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专题29 圆锥曲线（抛物线、位置关系等）
（四大考点，59题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 抛物线方程及其性质 2025 全国二卷：抛物线定义与焦点弦计算；2025 天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2025 北京卷：抛物线顶点到焦点距离求 p2024 新课标 Ⅱ 卷：抛物线与圆的位置关系及切线长计算；2024 天津卷：抛物线与圆交点及距离计算；2024 北京卷：抛物线焦点坐标；2024 上海卷：抛物线点到准线距离求到 x 轴距离2023 北京卷：抛物线点到焦点与准线距离关系；2023 全国乙卷：抛物线点到准线距离2022 全国乙卷：抛物线焦点与点距离关系；2022 天津卷：抛物线与双曲线结合求方程；2022 新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线与直线、圆结合；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点弦与距离关系2021 新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点到直线距离求 p;2021 天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2021 新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线焦点与垂直关系；2021 北京卷：抛物线焦半径与面积2020 北京卷：抛物线垂直平分线性质；2020 全国 I 卷：抛物线点到焦点与 y 轴距离求 p;2020 全国 II 卷：抛物线与椭圆焦点重合求 p2019 全国 II 卷：抛物线与椭圆焦点重合求 p;2019 北京卷：抛物线焦点为圆心的圆方程2018 全国 III 卷：抛物线焦点弦与垂直关系；2018 北京卷：抛物线截直线线段长求焦点；2018 全国 I 卷：抛物线焦点弦与向量数量积2017 全国 I 卷：抛物线焦点垂直弦长最值；2017 全国 II 卷：抛物线焦点延长线与中点关系；2017 山东卷：抛物线与双曲线交点求渐近线；2017 天津卷：抛物线准线相关圆方程2016 全国 I 卷：抛物线与圆相交求焦点到准线距离；2016 全国 II 卷：抛物线与反比例函数交点求 k 1. 抛物线定义、方程及焦点、准线性质为高频考点，常单独考查或与双曲线、椭圆结合。2. 注重与距离、垂直、面积等几何量结合，考查运算与转化能力。
考点 2: 曲线与方程 2024 新课标 Ⅱ 卷：圆上点垂线段中点轨迹方程；2024 新课标 Ⅰ 卷：新曲线定义下的性质判断2022 北京卷：正三棱锥内点的轨迹面积2021 浙江卷：等比数列条件下点的轨迹判断2020 全国 III 卷：向量数量积条件下点的轨迹 1. 轨迹方程求解是核心，涉及中点、向量等条件转化。2. 注重轨迹类型判断，结合几何图形性质考查。
考点 3: 直线与圆锥曲线的位置关系 2023 新课标 Ⅱ 卷：直线与椭圆相交面积比求参数；2023 全国乙卷：双曲线中点弦存在性判断2022 新高考全国 Ⅱ 卷：直线与椭圆相交求方程2021 全国乙卷：椭圆上点到顶点距离最值；2021 全国甲卷：椭圆焦点四边形面积；2021 上海卷：椭圆与抛物线结合求准线2020 全国 II 卷：双曲线渐近线与直线交点面积求焦距；2020 全国 III 卷：直线与抛物线交点垂直求焦点；2020 山东卷：抛物线焦点弦长2019 全国 III 卷：双曲线点与焦点距离求面积；2019 浙江卷：椭圆焦点与中点圆关系求斜率2018 全国 I 卷：双曲线渐近线与直线交点距离；2018 全国 I 卷：抛物线焦点弦向量数量积；2018 浙江卷：椭圆上点横坐标最值求参数2017 全国 II 卷：抛物线焦点弦与距离；2017 全国 I 卷：椭圆上点张角条件求参数范围2016 浙江卷：双曲线焦点三角形锐角条件求距离和范围；2016 四川卷：直线与圆锥曲线位置关系判断 1. 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为必考内容，涉及弦长、面积、中点、最值等。2. 常与韦达定理、点差法结合，考查运算与逻辑推理能力。
考点 4: 圆锥曲线新定义 2023 上海卷:“自相关曲线” 定义下椭圆与双曲线判断2016 四川卷:“伴随点” 定义下曲线性质判断 1. 以新定义为载体，考查对圆锥曲线性质的理解与应用。2. 注重信息转化能力，结合已有知识分析新问题。
考点01：抛物线方程及其性质
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
9．（2020·全国I卷·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
10．（2019·全国II卷·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
11．（2017·全国I卷·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
12．（2016·全国I卷·高考真题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．8 B．6 C．4 D．2
13．（2016·全国II卷·高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
16．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
三、填空题
19．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
20．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
21．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
22．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
23．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
24．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
25．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
26．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
27．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ．
28．（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
29．（2017·全国II卷·高考真题）已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
30．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
31．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
32．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
考点02：曲线与方程
一、单选题
33．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
34．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
36．（2020·全国III卷·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
二、多选题
37．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
考点03：直线与圆锥曲线的位置关系
一、单选题
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
39．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
41．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
42．（2020·全国III卷·高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C： 交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
43．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
44．（2019·全国III卷·高考真题）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为
A． B． C． D．
45．（2018·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
46．（2018·全国I卷·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6 C．7 D．8
47．（2017·全国II卷·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
48．（2017·全国I卷·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题
49．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
50．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
51．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
52．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
53．（2020·山东·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
54．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 .
