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专题04 等式与不等式综合（含基本不等式）（四大考点，56题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：不等式的性质 2025 北京卷：基本不等式特例判断；2022 上海卷：作差法判断恒成立；2019 全国 II 卷：幂函数单调性应用；2018 全国 III 卷：对数大小比较；2017 山东卷：指数对数与基本不等式结合；2016 全国 I 卷：特殊值法比较指数对数；2016 北京卷：函数单调性判断；2016 浙江卷：赋值排除法；2016 浙江卷：对数函数性质讨论 1. 高频考点集中于大小比较与恒成立判断；2. 常与函数性质结合，侧重逻辑推理
考点 2：一元二次不等式的解法 2025 天津卷：恒成立求参数最小值；2025 上海卷：解一元二次不等式；2024 上海卷：求不等式解集；2023 全国乙卷：函数单调性求参数；2022 新高考 II 卷：条件求范围；2022 上海卷：求最小值；2020 山东卷：图像法解不等式；2020 全国 I 卷：解集与集合交集；2019 全国 II 卷：解集与集合运算；2019 浙江卷：数列与恒成立；2018 天津卷：区间恒成立；2017 天津卷：含绝对值分段函数；2019 天津卷：解一元二次不等式 1. 基础考点侧重解集与集合运算；2. 恒成立问题与二次函数性质结合为热点；3. 与数列、函数单调性交叉考查增多
考点 3：其他不等式 2025 全国二卷：分式不等式转化；2020 浙江卷：三次不等式恒成立分类讨论；2020 上海卷：分段函数不等式；2017 全国卷：函数不等式与极值；2017 上海卷：解分式不等式 1. 题型灵活，涉及分式、三次不等式；2. 常与函数极值、分段函数综合考查
考点 4：基本不等式 2025 上海卷：“1” 的变形求最小值；2024 北京卷：指数对数与基本不等式结合；2023 天津卷：向量与基本不等式求最值；2022 新高考 I 卷：正弦定理与基本不等式；2022 全国甲卷：余弦定理求最值；2021 浙江卷：三角函数与排序不等式；2021 新高考 I 卷：椭圆定义求最值；2021 全国乙卷：函数最小值判断；2021 天津卷：两次用基本不等式；2020 山东卷：二次函数与基本不等式；2020 全国 II 卷：双曲线与基本不等式；2020 天津卷：条件求最小值；2020 江苏卷：分式求最小值；2020 全国 III 卷：基本不等式证明；2019 北京卷：曲线方程与距离面积；2019 天津卷：展开式求最小值；2018 天津卷：条件求最小值；2018 江苏卷：角平分线与基本不等式；2017 全国卷：直线与坐标轴面积；2017 天津卷：注意等号成立条件；2017 山东卷：直线参数求最小值；2017 江苏卷：货物购买问题；2021 上海卷：配方求函数最小值；2016 江苏卷：三角形三角恒等变换 1. 高频考点集中于最值求解，覆盖多知识领域；2. 强调 “一正二定三相等”，注重 “1” 的变形技巧；3. 证明题需结合不等式性质综合推理
考点01：不等式的性质
1．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
4．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
5．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则
A． B． C． D．
6．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
7．（2016·北京·高考真题）已知，且，则
A．
B．
C．
D．
8．（2016·浙江·高考真题）已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
9．（2016·浙江·高考真题）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则
A．
B．
C．
D．
考点02：一元二次不等式的解法
10．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
11．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ．
12．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ．
13．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
14．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 .
16．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
18．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
19．（2019·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
20．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
21．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 .
22．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
23．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
考点03：其他不等式
24．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
26．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为
27．（2017·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的极小值．
28．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
考点04：基本不等式
29．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ．
30．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
32．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
34．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
35．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
36．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
37．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
38．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 .
39．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
40．（多选）（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
41．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
43．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
44．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ．
45．（2020·全国III卷·高考真题）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
46．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为 .
47．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 .
48．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
49．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
50．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
51．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 .
52．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 .
