资源简介

专题27 直线与圆填选题综合
（四大考点，69题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 直线与方程 2025 上海卷：三角形面积的最值问题；2024 北京卷：点集的距离最大值与图形面积；2020 全国 III 卷：点到直线距离的最大值；2020 山东卷：直线关于点对称的方程、由直线斜率和截距判断角的象限；2019 北京卷：参数方程化为普通方程及点到直线距离；2016 北京卷：圆心到直线的距离、线段上点的代数式最值 1. 直线方程的求解、点到直线距离公式是核心，常与三角形面积、最值问题结合。2. 涉及直线的斜率、截距、对称等性质，注重数形结合思想的考查。
考点 2: 圆的方程 2025 全国一卷：圆上到直线距离为定值的点的个数与半径范围；2024 北京卷：圆心到直线的距离；2023 全国乙卷：圆环区域内的概率问题；2023 上海卷：由圆的面积求参数；2022 北京卷：直线为圆的对称轴时参数的求解；2022 全国乙卷：过三点的圆方程；2022 全国甲卷：过定点且圆心在定直线上的圆方程；2020 全国 I 卷：圆中弦长的最小值；2020 北京卷：圆的圆心到原点距离的最小值；2020 山东卷：圆心已知且与 y 轴相切的圆方程；2018 全国 III 卷：圆上点到直线距离的面积范围；2018 北京卷：单位圆上点到直线距离的最大值；2018 天津卷：过三点的圆方程；2017 全国卷：以线段为直径的圆方程；2017 天津卷：与抛物线准线相关的圆方程；2017 北京卷：极坐标圆上点到定点距离的最小值；2016 四川卷：圆与动点的向量模最值；2016 天津卷：圆心在 x 轴正半轴的圆方程；2016 浙江卷：方程表示圆时的圆心和半径 1. 圆的标准方程与一般方程的转化是基础，常涉及圆心、半径的求解。2. 与距离、面积、概率等结合，注重圆的几何性质的应用，如弦长、圆心距等。
考点 3: 直线与圆的位置关系 2025 天津卷：弦长与半径的关系；2024 全国甲卷：弦长的最小值（两题）；2024 新课标 II 卷：抛物线准线、圆切线等综合问题；2023 新课标 I 卷：切线夹角的正弦值；2023 全国甲卷：双曲线渐近线与圆的弦长；2023 全国乙卷：圆上点的代数式最大值；2023 新课标 II 卷：弦长与参数的关系；2023 天津卷：切线与抛物线交点的距离；2022 上海卷：点集与直线的位置关系；2022 新高考全国 II 卷：对称直线与圆的位置关系；2022 天津卷：弦长与参数的关系、切线长；2021 北京卷：弦长最小值求参数；2021 新高考全国 I 卷：圆上点到直线距离及角的最值；2020 全国 II 卷：圆与坐标轴相切时圆心到直线的距离；2020 全国 I 卷：切线与直线方程；2020 全国 III 卷：直线与曲线和圆都相切的方程；2018 天津卷：参数方程直线与圆的面积；2018 全国 I 卷：直线与圆的弦长；2018 江苏卷：圆与动点的向量数量积；2016 全国 III 卷：直线与圆的弦长及相关距离（两题）；2016 全国 I 卷：弦长与圆面积 1. 直线与圆的相切、相交是高频考点，涉及切线方程、弦长公式、圆心到直线距离等。2. 常与函数、圆锥曲线等结合，注重综合运用几何性质与代数运算的能力。
考点 4: 圆与圆的位置关系 2022 新高考全国 I 卷：两圆的公切线方程；2022 全国甲卷：双曲线渐近线与圆相切求参数；2020 上海卷：向量与圆的交点个数；2016 山东卷：两圆位置关系的判断 1. 两圆的位置关系（外切、相交等）判断及公切线方程是重点。2. 常与其他曲线（如双曲线）结合，考查圆的切线性质的应用。
考点01：直线与方程
1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2020·全国III卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6．（2019·北京·高考真题）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A． B． C． D．
7．（2016·北京·高考真题）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)
A．1 B．2
C． D．2
8．（2016·北京·高考真题）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
10．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 .
11．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
12．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
13．（2016·上海·高考真题）已知平行直线，则的距离是 .
考点02：圆的方程
一、单选题
14．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
18．（2020·全国I卷·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
19．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
20．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2018·全国III卷·高考真题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
22．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A． B．
C． D．
23．（2016·全国II卷·高考真题）圆的圆心到直线的距离为1，则
A． B． C． D．2
24．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==, = = =–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
25．（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
26．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
27．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
28．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
29．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
30．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
31．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
32．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ．
33．（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则 ， .
34．（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
35．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
36．（2016·天津·高考真题）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
37．（2017·北京·高考真题）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为 ．
38．（2016·浙江·高考真题）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
考点03：直线与圆的位置关系
一、单选题
39．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
40．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
41．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
42．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
43．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
44．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：
①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
45．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
46．（2020·全国II卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
47．（2020·全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
48．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
二、多选题