55．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
56．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
57．（2021·上海·高考真题）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是
考点04：圆锥曲线新定义
58．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
59．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题29 圆锥曲线（抛物线、位置关系等）
（四大考点，59题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 抛物线方程及其性质 2025 全国二卷：抛物线定义与焦点弦计算；2025 天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2025 北京卷：抛物线顶点到焦点距离求 p2024 新课标 Ⅱ 卷：抛物线与圆的位置关系及切线长计算；2024 天津卷：抛物线与圆交点及距离计算；2024 北京卷：抛物线焦点坐标；2024 上海卷：抛物线点到准线距离求到 x 轴距离2023 北京卷：抛物线点到焦点与准线距离关系；2023 全国乙卷：抛物线点到准线距离2022 全国乙卷：抛物线焦点与点距离关系；2022 天津卷：抛物线与双曲线结合求方程；2022 新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线与直线、圆结合；2022 新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点弦与距离关系2021 新高考全国 Ⅱ 卷：抛物线焦点到直线距离求 p;2021 天津卷：抛物线与双曲线结合求离心率；2021 新高考全国 Ⅰ 卷：抛物线焦点与垂直关系；2021 北京卷：抛物线焦半径与面积2020 北京卷：抛物线垂直平分线性质；2020 全国 I 卷：抛物线点到焦点与 y 轴距离求 p;2020 全国 II 卷：抛物线与椭圆焦点重合求 p2019 全国 II 卷：抛物线与椭圆焦点重合求 p;2019 北京卷：抛物线焦点为圆心的圆方程2018 全国 III 卷：抛物线焦点弦与垂直关系；2018 北京卷：抛物线截直线线段长求焦点；2018 全国 I 卷：抛物线焦点弦与向量数量积2017 全国 I 卷：抛物线焦点垂直弦长最值；2017 全国 II 卷：抛物线焦点延长线与中点关系；2017 山东卷：抛物线与双曲线交点求渐近线；2017 天津卷：抛物线准线相关圆方程2016 全国 I 卷：抛物线与圆相交求焦点到准线距离；2016 全国 II 卷：抛物线与反比例函数交点求 k 1. 抛物线定义、方程及焦点、准线性质为高频考点，常单独考查或与双曲线、椭圆结合。2. 注重与距离、垂直、面积等几何量结合，考查运算与转化能力。
考点 2: 曲线与方程 2024 新课标 Ⅱ 卷：圆上点垂线段中点轨迹方程；2024 新课标 Ⅰ 卷：新曲线定义下的性质判断2022 北京卷：正三棱锥内点的轨迹面积2021 浙江卷：等比数列条件下点的轨迹判断2020 全国 III 卷：向量数量积条件下点的轨迹 1. 轨迹方程求解是核心，涉及中点、向量等条件转化。2. 注重轨迹类型判断，结合几何图形性质考查。
考点 3: 直线与圆锥曲线的位置关系 2023 新课标 Ⅱ 卷：直线与椭圆相交面积比求参数；2023 全国乙卷：双曲线中点弦存在性判断2022 新高考全国 Ⅱ 卷：直线与椭圆相交求方程2021 全国乙卷：椭圆上点到顶点距离最值；2021 全国甲卷：椭圆焦点四边形面积；2021 上海卷：椭圆与抛物线结合求准线2020 全国 II 卷：双曲线渐近线与直线交点面积求焦距；2020 全国 III 卷：直线与抛物线交点垂直求焦点；2020 山东卷：抛物线焦点弦长2019 全国 III 卷：双曲线点与焦点距离求面积；2019 浙江卷：椭圆焦点与中点圆关系求斜率2018 全国 I 卷：双曲线渐近线与直线交点距离；2018 全国 I 卷：抛物线焦点弦向量数量积；2018 浙江卷：椭圆上点横坐标最值求参数2017 全国 II 卷：抛物线焦点弦与距离；2017 全国 I 卷：椭圆上点张角条件求参数范围2016 浙江卷：双曲线焦点三角形锐角条件求距离和范围；2016 四川卷：直线与圆锥曲线位置关系判断 1. 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为必考内容，涉及弦长、面积、中点、最值等。2. 常与韦达定理、点差法结合，考查运算与逻辑推理能力。
考点 4: 圆锥曲线新定义 2023 上海卷:“自相关曲线” 定义下椭圆与双曲线判断2016 四川卷:“伴随点” 定义下曲线性质判断 1. 以新定义为载体，考查对圆锥曲线性质的理解与应用。2. 注重信息转化能力，结合已有知识分析新问题。
考点01：抛物线方程及其性质
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：
3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
4．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
9．（2020·全国I卷·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
10．（2019·全国II卷·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
11．（2017·全国I卷·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴ ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
12．（2016·全国I卷·高考真题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选C.
考点：抛物线的性质.

13．（2016·全国II卷·高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
二、多选题
14．（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以 ，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
15．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
16．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
19．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
20．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
21．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
22．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
23．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
24．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以 ,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
25．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.
【详解】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；.
26．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
27．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
28．（2018·全国III卷·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
29．（2017·全国II卷·高考真题）已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．
【答案】6
【详解】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
30．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
【详解】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，
