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专题03 平面向量（四大考点，99题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：平面向量的线性运算 2025 天津卷：线性运算与数量积；2023 全国甲卷：线性运算及几何意义；2021 全国乙卷：向量平行坐标运算；2020 海南卷：向量加减法运算；2020 山东卷：平行四边形向量线性表示；2019 浙江卷：向量模最值；2018 全国 I 卷：三角形中线向量运算；2017 全国 II 卷：向量模与垂直；2017 北京卷：向量共线条件判断 1. 高频考查向量加减乘运算及几何意义，结合三角形、平行四边形命题2. 向量共线、垂直条件与几何性质结合是热点
考点 2：平面向量的基本定理及坐标表示 2025 全国一卷：向量坐标计算（真风风速）；2025 全国二卷：向量垂直坐标运算；2025 上海卷：向量与数列结合（三角形构成）；2024 新课标 Ⅰ 卷：向量垂直坐标运算；2024 全国甲卷：向量平行与垂直条件；2023 新课标 Ⅰ 卷：坐标运算与垂直；2023 全国乙卷：正方形中数量积坐标运算；2022 新高考 Ⅰ/Ⅱ 卷：线性运算坐标表示；2022 全国乙卷：向量模坐标计算；2016 四川卷：向量模最值 1. 核心考查坐标表示，结合垂直 / 平行的坐标条件，侧重代数运算2. 基底表示与几何动点问题结合，考查转化思想
考点 3：平面向量的数量积 2025 北京卷：数量积取值范围；2024 新课标 Ⅱ 卷：数量积运算；2023 北京 / 全国甲卷：数量积坐标运算；2023 全国乙卷：圆中数量积最值；2022 全国乙卷 / 北京卷：数量积应用；2020 全国 III 卷：向量夹角计算；2020 山东卷：正六边形中数量积取值范围；2019 全国 I 卷：夹角与垂直关系；2018 全国 II 卷：向量模运算；2017 全国 II 卷：等边三角形中数量积最小值 1. 高频考查模、夹角、垂直的数量积运算，结合几何图形2. 最值问题通过坐标法或几何意义转化为函数问题
考点 4：平面向量的应用举例 2025 天津卷：椭圆中向量与直线综合；2022 浙江卷：单位圆内接正八边形向量模取值范围；2021 上海卷：三角形中向量线性关系判断；2017 全国 III 卷：矩形中向量线性表示最值；2017 上海卷：向量与直线距离综合；2016 四川卷：向量与圆综合最值 1. 重点考查向量在矩形、圆、椭圆等几何图形中的应用2. 取值范围与最值问题通过坐标法或几何性质求解
考点01：平面向量的线性运算
1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
4．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
5．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

【答案】或0
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
6．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
7．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
8．（2019·浙江·高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 .
【答案】 0
【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，
0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
9．（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
10．（2017·全国II卷·高考真题）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
【答案】A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
11．（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.
12．（2016·全国II卷·高考真题）已知向量，且，则___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
考点02：平面向量的基本定理及坐标表示
13．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.6~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
14．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.
【详解】由题意，不妨设，
三点均在第一象限内，由可知，，
故点恒在线段上，则有.
即对任意的，恒成立，
令，构造函数，
则，由单调递增，
又，存在，使，
即当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故至多个零点，
又由，
可知存在个零点，不妨设，且.
①若，即时，此时或.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，即时，此时.
则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，
所以恒成立，故，
所以有，解得或；
综上可知，正整数的个数有个.
故选：B.
15．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
16．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
17．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
19．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
20．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
22．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
25．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
26．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
27．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
28．（2018·全国III卷·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
29．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
【答案】.
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
30．（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．

