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专题25 导数及其应用填选题综合
（四大考点，67题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 导数的概念和几何意义 2025 年全国一卷：已知切线求参数；2025 年全国二卷：结合极值点求函数值2024 年全国甲卷：求切线与坐标轴围成三角形的面积；2024 年新课标 Ⅰ 卷：求公切线相关参数2023 年全国甲卷：求曲线在某点处的切线方程2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断函数极值点、零点等性质；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：判断三角函数导数相关性质；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求曲线过原点切线的参数范围；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：求曲线过原点的切线方程；2022 年全国乙卷：结合极值点求参数范围；2022 年全国乙卷：求曲线在某点处的切线方程2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断过某点作曲线切线的条件；2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：求切线相关线段比值范围；2021 年全国甲卷：求曲线在某点处的切线方程2020 年全国 III 卷：求与两曲线都相切的直线方程；2020 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程；2020 年全国 I 卷：求曲线的切线方程2019 年全国 III 卷：由切线方程求参数；2019 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2019 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程；2019 年江苏卷：求点到直线的最小距离；2019 年江苏卷：由切线过点求切点坐标；2019 年天津卷：求曲线在某点处的切线方程2018 年全国 I 卷：由函数奇偶性求切线方程；2018 年全国 III 卷：由切线斜率求参数；2018 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2018 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2018 年天津卷：求导数值2017 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程2016 年四川卷：求三角形面积取值范围；2016 年全国 III 卷：由函数奇偶性求切线方程；2016 年全国 II 卷：求公切线的参数；2016 年全国 III 卷：由函数奇偶性求切线方程；2016 年天津卷：求导数值 1. 常考查导数的几何意义，即切线斜率与方程求解，涉及曲线在某点处的切线及过某点的切线。2. 常结合函数奇偶性、极值点等性质，求解切线相关参数、面积、距离等，还会涉及公切线问题。
考点 2: 导数的计算 2025 年全国二卷：结合极值点求参数2022 年全国甲卷：由函数最值求导数值2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：写出满足条件的函数2020 年全国 III 卷：由导数值求参数2018 年天津卷：求导数值2016 年天津卷：求导数值 1. 主要考查导数的运算法则，包括基本函数求导、四则运算求导等。2. 常结合函数极值点、最值等条件，通过求导计算参数值或写出满足特定条件的函数。
考点 3: 导数在研究函数中的作用 2024 年上海卷：判断函数性质；2024 年新课标 Ⅰ 卷：判断函数极值点、单调性等性质；2024 年新课标 Ⅱ 卷：判断函数零点、极值点、对称性等性质2023 年新课标 Ⅱ 卷：由函数单调性求参数范围；2023 年新课标 Ⅰ 卷：判断函数性质；2023 年新课标 Ⅱ 卷：由函数极值情况求参数范围；2023 年全国乙卷：由函数单调性求参数范围；2023 年上海卷：求斜坡角度使体能消耗最少2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：比较函数值大小；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求正四棱锥体积范围；2022 年全国甲卷：比较函数值大小；2022 年全国乙卷：求函数在区间上的最值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断函数及导函数性质2021 年全国乙卷：由极值点判断参数关系；2021 年浙江卷：根据函数图象判断函数表达式；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：求函数最小值2019 年北京卷：由函数奇偶性、单调性求参数；2019 年江苏卷：求函数最值2018 年全国 II 卷：判断函数图象；2018 年全国 III 卷：判断函数图象；2018 年全国 I 卷：求函数最小值；2018 年江苏卷：由函数零点求最值和2017 年全国 II 卷：求函数极小值；2017 年浙江卷：由导函数图象判断原函数图象；2017 年江苏卷：由函数单调性求参数范围；2017 年山东卷：判断函数是否具有特定性质2016 年全国 I 卷：判断函数图象；2016 年全国 I 卷：由函数单调性求参数范围 1. 主要用于研究函数的单调性、极值、最值等性质，通过求导判断函数单调区间，确定极值点和最值。2. 常结合函数图象、奇偶性、对称性等，比较函数值大小，求解参数范围，还会涉及实际问题中的最值求解。
考点 4: 导数的综合应用 2024 年全国甲卷：求两曲线交点相关参数范围2021 年北京卷：判断函数零点个数相关结论2020 年江苏卷：求三角形面积最大值 1. 常综合运用导数与函数的多种性质，解决函数零点个数、曲线交点参数范围、实际问题中的最值等复杂问题。2. 多与几何图形、实际场景结合，考查综合分析与解决问题的能力。
考点01：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
5．（2020·全国I卷·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
7．（2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
8．（2018·全国I卷·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
9．（2016·四川·高考真题）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
二、多选题
10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
12．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
16．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
17．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
18．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
19．（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
20．（2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
21．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
22．（2018·全国III卷·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
23．（2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
24．（2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
25．（2017·全国I卷·高考真题）曲线在点（1，2）处的切线方程为 ．
26．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
27．（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 .