解得：，，
由抛物线方程可得：，
焦点坐标为.
点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.
31．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
32．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
【答案】
【详解】设圆心坐标为，则，焦点，
，
，，
由于圆与轴得正半轴相切，
则取，所求圆得圆心为，半径为1，
所求圆的方程为.
考点02：曲线与方程
一、单选题
33．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
34．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
35．（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
36．（2020·全国III卷·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
37．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，
故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.
考点03：直线与圆锥曲线的位置关系
一、单选题
38．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
39．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
40．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
41．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
42．（2020·全国III卷·高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C： 交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
43．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以 ，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
44．（2019·全国III卷·高考真题）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点，则①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故选B．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
45．（2018·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
46．（2018·全国I卷·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
47．（2017·全国II卷·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
48．（2017·全国I卷·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
二、填空题
49．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
【详解】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
故答案为：（或，答案不唯一）.
50．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
51．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
52．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
53．（2020·山东·高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
54．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 .
【答案】
【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知，
由中位线定理可得，设可得，
联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以

方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知，
由中位线定理可得，即
求得，所以.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
55．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出.
【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，
，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，因为，所以．
即 ①， ②，
又因为，所以．
不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．
由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以．
【整体点评】方法一：由题意中点的坐标关系，以及点差法可求出点的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
56．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 ．
【答案】．
【详解】试题分析：由已知得，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在双曲线的右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，则．
【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．
57．（2021·上海·高考真题）已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是
【答案】
【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解．
【详解】解：设，，则抛物线，
直线，联立方程组，解得，，
所以点的坐标为，所以，又，所以
所以，所以，
则，
所以抛物线的准线方程为：，
故答案为：．
考点04：圆锥曲线新定义
58．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【答案】B
【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断，
【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，，
则椭圆上一点到距离为，
当时，对称轴，可得，
总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，
对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，
故选：B
【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可．
59．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
【答案】②③
【详解】对于①，若令，则其伴随点为，
而的伴随点为，而不是，故错误；
对于②，设曲线关于轴对称，
则对曲线表示同一曲线，
其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，
又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；
③令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，
故正确；
对于④，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，
故错误.
故答案为：②③.
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