资源简介

专题05 排列组合与二项式定理
（两大考点，65题）
考点 十年考情 (2016 - 2025) 命题趋势
考点 1：排列组合综合 2025 年上海卷：队列排列个数计算；2024 年天津卷：概率计算（含条件概率）；2024 年全国甲卷：概率计算（取球平均值相关）；2024 年上海卷：集合元素个数最大值（奇偶性分析）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：方格选法及数值和最大值；2023 年新课标 Ⅰ 卷：选课方案计算；2023 年全国各卷：抽样、选读相同读物、不同年级学生选取、两天公益活动安排等排列组合应用；2022 年新高考卷：相邻排列、互质概率、正方体顶点共面概率；2021 年全国卷：0 不相邻概率、志愿者分配；2020 年海南、山东等卷：志愿者安排、课代表分配；2019 年全国卷：重卦阳爻概率、女同学相邻概率；2018 年全国卷：科技比赛选法；2017 年全国卷：志愿者工作安排；2016 年全国卷：最短路径计算 1. 高频考查排列组合的实际应用，如排队、分配、选法等问题。2. 常与概率结合，考查古典概型概率计算。3. 注重对分类讨论、捆绑法、插空法等基本方法的考查。
考点 2：二项式定理 2025 年北京卷：已知展开式求系数；2025 年天津卷：展开式中项的系数；2025 年上海卷：二项式展开式中项的系数；2024 年全国甲卷：展开式中各项系数最大值；2024 年天津卷：展开式中的常数项；2024 年上海卷：根据展开式各项系数和求项的系数；2023 年天津卷：展开式中项的系数；2023 年上海卷：二项式相关计算求 k 的最大值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：展开式中项的系数；2022 年浙江、天津等卷：多项式展开式系数、常数项；2021 年北京、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2020 年全国、天津等卷：展开式中项的系数、常数项；2019 年天津、浙江等卷：展开式中的常数项、有理项个数；2018 年浙江、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2017 年山东卷：根据展开式中项的系数求 n；2016 年全国、北京等卷：展开式中项的系数 1. 主要考查二项展开式中特定项的系数（如 x 项、常数项等）。2. 常涉及利用通项公式求解系数，或根据系数条件求参数值。3. 有时会结合多项式展开式进行系数相关的计算。
考点01：排列组合综合
1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
4．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
8．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
9．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
14．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
16．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
17．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
18．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
20．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
21．（2020·全国II卷·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
22．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
23．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
24．（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
25．（2019·全国I卷·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
26．（2019·全国III卷·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
27．（2018·全国I卷·高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
28．（2017·全国II卷·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
29．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
30．（2016·全国II卷·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
31．（2017·上海·高考真题）若排列数，则
32．（2016·江苏·高考真题）（1）求的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.
33．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
考点02：二项式定理
34．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
35．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
36．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
38．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
39．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
40．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
41．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
42．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 .
43．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
44．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
45．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
46．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
47．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
48．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
49．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
50．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
51．（2020·全国I卷·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
52．（2019·全国III卷·高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
53．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
54．（2017·全国I卷·高考真题）展开式中的系数为
A． B．
C． D．
55．（2020·全国III卷·高考真题）的展开式中常数项是 （用数字作答）．
56．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
57．（2020·浙江·高考真题）设，则 ； ．
58．（2019·天津·高考真题）展开式中的常数项为 .
59．（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
60．（2018·浙江·高考真题）二项式的展开式的常数项是 ．
61．（2018·天津·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
62．（2016·全国I卷·高考真题）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
63．（2017·山东·高考真题）已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n= .