【答案】
【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．
31．（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设D为三角形ABC的外心，如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
32．（2016·江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【答案】
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
33．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解.
【详解】.
故答案为：
34．（2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,则 .
【答案】-3
【详解】由可得
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.
35．（2017·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
考点03：平面向量的数量积
36．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
37．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
38．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
39．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
40．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
41．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
42．（2023·上海·高考真题）已知,，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
43．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
44．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
45．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
46．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 .
【答案】/
【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出.
【详解】因为，所以，设.
由可得：，
两式相除得：.
又，且
解得：.
因为，所以，解得：.
故答案为：.
47．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
48．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
50．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
51．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
52．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
【答案】 1
【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
53．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
54．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
55．（2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
56．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
57．（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
58．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
59．（2020·全国I卷·高考真题）设为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.
【详解】因为为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
60．（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
61．（2020·全国I卷·高考真题）设向量，若，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
62．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
63．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
64．（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
65．（2019·全国II卷·高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由，，得，则，．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
66．（2019·全国II卷·高考真题）已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．
【详解】由已知，，
所以，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
67．（2019·全国III卷·高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
【答案】.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
68．（2019·全国III卷·高考真题）已知向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
69．（2019·天津·高考真题） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 .
【答案】.
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，
所以．
所以．
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．
70．（2019·北京·高考真题）已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m= .
【答案】8.
【分析】利用转化得到加以计算，得到.
【详解】向量
则.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
71．（2018·全国II卷·高考真题）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
72．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
73．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
74．（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
75．（2018·北京·高考真题）设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别讨论.
【详解】充分性：因为，所以，即，展开得：
.
因为，均为单位向量，所以，所以，即.
所以充分性满足.
必要性：因为，且，均为单位向量，
所以.
同理可求：，所以.
故必要性满足.
故选：C
76．（2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m= .
【答案】-1.
【分析】根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.
【详解】，
，
由得：，
，
即.
【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.
77．（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
78．（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则

A．I１【答案】C
【详解】因为，，，所以，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到．
79．（2017·全国I卷·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= .
【答案】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案为.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
80．（2017·天津·高考真题）在中，，，. 若，，且，则的值为 .
【答案】
【详解】 ,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
81．（2017·全国I卷·高考真题）已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m= ．
【答案】7
【详解】由题得，因为，所以，解得．
82．（2017·全国III卷·高考真题）已知向量，且，则 .
【答案】2
【详解】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
83．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】 4
【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
84．（2017·北京·高考真题）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为 ．
【答案】6
【详解】试题分析：所以最大值是6.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为.
85．（2017·山东·高考真题）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与λ的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
【答案】
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），
则（，﹣1），
λ（1，λ）；
又夹角为60°，
∴（） （λ）λ＝2cos60°，
即λ，
解得λ．
【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
86．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
【答案】+=1
【详解】设圆心坐标为，则，焦点，
，
，，
由于圆与轴得正半轴相切，
则取，所求圆得圆心为，半径为1，
所求圆的方程为+=1
87．（2016·全国II卷·高考真题）已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6
C．6 D．8
【答案】D
【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
88．（2016·全国III卷·高考真题）已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
89．（2016·天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
90．（2015·四川·高考真题）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C
【分析】根据图形得出,,
,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,
根据图形可得:,
,
,
,
,
,
，
，
故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
91．（2016·山东·高考真题）已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【详解】由，可设，
又，所以
所以，故选B．
92．（2016·全国I卷·高考真题）设向量，且，则＝ .
【答案】
【详解】根据两向量垂直，可得，
解得.
故答案为：.
93．（2016·全国I卷·高考真题）设向量，且，则m= .
【答案】-2
【详解】试题分析：由题意得
考点：向量的模
考点04：平面向量的应用举例
94．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解；
（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.
【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为，
则左焦点，右顶点，离心率，即，
因为为上一点，设，
又直线的斜率为，则，即，
所以，解得，则，即，
因为的面积为，，高为，
所以，解得，
则，，
所以椭圆的方程为.
.
（2）由（1）可知，，，
易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，
联立，消去得，，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以，
即，则，解得，则，
所以直线的方程为，
联立，解得，则，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则，
所以，
，
则，又，
所以，即平分.
法二：所以，，，
由两直线夹角公式，得，，
则，又，
所以，即平分.
法三：则，，
故，
又，
所以，即平分.
法四：则，
所以直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，
又点到直线的距离也为，
所以平分.
95．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
96．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.
【详解】不妨设，，，，，
① ，，若，∴，
∴，满足条件的明显存在，∴①成立；
② F为AB中点，，与交点即重心，
∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；
故选：B
97．（2017·全国III卷·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
98．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
99．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“ ”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为