28．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
29．（2016·全国II卷·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
30．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是 .
考点02：导数的计算
31．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
32．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
34．（2020·全国III卷·高考真题）设函数．若，则a= ．
35．（2018·天津·高考真题）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ．
36．（2016·天津·高考真题）已知函数为的导函数，则的值为 .
考点03：导数在研究函数中的作用
一、单选题
37．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
39．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
42．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
43．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
44．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2018·全国II卷·高考真题）函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
46．（2018·全国III卷·高考真题）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
47．（2016·全国I卷·高考真题）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
48．（2017·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
49．（2016·全国I卷·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
50．（2017·浙江·高考真题）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
51．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
52．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
53．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
54．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
55．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
56．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
57．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
58．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
59．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 .
60．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
61．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是 ．
62．（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
63．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ．
64．（2017·山东·高考真题）若函数 是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
① ② ③ ④
考点04：导数的综合应用
65．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
66．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
67．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题25 导数及其应用填选题综合
（四大考点，67题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 导数的概念和几何意义 2025 年全国一卷：已知切线求参数；2025 年全国二卷：结合极值点求函数值2024 年全国甲卷：求切线与坐标轴围成三角形的面积；2024 年新课标 Ⅰ 卷：求公切线相关参数2023 年全国甲卷：求曲线在某点处的切线方程2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断函数极值点、零点等性质；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：判断三角函数导数相关性质；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求曲线过原点切线的参数范围；2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：求曲线过原点的切线方程；2022 年全国乙卷：结合极值点求参数范围；2022 年全国乙卷：求曲线在某点处的切线方程2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断过某点作曲线切线的条件；2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：求切线相关线段比值范围；2021 年全国甲卷：求曲线在某点处的切线方程2020 年全国 III 卷：求与两曲线都相切的直线方程；2020 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程；2020 年全国 I 卷：求曲线的切线方程2019 年全国 III 卷：由切线方程求参数；2019 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2019 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程；2019 年江苏卷：求点到直线的最小距离；2019 年江苏卷：由切线过点求切点坐标；2019 年天津卷：求曲线在某点处的切线方程2018 年全国 I 卷：由函数奇偶性求切线方程；2018 年全国 III 卷：由切线斜率求参数；2018 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2018 年全国 II 卷：求曲线在某点处的切线方程；2018 年天津卷：求导数值2017 年全国 I 卷：求曲线在某点处的切线方程2016 年四川卷：求三角形面积取值范围；2016 年全国 III 卷：由函数奇偶性求切线方程；2016 年全国 II 卷：求公切线的参数；2016 年全国 III 卷：由函数奇偶性求切线方程；2016 年天津卷：求导数值 1. 常考查导数的几何意义，即切线斜率与方程求解，涉及曲线在某点处的切线及过某点的切线。2. 常结合函数奇偶性、极值点等性质，求解切线相关参数、面积、距离等，还会涉及公切线问题。
考点 2: 导数的计算 2025 年全国二卷：结合极值点求参数2022 年全国甲卷：由函数最值求导数值2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：写出满足条件的函数2020 年全国 III 卷：由导数值求参数2018 年天津卷：求导数值2016 年天津卷：求导数值 1. 主要考查导数的运算法则，包括基本函数求导、四则运算求导等。2. 常结合函数极值点、最值等条件，通过求导计算参数值或写出满足特定条件的函数。
考点 3: 导数在研究函数中的作用 2024 年上海卷：判断函数性质；2024 年新课标 Ⅰ 卷：判断函数极值点、单调性等性质；2024 年新课标 Ⅱ 卷：判断函数零点、极值点、对称性等性质2023 年新课标 Ⅱ 卷：由函数单调性求参数范围；2023 年新课标 Ⅰ 卷：判断函数性质；2023 年新课标 Ⅱ 卷：由函数极值情况求参数范围；2023 年全国乙卷：由函数单调性求参数范围；2023 年上海卷：求斜坡角度使体能消耗最少2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：比较函数值大小；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求正四棱锥体积范围；2022 年全国甲卷：比较函数值大小；2022 年全国乙卷：求函数在区间上的最值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：判断函数及导函数性质2021 年全国乙卷：由极值点判断参数关系；2021 年浙江卷：根据函数图象判断函数表达式；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：求函数最小值2019 年北京卷：由函数奇偶性、单调性求参数；2019 年江苏卷：求函数最值2018 年全国 II 卷：判断函数图象；2018 年全国 III 卷：判断函数图象；2018 年全国 I 卷：求函数最小值；2018 年江苏卷：由函数零点求最值和2017 年全国 II 卷：求函数极小值；2017 年浙江卷：由导函数图象判断原函数图象；2017 年江苏卷：由函数单调性求参数范围；2017 年山东卷：判断函数是否具有特定性质2016 年全国 I 卷：判断函数图象；2016 年全国 I 卷：由函数单调性求参数范围 1. 主要用于研究函数的单调性、极值、最值等性质，通过求导判断函数单调区间，确定极值点和最值。2. 常结合函数图象、奇偶性、对称性等，比较函数值大小，求解参数范围，还会涉及实际问题中的最值求解。
考点 4: 导数的综合应用 2024 年全国甲卷：求两曲线交点相关参数范围2021 年北京卷：判断函数零点个数相关结论2020 年江苏卷：求三角形面积最大值 1. 常综合运用导数与函数的多种性质，解决函数零点个数、曲线交点参数范围、实际问题中的最值等复杂问题。2. 多与几何图形、实际场景结合，考查综合分析与解决问题的能力。
考点01：导数的概念和几何意义
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
5．（2020·全国I卷·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．（2019·全国III卷·高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．（2019·全国II卷·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当时，，即点在曲线上． 则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
8．（2018·全国I卷·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
9．（2016·四川·高考真题）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
【答案】A
【详解】试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
二、多选题