53．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为 ．
54．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．
55．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
56．（2016·上海·高考真题）设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 等式与不等式综合（含基本不等式）（四大考点，56题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：不等式的性质 2025 北京卷：基本不等式特例判断；2022 上海卷：作差法判断恒成立；2019 全国 II 卷：幂函数单调性应用；2018 全国 III 卷：对数大小比较；2017 山东卷：指数对数与基本不等式结合；2016 全国 I 卷：特殊值法比较指数对数；2016 北京卷：函数单调性判断；2016 浙江卷：赋值排除法；2016 浙江卷：对数函数性质讨论 1. 高频考点集中于大小比较与恒成立判断；2. 常与函数性质结合，侧重逻辑推理
考点 2：一元二次不等式的解法 2025 天津卷：恒成立求参数最小值；2025 上海卷：解一元二次不等式；2024 上海卷：求不等式解集；2023 全国乙卷：函数单调性求参数；2022 新高考 II 卷：条件求范围；2022 上海卷：求最小值；2020 山东卷：图像法解不等式；2020 全国 I 卷：解集与集合交集；2019 全国 II 卷：解集与集合运算；2019 浙江卷：数列与恒成立；2018 天津卷：区间恒成立；2017 天津卷：含绝对值分段函数；2019 天津卷：解一元二次不等式 1. 基础考点侧重解集与集合运算；2. 恒成立问题与二次函数性质结合为热点；3. 与数列、函数单调性交叉考查增多
考点 3：其他不等式 2025 全国二卷：分式不等式转化；2020 浙江卷：三次不等式恒成立分类讨论；2020 上海卷：分段函数不等式；2017 全国卷：函数不等式与极值；2017 上海卷：解分式不等式 1. 题型灵活，涉及分式、三次不等式；2. 常与函数极值、分段函数综合考查
考点 4：基本不等式 2025 上海卷：“1” 的变形求最小值；2024 北京卷：指数对数与基本不等式结合；2023 天津卷：向量与基本不等式求最值；2022 新高考 I 卷：正弦定理与基本不等式；2022 全国甲卷：余弦定理求最值；2021 浙江卷：三角函数与排序不等式；2021 新高考 I 卷：椭圆定义求最值；2021 全国乙卷：函数最小值判断；2021 天津卷：两次用基本不等式；2020 山东卷：二次函数与基本不等式；2020 全国 II 卷：双曲线与基本不等式；2020 天津卷：条件求最小值；2020 江苏卷：分式求最小值；2020 全国 III 卷：基本不等式证明；2019 北京卷：曲线方程与距离面积；2019 天津卷：展开式求最小值；2018 天津卷：条件求最小值；2018 江苏卷：角平分线与基本不等式；2017 全国卷：直线与坐标轴面积；2017 天津卷：注意等号成立条件；2017 山东卷：直线参数求最小值；2017 江苏卷：货物购买问题；2021 上海卷：配方求函数最小值；2016 江苏卷：三角形三角恒等变换 1. 高频考点集中于最值求解，覆盖多知识领域；2. 强调 “一正二定三相等”，注重 “1” 的变形技巧；3. 证明题需结合不等式性质综合推理
考点01：不等式的性质
1．（2025·北京·高考真题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
2．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
3．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选：B.
5．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
6．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
7．（2016·北京·高考真题）已知，且，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：A：由，得，即，A不正确；
B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：由，，得，故，C正确；
D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
8．（2016·浙江·高考真题）已知实数a，b，c.
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜100
【答案】D
【详解】试题分析：采用排除法：A.令可排除此选项，
B.令可排除此选项，
C.令可排除此选项，故选D．
【考点】不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
9．（2016·浙江·高考真题）已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：，
当时，，，
当时，，
观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．
考点02：一元二次不等式的解法
10．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
11．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
12．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
15．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.
【详解】设，则，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
故答案为：.
16．（2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
17．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
18．（2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【分析】先求出集合A，再求出交集．
【详解】由题意得，，则．故选A．
【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
19．（2019·浙江·高考真题）设，数列中，， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
【答案】A
【解析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】若数列为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，
则选项D错误.
故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
20．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
21．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 .
【答案】
【详解】试题分析：，矛盾，所以 1， 2， 3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
22．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
23．（2019·天津·高考真题） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过因式分解，解不等式．
【详解】，
即，
即，
故的取值范围是．
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
考点03：其他不等式
24．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】即为即，故，
故解集为，
故选：C.
25．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
26．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为
【答案】
【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.
27．（2017·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的极小值．
【答案】(1)；
(2)4
【分析】（1）列出不等式直接求解即可.
（2）求出函数的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值.
【详解】（1）由，解得，所以x的取值范围为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；
当时，在单调递减；当时，在上单调递增，
所以当时，取得极小值.
28．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）；（2）时，.
【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解.
（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到, 当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案.
【详解】（1）当时，,即,；
当时，,此时无解.
综上所述，；
（2）当时，,解得,
当时，
当时，,
当 时取得最大值.
综上所述当 时取得最大值，.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析.
考点04：基本不等式
29．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4
30．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
31．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

32．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
33．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

34．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得，
则，即，
注意到，于是，
展开可得，则，
又，.
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为，
即，
而，所以；
方法三：导数同构法
根据可知，，
设，，
则在上单调递减，，
故，结合，解得.
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性，，则，
结合，解得.
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
35．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
36．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
37．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
38．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 .
【答案】
【分析】配方得，结合基本不等式即可求解
【详解】，当且仅当时等号满足，
故答案为：9
39．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
40．（多选）（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
41．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.
【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确；
B.，即恒成立，故B正确；
C.当时，不等式不成立，故C不正确；
D.当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
42．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
43．（2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
44．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
45．（2020·全国III卷·高考真题）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
46．（2019·天津·高考真题）设，则的最小值为 .
【答案】
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即或时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
47．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
48．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程 曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识 基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
49．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
50．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】设直线为，代入得，
即，，
设直线与x轴交点，与y轴交点，
则所围成封闭图形面积为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以所围成封闭图形面积的最小值为4.
故选：C.
51．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
【详解】由可知，
且：，因为对于任意，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
52．（2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为 .
【答案】4
【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
53．（2017·山东·高考真题）若直线过点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
54．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ．
【答案】
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
55．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
【答案】8.
【详解】，又，因此
即最小值为8.
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
56．（2016·上海·高考真题）设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
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