64．（2016·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答)
65．（2019·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 排列组合与二项式定理
（两大考点，65题）
考点 十年考情 (2016 - 2025) 命题趋势
考点 1：排列组合综合 2025 年上海卷：队列排列个数计算；2024 年天津卷：概率计算（含条件概率）；2024 年全国甲卷：概率计算（取球平均值相关）；2024 年上海卷：集合元素个数最大值（奇偶性分析）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：方格选法及数值和最大值；2023 年新课标 Ⅰ 卷：选课方案计算；2023 年全国各卷：抽样、选读相同读物、不同年级学生选取、两天公益活动安排等排列组合应用；2022 年新高考卷：相邻排列、互质概率、正方体顶点共面概率；2021 年全国卷：0 不相邻概率、志愿者分配；2020 年海南、山东等卷：志愿者安排、课代表分配；2019 年全国卷：重卦阳爻概率、女同学相邻概率；2018 年全国卷：科技比赛选法；2017 年全国卷：志愿者工作安排；2016 年全国卷：最短路径计算 1. 高频考查排列组合的实际应用，如排队、分配、选法等问题。2. 常与概率结合，考查古典概型概率计算。3. 注重对分类讨论、捆绑法、插空法等基本方法的考查。
考点 2：二项式定理 2025 年北京卷：已知展开式求系数；2025 年天津卷：展开式中项的系数；2025 年上海卷：二项式展开式中项的系数；2024 年全国甲卷：展开式中各项系数最大值；2024 年天津卷：展开式中的常数项；2024 年上海卷：根据展开式各项系数和求项的系数；2023 年天津卷：展开式中项的系数；2023 年上海卷：二项式相关计算求 k 的最大值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：展开式中项的系数；2022 年浙江、天津等卷：多项式展开式系数、常数项；2021 年北京、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2020 年全国、天津等卷：展开式中项的系数、常数项；2019 年天津、浙江等卷：展开式中的常数项、有理项个数；2018 年浙江、天津等卷：展开式中的常数项、项的系数；2017 年山东卷：根据展开式中项的系数求 n；2016 年全国、北京等卷：展开式中项的系数 1. 主要考查二项展开式中特定项的系数（如 x 项、常数项等）。2. 常涉及利用通项公式求解系数，或根据系数条件求参数值。3. 有时会结合多项式展开式进行系数相关的计算。
考点01：排列组合综合
1．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
【答案】288
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
2．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，出场次序共有24种，
其中符合题意的出场次序共有8种，
故所求概率；
解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种；
于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意；
基本事件总数显然是，
根据古典概型的计算公式，所求概率为.
故选：C
3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲参加“整地做畦”的概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选择有3种可能性：，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
4．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
9．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
10．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
14．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
15．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
16．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
【答案】10
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可.
【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .
故答案为：10
17．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
【答案】
【分析】
由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果．
【详解】
解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
18．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
19．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
20．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
21．（2020·全国II卷·高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
22．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
23．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
24．（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
25．（2019·全国I卷·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
26．（2019·全国III卷·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
27．（2018·全国I卷·高考真题）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
28．（2017·全国II卷·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【详解】4项工作分成3组,可得：=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：种．
故选D.
29．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260.
【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
详解：若不取零，则排列数为，若取零，则排列数为
因此一共有+=1260个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
30．（2016·全国II卷·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
31．（2017·上海·高考真题）若排列数，则
【答案】3
【详解】 由，所以，解得.
32．（2016·江苏·高考真题）（1）求的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.
【答案】（1）0（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的 ，而且可由（1）归纳出的 ；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数 ，从而达到化简求证的目的.
试题解析：解：（1）
（2）当时，结论显然成立，当时
又因为
所以
因此
【考点】组合数及其性质
【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.
33．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.
考点02：二项式定理
34．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，
即展开式中的系数为.
故答案为：
35．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ．
【答案】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
36．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：.
37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
38．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
39．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，
所以的展开式项的系数为.
故答案为：10
40．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
41．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
42．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 .
【答案】49
【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案.
【详解】二项式的通项为，
二项式的通项为，
，
，若，则为奇数，
此时，
，又为奇数，的最大值为49.
故答案为：49.
43．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
44．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】第项的二项式系数为，
故选：A.
45．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
46．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
47．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
【答案】15
【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
48．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
【答案】
【分析】利用二项展开通项公式即可得解.
【详解】的展开式的通项，
令，解得，故常数项为.
故答案为：.
49．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
50．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
51．（2020·全国I卷·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
52．（2019·全国III卷·高考真题）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
53．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
54．（2017·全国I卷·高考真题）展开式中的系数为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．
【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，
故选：C．
55．（2020·全国III卷·高考真题）的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
56．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
【答案】10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
57．（2020·浙江·高考真题）设，则 ； ．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
58．（2019·天津·高考真题）展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项．
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．
59．（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
【答案】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.
60．（2018·浙江·高考真题）二项式的展开式的常数项是 ．
【答案】7
【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.
61．（2018·天津·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ．
【答案】.
【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.
【详解】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
62．（2016·全国I卷·高考真题）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】10
【详解】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
考点:二项式定理
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.
63．（2017·山东·高考真题）已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n= .
【答案】
【分析】利用通项公式即可得出．
【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含有x2的系数是54，∴r＝2．
∴54，可得6，∴6，n∈N*．
解得n＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
64．（2016·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答)
【答案】60.
【详解】试题分析：因为，所以的系数为
考点：二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
65．（2019·江苏·高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
【答案】（1）；
（2）-32.
【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