资源简介

专题28 圆锥曲线（椭圆、双曲线）
填选题综合（93题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 椭圆方程及其性质 2024 新课标 Ⅱ 卷：轨迹方程求解；2023 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算；2023 全国甲卷：焦点三角形中线段长度、向量垂直时线段乘积计算；2022 全国甲卷：离心率与斜率乘积关系、椭圆方程求解 (结合向量数量积);2021 新高考全国 Ⅰ 卷：焦点距离乘积最大值；2021 全国乙卷：离心率范围 (上顶点到点距离最值);2019 全国 I 卷：椭圆方程求解 (焦点弦相关);2018 全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形等腰、直角);2018 全国 I 卷：离心率计算 (焦点坐标已知);2017 浙江：离心率计算；2019 北京：离心率与 a,b 关系；2016 全国 III 卷：离心率计算 (直线与椭圆交点);2018 上海：椭圆定义 (焦点距离和);2016 全国 I 卷：离心率计算 (直线距离);2020 山东：曲线方程类型判断 (含椭圆);2022 新高考全国 Ⅰ 卷：焦点三角形周长；2018 北京：椭圆与双曲线离心率 (正六边形顶点);2019 全国 III 卷：椭圆上点坐标 (焦点三角形等腰);2021 浙江：直线与圆相切及椭圆离心率 1. 离心率计算为高频考点，常结合定义、焦点三角形、斜率等知识。2. 焦点三角形相关计算 (线段长度、乘积、面积) 是重点，注重与正余弦定理、向量结合。3. 椭圆方程求解及轨迹问题注重坐标法应用。
考点 2: 双曲线方程及其性质 2025 全国一卷：离心率计算 (虚轴与实轴关系);2025 天津：离心率计算 (与抛物线结合);2025 北京：离心率计算 (标准方程);2025 全国二卷：双曲线性质综合 (角度、线段比等);2024 全国甲卷：离心率计算 (焦点与点在双曲线上);2024 天津：双曲线方程求解 (焦点三角形面积);2024 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (焦点弦);2023 全国甲卷：渐近线与圆相交弦长；2023 全国乙卷：中点坐标判断 (点差法);2023 天津：双曲线方程求解 (渐近线与焦点);2023 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (向量关系);2023 北京：双曲线方程求解 (焦点已知);2022 全国乙卷：离心率计算 (直线与圆相切);2022 天津：双曲线方程求解 (与抛物线准线结合);2022 全国甲卷：渐近线与圆相切 (m 值)、离心率范围 (直线与双曲线无交点);2022 北京：双曲线方程参数 (渐近线已知);2022 浙江：离心率计算 (直线与双曲线、渐近线交点);2022 上海：实轴长；2021 全国甲卷：离心率计算 (焦点三角形角度)、点到渐近线距离；2021 天津：离心率计算 (与抛物线结合);2021 北京：双曲线方程求解 (离心率已知);2021 新高考全国 Ⅱ 卷：渐近线方程 (离心率已知);2021 全国乙卷：焦距计算 (渐近线已知)、焦点到直线距离；2020 全国 III 卷:a 值计算 (焦点三角形直角);2020 全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (斜率已知);2020 天津：双曲线方程求解 (与抛物线结合);2020 全国 III 卷：离心率计算 (渐近线已知);2020 北京：焦点坐标与焦点到渐近线距离；2020 江苏：离心率计算 (渐近线已知);2020 山东：离心率计算 (与抛物线结合);2019 全国 II 卷：离心率计算 (两圆交点);2019 全国 III 卷：焦点三角形面积；2019 全国 I 卷：离心率计算 (渐近线与焦点)、离心率与渐近线倾斜角；2020 浙江：双曲线与函数交点距离；2019 天津：离心率计算 (抛物线准线与渐近线);2019 北京:a 值计算 (离心率已知);2019 江苏：渐近线方程 (点在双曲线上);2018 浙江：焦点坐标；2018 全国 II 卷：渐近线方程 (离心率已知);2018 全国 III 卷：离心率计算 (焦点到渐近线垂线)、点到渐近线距离；2018 全国 I 卷：焦点与渐近线交点距离；2018 天津：双曲线方程求解 (离心率与距离和);2019 浙江：渐近线与离心率；2018 江苏：离心率计算 (焦点到渐近线距离);2017 天津：双曲线方程求解 (等边三角形、离心率与直线平行);2017 全国 II 卷：离心率范围、离心率计算 (渐近线与圆相交);2017 全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (圆与渐近线交点);2017 全国 III 卷:a 值计算 (渐近线已知);2017 山东：渐近线方程 (与抛物线结合);2018 北京:a 值计算 (离心率已知);2017 上海：焦点距离差；2017 江苏：四边形面积 (准线与渐近线);2016 江苏：焦距计算；2016 浙江：焦点距离和范围 (锐角三角形);2016 北京:a,b 值计算 (渐近线已知)、a 值计算 (渐近线为正方形边);2016 全国 I 卷:n 的取值范围 (双曲线方程);2016 全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形角度);2016 山东：离心率计算 (矩形顶点) 1. 离心率计算是核心，常结合渐近线、焦点、抛物线等知识。2. 渐近线相关问题 (方程、与圆 / 直线位置关系、距离) 考查频繁。3. 焦点三角形计算 (面积、线段长度) 注重定义与正余弦定理应用。4. 双曲线方程求解常与抛物线、几何图形 (矩形、正方形) 结合。
考点01：椭圆方程及其性质
一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
5．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
7．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
8．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
9．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
10．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，
故选：D.