49．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
50．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
51．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
52．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
53．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
54．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
55．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
56．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
57．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
58．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ．
59．（2018·天津·高考真题）已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为 .
60．（2018·全国I卷·高考真题）直线与圆交于两点，则 ．
61．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ．
62．（2016·全国III卷·高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ．
63．（2016·全国I卷·高考真题）设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为
64．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若· 20，则点P的横坐标的取值范围是
65．（2016·全国III卷·高考真题）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则 .
考点04：圆与圆的位置关系
66．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
67．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
68．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
69．（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题27 直线与圆填选题综合
（四大考点，69题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 直线与方程 2025 上海卷：三角形面积的最值问题；2024 北京卷：点集的距离最大值与图形面积；2020 全国 III 卷：点到直线距离的最大值；2020 山东卷：直线关于点对称的方程、由直线斜率和截距判断角的象限；2019 北京卷：参数方程化为普通方程及点到直线距离；2016 北京卷：圆心到直线的距离、线段上点的代数式最值 1. 直线方程的求解、点到直线距离公式是核心，常与三角形面积、最值问题结合。2. 涉及直线的斜率、截距、对称等性质，注重数形结合思想的考查。
考点 2: 圆的方程 2025 全国一卷：圆上到直线距离为定值的点的个数与半径范围；2024 北京卷：圆心到直线的距离；2023 全国乙卷：圆环区域内的概率问题；2023 上海卷：由圆的面积求参数；2022 北京卷：直线为圆的对称轴时参数的求解；2022 全国乙卷：过三点的圆方程；2022 全国甲卷：过定点且圆心在定直线上的圆方程；2020 全国 I 卷：圆中弦长的最小值；2020 北京卷：圆的圆心到原点距离的最小值；2020 山东卷：圆心已知且与 y 轴相切的圆方程；2018 全国 III 卷：圆上点到直线距离的面积范围；2018 北京卷：单位圆上点到直线距离的最大值；2018 天津卷：过三点的圆方程；2017 全国卷：以线段为直径的圆方程；2017 天津卷：与抛物线准线相关的圆方程；2017 北京卷：极坐标圆上点到定点距离的最小值；2016 四川卷：圆与动点的向量模最值；2016 天津卷：圆心在 x 轴正半轴的圆方程；2016 浙江卷：方程表示圆时的圆心和半径 1. 圆的标准方程与一般方程的转化是基础，常涉及圆心、半径的求解。2. 与距离、面积、概率等结合，注重圆的几何性质的应用，如弦长、圆心距等。
考点 3: 直线与圆的位置关系 2025 天津卷：弦长与半径的关系；2024 全国甲卷：弦长的最小值（两题）；2024 新课标 II 卷：抛物线准线、圆切线等综合问题；2023 新课标 I 卷：切线夹角的正弦值；2023 全国甲卷：双曲线渐近线与圆的弦长；2023 全国乙卷：圆上点的代数式最大值；2023 新课标 II 卷：弦长与参数的关系；2023 天津卷：切线与抛物线交点的距离；2022 上海卷：点集与直线的位置关系；2022 新高考全国 II 卷：对称直线与圆的位置关系；2022 天津卷：弦长与参数的关系、切线长；2021 北京卷：弦长最小值求参数；2021 新高考全国 I 卷：圆上点到直线距离及角的最值；2020 全国 II 卷：圆与坐标轴相切时圆心到直线的距离；2020 全国 I 卷：切线与直线方程；2020 全国 III 卷：直线与曲线和圆都相切的方程；2018 天津卷：参数方程直线与圆的面积；2018 全国 I 卷：直线与圆的弦长；2018 江苏卷：圆与动点的向量数量积；2016 全国 III 卷：直线与圆的弦长及相关距离（两题）；2016 全国 I 卷：弦长与圆面积 1. 直线与圆的相切、相交是高频考点，涉及切线方程、弦长公式、圆心到直线距离等。2. 常与函数、圆锥曲线等结合，注重综合运用几何性质与代数运算的能力。
考点 4: 圆与圆的位置关系 2022 新高考全国 I 卷：两圆的公切线方程；2022 全国甲卷：双曲线渐近线与圆相切求参数；2020 上海卷：向量与圆的交点个数；2016 山东卷：两圆位置关系的判断 1. 两圆的位置关系（外切、相交等）判断及公切线方程是重点。2. 常与其他曲线（如双曲线）结合，考查圆的切线性质的应用。
考点01：直线与方程
1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
3．（2020·全国III卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
4．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
5．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
6．（2019·北京·高考真题）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.
【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.
【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识 基本运算能力的考查.
7．（2016·北京·高考真题）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【详解】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.
【考点】直线与圆的位置关系
【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.
8．（2016·北京·高考真题）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【详解】由题意得，线段AB的方程：，，
∴，
当时等号成立，即的最大值为7.
故选：C.
【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
10．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 .
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：．
11．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
12．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点Q到直线的距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
13．（2016·上海·高考真题）已知平行直线，则的距离是 .
【答案】
【详解】试题分析：
利用两平行线间的距离公式得.
【考点】两平行线间距离公式
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
考点02：圆的方程
一、单选题
14．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
15．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
16．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.

