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绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期4月阶段检测高二数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．11 B．9 C．8 D．5
4．已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A． B．4 C． D．8
5．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．
C．事件与不独立 D．
7．某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ）
A．公差 B．
C． D．当时，最小
10．春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为
B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小
C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为
11．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（ ）（参考数据：
A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过
三、填空题
12．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为______.
13．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则_____________．
14．已知数列中，…，则__________．
四、解答题
15．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
(1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
(2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围．
17．已知函数，的图象在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)当时，求证：.
18．2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
19．甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球．
(1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率；
(2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率；
(3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C B A B BCD BCD
题号 11
答案 ACD
12．
13．1
14．
15．（1）由表中数据可得，表格完善如下：
体质情况组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
所以的期望.
16．（1）已知，当时，.
则，
所以，即.
当时，，
则，，满足.
因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
故不等式可化为，即.
设，，故只需即可.
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，，所以，即.
因此，在时取得最大值为，
故实数的取值范围为.
17．（1）因为，，
所以，
即得在点处的切线方程为，
由题意可知：切线方程为，两方程等价，所以，，
综上可得：；
（2）证明：设，则，令得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
即，所以.
18．（1）记3人中通过第一轮的人数为，
由题意可知，
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，
则.
（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，
则由题意可知，
则，
所以.
（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，
则，
，
，
由相互独立可知，
，
，
所以的分布列是
0 1 2 3
则的数学期望是．
19．（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则；
（2）记事件表示“两个球都是红球”，则，
故；
（3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，
则，，
则，
故．

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