11．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
12．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
13．（2018·全国I卷·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
14．（2017·浙江·高考真题）椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，，，求出，即可求出椭圆的离心率．
【详解】因为椭圆中，，
所以，
得，
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．
15．（2019·北京·高考真题）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识 基本运算能力的考查.
16．（2016·全国III卷·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
17．（2018·上海·高考真题）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，
P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．
故选C．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
18．（2016·全国I卷·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离
，故选B.
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.
二、多选题
19．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、填空题
20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
21．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
【答案】 2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，

故答案为：；．
［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）．
所以．因此双曲线的离心率．
由与联立解得．
因为是正三角形，所以，因此，可得．
将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）．
所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2．
故答案为：；．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为．
设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，．
由正弦定理得．
于是．
即椭圆的离心率．
故答案为：；．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
22．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
23．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
考点02：双曲线方程及其性质
一、单选题
24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
25．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：
26．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
27．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
28．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
29．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
30．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
31．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
32．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
33．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
34．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
35．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
36．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
37．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
38．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以 ，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
39．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
40．（2019·全国II卷·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
41．（2019·全国III卷·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
42．（2019·全国I卷·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得，
，故选D．
【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混．
43．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
44．（2019·天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
45．（2019·北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
46．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
【点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
47．（2018·全国II卷·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
48．（2018·全国III卷·高考真题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
49．（2018·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
50．（2018·全国III卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
51．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择A选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
52．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c
则该双曲线的离心率为 e，
故选C．
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
53．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
，解得：，
双曲线方程为：.
故选：D..
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
54．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
55．（2017·全国II卷·高考真题）若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】， ，
， ， ，则，选C.
56．（2017·全国I卷·高考真题）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．
点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．
57．（2017·全国II卷·高考真题）若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
58．（2016·全国I卷·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
【答案】A
【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.
59．（2016·全国II卷·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为
A． B．
C． D．2
【答案】A
【详解】试题分析：由已知可得，故选A.
考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.
【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.
二、多选题
60．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
61．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
三、填空题
62．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
63．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
64．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以 ，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
65．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
66．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
67．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
68．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
69．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
70．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为 ．
【答案】6
【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案.
【详解】由知，，所以，
所以实轴长.
故答案为：6
【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题.
71．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
72．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
73．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
74．（2020·全国I卷·高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
75．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.
76．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.
77．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
78．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
79．（2019·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ．
【答案】2.
【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得 从而由可求离心率.
【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
80．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】.
【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
81．（2017·全国I卷·高考真题）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ．
【答案】
【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
82．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
【答案】2
【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
83．（2017·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则实数 ．
【答案】2
【详解】，.渐近线方程是.
84．（2017·全国III卷·高考真题）双曲线 的一条渐近线方程为，则 ．
【答案】
【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，
又双曲线的渐近线为，可得，解得．
故答案为：．
85．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
86．（2018·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则a= .
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.
详解：在双曲线中，，且
点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.
87．（2017·上海·高考真题）设双曲线 的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则
【答案】11
【详解】由双曲线的方程，可得，
根据双曲线的定义可知，
又因为，所以.