17．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
18．（2020·全国I卷·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
19．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
20．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
21．（2018·全国III卷·高考真题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
22．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】 为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
23．（2016·全国II卷·高考真题）圆的圆心到直线的距离为1，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
24．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==, = = =–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
25．（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设D为三角形ABC的外心，如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
26．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
二、多选题
27．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
28．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、填空题
29．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为，
，解得．
故答案为：
30．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
31．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
32．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
33．（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则 ， .
【答案】
【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.
【详解】可知，把代入得，此时.
【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
34．（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
【答案】
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
35．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
【答案】
【详解】设圆心坐标为，则，焦点，
，
，，
由于圆与轴得正半轴相切，
则取，所求圆得圆心为，半径为1，
所求圆的方程为.
36．（2016·天津·高考真题）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为
【考点】直线与圆位置关系
【名师点睛】求圆的方程有两种方法：
（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
37．（2017·北京·高考真题）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为 ．
【答案】1
【详解】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.
【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系
【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．
38．（2016·浙江·高考真题）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ．
【答案】 ； 5．
【详解】试题分析：由题意，知，，当时，方程为，即，圆心为，半径为5，当时，方程为，不表示圆．
圆的标准方程.
由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
考点03：直线与圆的位置关系
一、单选题
39．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
40．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
41．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

42．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
43．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
44．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：
①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】
对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.
【详解】对于①，取直线,
则对于任意的，有，
故圆均在直线的下方，
而对任意的，有，
故圆均在直线的上方，
而当时，表示原点，它在直线的下方，
故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为
当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
45．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，取得最小值为，解得.
故选：C.
46．（2020·全国II卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
47．（2020·全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
48．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
二、多选题
49．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
50．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
三、填空题
51．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
52．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
53．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
54．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
55．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
56．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
57．（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
58．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ．
【答案】
【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.
【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
59．（2018·天津·高考真题）已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
【详解】由题意可得圆的标准方程为：，
直线的直角坐标方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
则.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
60．（2018·全国I卷·高考真题）直线与圆交于两点，则 ．
【答案】
【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用
根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，
弦心距，所以．
故答案为：.
［方法二］：距离公式的应用
由解得：或，不妨设，
所以．
故答案为：.
［方法三］：参数方程的应用
直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以．
故答案为：.
【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；
方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．
61．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ．
【答案】3
【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果.
【详解】［方法一］：【通性通法】直译法
设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标
所以.所以，
由得
即，解得：或，因为，所以
故答案为：3．
［方法二］：【最优解】几何法
如图3，因为为直径，所以，，．

设，则，
所以，即．
所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3．
［方法三］： 数形结合
如图4，由已知，得，则，所以的方程为．

由解得．
设，则，从而．
所以，解得或．
又，所以．即点A的横坐标为3．
［方法四］：数形结合＋斜率公式
由，得，又C是的中点，所以．
又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而．
设，则，解得．即点A的横坐标为3．
［方法五］： 数形结合＋解三角形
由方法四，知，则．
在中，．
在等腰中，．
设，则，解得或．
又，所以．即点A的横坐标为3．
［方法六］：数形结合＋解三角形
设直线l的倾斜角为，则，则．
由方法四知，于是．
在中，由正弦定理知，解得，
故点A的横坐标为．
［方法七］：数形结合＋解三角形
因为D为以为直径的圆C上一点，所以，C为的中点．
因为，所以，为等腰直角三角形，即．
在中，．
又，所以．
因为A在第一象限，所以．
又，所以．
【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法；
方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解；
方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点的坐标，简化计算；
方法四：通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法；
方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出；
方法六：基本原理同方法五；
方法七：基本原理同方法五．
62．（2016·全国III卷·高考真题）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ．
【答案】4
【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.
【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
63．（2016·全国I卷·高考真题）设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为
【答案】
【详解】因为圆心坐标与半径分别为，所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，应填答案．
64．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若· 20，则点P的横坐标的取值范围是
【答案】
【详解】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．
点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
65．（2016·全国III卷·高考真题）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则 .
【答案】4
【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
考点04：圆与圆的位置关系
66．（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【详解】化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
67．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
68．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
69．（2020·上海·高考真题）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为
【答案】6
【分析】不妨设，，，根据可得的四个不同的轨迹（圆），因此的最大值即为四个不同的圆的任意两者交点的总数.
【详解】根据条件不妨设，，，
，
当，表示圆心为原点，半径为1的圆，
，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，
当，表示圆心为，半径为1的圆，
，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，
由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6.
故答案为：6
【点睛】本题考查向量背景下圆与圆的位置关系，解题的关键是建系后把向量的模的存在性问题转化为圆与圆的交点问题，本题属于难题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