数值求和等，需利用对称性质转化求解。
考点01：函数的定义
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2016·山东·高考真题）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
3．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
4．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，若，则 ．
考点02：函数的定义域和值域
5．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2016·全国II卷·高考真题）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
9．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 .
10．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
11．（2019·江苏·高考真题）函数的定义域是 .
12．（2018·江苏·高考真题）函数的定义域为 ．
13．（2016·江苏·高考真题）函数y=的定义域是 .
考点03：分段函数
14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
16．（2018·全国I卷·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
17．（2017·山东·高考真题）设,若,则
A．2 B．4 C．6 D．8
18．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
19．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
20．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
21．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ；
22．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
23．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
24．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 .
25．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
26．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
27．（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
28．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 .
29．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ．
30．（2016·北京·高考真题）设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
31．（2016·江苏·高考真题）设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[）上， 其中 若 ，则的值是 .
32．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
33．（2020·山东·高考真题）已知函数.
（1）求的值；
（2）求，求实数的取值范围.
34．（2016·浙江·高考真题）已知，函数F（x）=min{2|x 1|，x2 2ax+4a 2}，
其中min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2 2ax+4a 2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；
（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
考点04：函数的单调性的判断及其应用
35．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
38．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
39．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
40．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
41．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
43．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
44．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
45．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
46．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的图像大致为
A． B． C． D．
47．（2017·北京·高考真题）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
48．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
49．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
50．（2017·全国II卷·高考真题）函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
51．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
52．（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
53．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ．
54．（2016·天津·高考真题）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是 .
55．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
考点05：函数的最值及其应用
56．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
57．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
58．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
59．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
60．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
61．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
62．（2016·北京·高考真题）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
63．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
64．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是 .
65．（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是
66．（2016·北京·高考真题）函数的最大值为 .
考点06：函数的奇偶性
一、单选题
67．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
68．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
69．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
70．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
71．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
72．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
73．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
74．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
75．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
76．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
77．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
78．（2021·全国甲卷·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
79．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
80．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
81．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
82．（2019·全国II卷·高考真题）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
83．（2017·全国III卷·高考真题）已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1
84．（2016·全国I卷·高考真题）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
85．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
86．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
87．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
88．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
89．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 .
90．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
91．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
92．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ．
93．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
94．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
95．（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
96．（2019·全国II卷·高考真题）已知是奇函数，且当时，.若，则 .
97．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数，，则 ．
98．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
99．（2017·全国II卷·高考真题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .
100．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
考点07：函数的周期性
101．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
102．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
103．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
104．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
105．（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
106．（2016·山东·高考真题）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则
A． B． C． D．
107．（2016·上海·高考真题）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
108．（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为 ．
109．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝ .
110．（2016·四川·高考真题）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则 = .
111．（2016·四川·高考真题）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=，则f（）+f（2）= ．
考点08：函数的对称性
112．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
113．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
114．（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
115．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
116．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0 B． C． D．
117．（2016·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2 x），若函数 y=|x2 2x 3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0 B．m C．2m D．4m
118．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则 ．
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