88．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ．
【答案】
【详解】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．
点睛:（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．
89．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 .
【答案】
【详解】试题分析：．故答案应填：
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，揭示焦点在x轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，离心率为．
90．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
【答案】．
【详解】试题分析：由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，则．
【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．
91．（2016·北京·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则 ； ．
【答案】 1 2
【详解】试题分析：依题意有,结合,解得.
【考点】双曲线的基本概念
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
92．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：不妨设，所以，由及，得：，两边同除以，则有，解方程得，（舍去），所以应该填．
考点：双曲线的简单几何性质．
93．（2016·北京·高考真题）双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
【答案】2
【详解】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题28 圆锥曲线（椭圆、双曲线）
填选题综合（93题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 椭圆方程及其性质 2024 新课标 Ⅱ 卷：轨迹方程求解；2023 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算；2023 全国甲卷：焦点三角形中线段长度、向量垂直时线段乘积计算；2022 全国甲卷：离心率与斜率乘积关系、椭圆方程求解 (结合向量数量积);2021 新高考全国 Ⅰ 卷：焦点距离乘积最大值；2021 全国乙卷：离心率范围 (上顶点到点距离最值);2019 全国 I 卷：椭圆方程求解 (焦点弦相关);2018 全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形等腰、直角);2018 全国 I 卷：离心率计算 (焦点坐标已知);2017 浙江：离心率计算；2019 北京：离心率与 a,b 关系；2016 全国 III 卷：离心率计算 (直线与椭圆交点);2018 上海：椭圆定义 (焦点距离和);2016 全国 I 卷：离心率计算 (直线距离);2020 山东：曲线方程类型判断 (含椭圆);2022 新高考全国 Ⅰ 卷：焦点三角形周长；2018 北京：椭圆与双曲线离心率 (正六边形顶点);2019 全国 III 卷：椭圆上点坐标 (焦点三角形等腰);2021 浙江：直线与圆相切及椭圆离心率 1. 离心率计算为高频考点，常结合定义、焦点三角形、斜率等知识。2. 焦点三角形相关计算 (线段长度、乘积、面积) 是重点，注重与正余弦定理、向量结合。3. 椭圆方程求解及轨迹问题注重坐标法应用。
考点 2: 双曲线方程及其性质 2025 全国一卷：离心率计算 (虚轴与实轴关系);2025 天津：离心率计算 (与抛物线结合);2025 北京：离心率计算 (标准方程);2025 全国二卷：双曲线性质综合 (角度、线段比等);2024 全国甲卷：离心率计算 (焦点与点在双曲线上);2024 天津：双曲线方程求解 (焦点三角形面积);2024 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (焦点弦);2023 全国甲卷：渐近线与圆相交弦长；2023 全国乙卷：中点坐标判断 (点差法);2023 天津：双曲线方程求解 (渐近线与焦点);2023 新课标 Ⅰ 卷：离心率计算 (向量关系);2023 北京：双曲线方程求解 (焦点已知);2022 全国乙卷：离心率计算 (直线与圆相切);2022 天津：双曲线方程求解 (与抛物线准线结合);2022 全国甲卷：渐近线与圆相切 (m 值)、离心率范围 (直线与双曲线无交点);2022 北京：双曲线方程参数 (渐近线已知);2022 浙江：离心率计算 (直线与双曲线、渐近线交点);2022 上海：实轴长；2021 全国甲卷：离心率计算 (焦点三角形角度)、点到渐近线距离；2021 天津：离心率计算 (与抛物线结合);2021 北京：双曲线方程求解 (离心率已知);2021 新高考全国 Ⅱ 卷：渐近线方程 (离心率已知);2021 全国乙卷：焦距计算 (渐近线已知)、焦点到直线距离；2020 全国 III 卷:a 值计算 (焦点三角形直角);2020 全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (斜率已知);2020 天津：双曲线方程求解 (与抛物线结合);2020 全国 III 卷：离心率计算 (渐近线已知);2020 北京：焦点坐标与焦点到渐近线距离；2020 江苏：离心率计算 (渐近线已知);2020 山东：离心率计算 (与抛物线结合);2019 全国 II 卷：离心率计算 (两圆交点);2019 全国 III 卷：焦点三角形面积；2019 全国 I 卷：离心率计算 (渐近线与焦点)、离心率与渐近线倾斜角；2020 浙江：双曲线与函数交点距离；2019 天津：离心率计算 (抛物线准线与渐近线);2019 北京:a 值计算 (离心率已知);2019 江苏：渐近线方程 (点在双曲线上);2018 浙江：焦点坐标；2018 全国 II 卷：渐近线方程 (离心率已知);2018 全国 III 卷：离心率计算 (焦点到渐近线垂线)、点到渐近线距离；2018 全国 I 卷：焦点与渐近线交点距离；2018 天津：双曲线方程求解 (离心率与距离和);2019 浙江：渐近线与离心率；2018 江苏：离心率计算 (焦点到渐近线距离);2017 天津：双曲线方程求解 (等边三角形、离心率与直线平行);2017 全国 II 卷：离心率范围、离心率计算 (渐近线与圆相交);2017 全国 I 卷：焦点三角形面积、离心率计算 (圆与渐近线交点);2017 全国 III 卷:a 值计算 (渐近线已知);2017 山东：渐近线方程 (与抛物线结合);2018 北京:a 值计算 (离心率已知);2017 上海：焦点距离差；2017 江苏：四边形面积 (准线与渐近线);2016 江苏：焦距计算；2016 浙江：焦点距离和范围 (锐角三角形);2016 北京:a,b 值计算 (渐近线已知)、a 值计算 (渐近线为正方形边);2016 全国 I 卷:n 的取值范围 (双曲线方程);2016 全国 II 卷：离心率计算 (焦点三角形角度);2016 山东：离心率计算 (矩形顶点) 1. 离心率计算是核心，常结合渐近线、焦点、抛物线等知识。2. 渐近线相关问题 (方程、与圆 / 直线位置关系、距离) 考查频繁。3. 焦点三角形计算 (面积、线段长度) 注重定义与正余弦定理应用。4. 双曲线方程求解常与抛物线、几何图形 (矩形、正方形) 结合。
考点01：椭圆方程及其性质
一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
8．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·全国I卷·高考真题）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
10．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
11．（2018·全国II卷·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
12．（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2018·全国I卷·高考真题）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A． B． C． D．
14．（2017·浙江·高考真题）椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·北京·高考真题）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
16．（2016·全国III卷·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
17．（2018·上海·高考真题）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
18．（2016·全国I卷·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)
A． B．
C． D．
二、多选题
19．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