【答案】、、
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），
线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形，如图所示；
设四边形重心为M（x，y），
则，
由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，
则符合条件的直线一定经过点，
且过点的直线有无数条；
由过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
所以符合条件的点是、、．
故答案为：、、．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 平面向量（四大考点，99题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：平面向量的线性运算 2025 天津卷：线性运算与数量积；2023 全国甲卷：线性运算及几何意义；2021 全国乙卷：向量平行坐标运算；2020 海南卷：向量加减法运算；2020 山东卷：平行四边形向量线性表示；2019 浙江卷：向量模最值；2018 全国 I 卷：三角形中线向量运算；2017 全国 II 卷：向量模与垂直；2017 北京卷：向量共线条件判断 1. 高频考查向量加减乘运算及几何意义，结合三角形、平行四边形命题2. 向量共线、垂直条件与几何性质结合是热点
考点 2：平面向量的基本定理及坐标表示 2025 全国一卷：向量坐标计算（真风风速）；2025 全国二卷：向量垂直坐标运算；2025 上海卷：向量与数列结合（三角形构成）；2024 新课标 Ⅰ 卷：向量垂直坐标运算；2024 全国甲卷：向量平行与垂直条件；2023 新课标 Ⅰ 卷：坐标运算与垂直；2023 全国乙卷：正方形中数量积坐标运算；2022 新高考 Ⅰ/Ⅱ 卷：线性运算坐标表示；2022 全国乙卷：向量模坐标计算；2016 四川卷：向量模最值 1. 核心考查坐标表示，结合垂直 / 平行的坐标条件，侧重代数运算2. 基底表示与几何动点问题结合，考查转化思想
考点 3：平面向量的数量积 2025 北京卷：数量积取值范围；2024 新课标 Ⅱ 卷：数量积运算；2023 北京 / 全国甲卷：数量积坐标运算；2023 全国乙卷：圆中数量积最值；2022 全国乙卷 / 北京卷：数量积应用；2020 全国 III 卷：向量夹角计算；2020 山东卷：正六边形中数量积取值范围；2019 全国 I 卷：夹角与垂直关系；2018 全国 II 卷：向量模运算；2017 全国 II 卷：等边三角形中数量积最小值 1. 高频考查模、夹角、垂直的数量积运算，结合几何图形2. 最值问题通过坐标法或几何意义转化为函数问题
考点 4：平面向量的应用举例 2025 天津卷：椭圆中向量与直线综合；2022 浙江卷：单位圆内接正八边形向量模取值范围；2021 上海卷：三角形中向量线性关系判断；2017 全国 III 卷：矩形中向量线性表示最值；2017 上海卷：向量与直线距离综合；2016 四川卷：向量与圆综合最值 1. 重点考查向量在矩形、圆、椭圆等几何图形中的应用2. 取值范围与最值问题通过坐标法或几何性质求解
考点01：平面向量的线性运算
1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
4．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
5．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

6．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．（2019·浙江·高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 .
9．（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
10．（2017·全国II卷·高考真题）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
11．（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2016·全国II卷·高考真题）已知向量，且，则___________.
考点02：平面向量的基本定理及坐标表示
13．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.6~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
14．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
15．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
16．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
17．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
19．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
20．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
25．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
27．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ．
28．（2018·全国III卷·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
29．（2019·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
30．（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．

31．（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
32．（2016·江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
33．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ．
34．（2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,则 .
35．（2017·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
考点03：平面向量的数量积
36．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
38．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
39．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
40．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
41．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
42．（2023·上海·高考真题）已知,，求
43．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
44．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
45．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 .
47．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
48．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ．
50．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ．
51．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 .
52．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ．
53．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 .
54．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
55．（2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
56．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
57．（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
58．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
59．（2020·全国I卷·高考真题）设为单位向量，且，则 .
60．（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
61．（2020·全国I卷·高考真题）设向量，若，则 .
62．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
63．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ．
64．（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
65．（2019·全国II卷·高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
66．（2019·全国II卷·高考真题）已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
67．（2019·全国III卷·高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 .
68．（2019·全国III卷·高考真题）已知向量，则 .
69．（2019·天津·高考真题） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 .
70．（2019·北京·高考真题）已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m= .
71．（2018·全国II卷·高考真题）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
72．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
73．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
74．（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
75．（2018·北京·高考真题）设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
76．（2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m= .
77．（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
78．（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则

A．I１79．（2017·全国I卷·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= .
80．（2017·天津·高考真题）在中，，，. 若，，且，则的值为 .
81．（2017·全国I卷·高考真题）已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m= ．
82．（2017·全国III卷·高考真题）已知向量，且，则 .
83．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ．
84．（2017·北京·高考真题）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为 ．
85．（2017·山东·高考真题）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与λ的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
86．（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .
87．（2016·全国II卷·高考真题）已知向量，且，则m=
A． 8 B． 6
C．6 D．8
88．（2016·全国III卷·高考真题）已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
89．（2016·天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
90．（2015·四川·高考真题）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
91．（2016·山东·高考真题）已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为
A．4 B．–4 C． D．–
92．（2016·全国I卷·高考真题）设向量，且，则＝ .
93．（2016·全国I卷·高考真题）设向量，且，则m= .
考点04：平面向量的应用举例
94．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
95．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
96．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
97．（2017·全国III卷·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
98．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
99．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“ ”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为

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