10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
三、填空题
12．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
14．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
15．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
16．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时 ，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，
则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
17．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
18．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
19．（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
20．（2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
21．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
22．（2018·全国III卷·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
【答案】
【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】解：
则
所以
故答案为-3.
【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．
23．（2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】
【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
24．（2018·全国II卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由，得，
则曲线在点处的切线的斜率为，
则所求切线方程为，即.
【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.
25．（2017·全国I卷·高考真题）曲线在点（1，2）处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
26．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【答案】.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
27．（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
28．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
29．（2016·全国II卷·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y y0＝f ′（x0）（x x0）．
注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．
30．（2016·全国III卷·高考真题）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
考点02：导数的计算
31．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
32．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
33．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
34．（2020·全国III卷·高考真题）设函数．若，则a= ．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
35．（2018·天津·高考真题）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ．
【答案】e
【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由函数的解析式可得：，
则，
即的值为e，故答案为.
点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
36．（2016·天津·高考真题）已知函数为的导函数，则的值为 .
【答案】3
【详解】试题分析：
【考点】导数
【名师点睛】求函数的导数的方法：
（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；
（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
考点03：导数在研究函数中的作用
一、单选题
37．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项：时，，
当时，， 任意的，恒成立，
若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；
对于B选项：若函数图像如下：
当时，，时，，当，，
∴存在在处取最大值，故B选项正确；
对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，
而是全体定义域，故C选项错误；
对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.
故选：B
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
39．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
40．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
41．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故 ，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
42．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
43．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
44．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
45．（2018·全国II卷·高考真题）函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
46．（2018·全国III卷·高考真题）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
47．（2016·全国I卷·高考真题）函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
故选：D.

48．（2017·全国II卷·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
49．（2016·全国I卷·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
50．（2017·浙江·高考真题）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
二、多选题
51．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
52．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
53．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
54．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
55．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
56．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
57．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
58．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
【答案】
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
59．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
60．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
【答案】 -1; .
【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性 单调性 利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识 基础知识 基本运算能力的考查.
61．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．
62．（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．
当时，；当时，．
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为．
故答案为：．
［方法二］： 等价转化
由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，．
只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得，，当且仅当时取等号，
要满足条件只需，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图．
设切点，因为，于是，解得，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
63．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
64．（2017·山东·高考真题）若函数 是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
① ② ③ ④
【答案】①④
【详解】①在上单调递增，故具有性质；
②在上单调递减，故不具有性质；
③，令，则，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
④，令，则， 在上单调递增，故具有性质．
【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
考点04：导数的综合应用
65．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
66．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
67．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则，
所以点P到AB的距离为或，且
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
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