三、填空题
20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
21．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
22．（2019·全国III卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
23．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点， ，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
考点02：双曲线方程及其性质
一、单选题
24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
25．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
26．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
28．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
35．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
37．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
38．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
39．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
40．（2019·全国II卷·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
41．（2019·全国III卷·高考真题）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
42．（2019·全国I卷·高考真题）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
43．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
44．（2019·天津·高考真题）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
45．（2019·北京·高考真题）已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=
A． B．4 C．2 D．
46．（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
47．（2018·全国II卷·高考真题）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
48．（2018·全国III卷·高考真题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B． C． D．
49．（2018·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
50．（2018·全国III卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
51．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
52．（2019·浙江·高考真题）渐近线方程为的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
53．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
54．（2017·天津·高考真题）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
55．（2017·全国II卷·高考真题）若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
56．（2017·全国I卷·高考真题）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为
A． B．
C． D．
57．（2017·全国II卷·高考真题）若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B． C． D．
58．（2016·全国I卷·高考真题）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)
59．（2016·全国II卷·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为
A． B．
C． D．2
二、多选题
60．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
61．（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
62．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
63．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
64．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
65．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
66．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
67．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
68．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
69．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
70．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为 ．
71．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
72．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
73．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
74．（2020·全国I卷·高考真题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
75．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为 ．
76．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ．
77．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 .
78．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
79．（2019·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ．
80．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
81．（2017·全国I卷·高考真题）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ．
82．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
83．（2017·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则实数 ．
84．（2017·全国III卷·高考真题）双曲线 的一条渐近线方程为，则 ．
85．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
86．（2018·北京·高考真题）若双曲线的离心率为，则a= .
87．（2017·上海·高考真题）设双曲线 的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则
88．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点
P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是 ．
89．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 .
90．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
91．（2016·北京·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则 ； ．
92．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
93．（2016·北京·高考真题）双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