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贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县下江中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
1．下列式子为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（　　）．
A．18m B．24m C．28m D．30m
4．下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．13，14，15
C．a＝，b＝1，c＝ D．，，
5．下列各式，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．45°
7．已知的三边长分别是、、，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．BA=BC B．AC、BD互相平分
C．AC⊥BD D．AB∥CD
9．如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽，可以从这扇门通过的木板是（　　）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
11．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则的面积是（ ）
A．12 B． C．24 D．
12．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
13．计算：　 　．
14．如图，菱形ABCD中，AC＝2，BD＝5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），交AB于E，交AD于F，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　 　cm．
16．观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律：　 　．
17．计算：
（1）；
（2）
18．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
19．在中，．
（1）若，，则______；
（2）已知，，求、的值．
20．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明．
21．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
22．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
23．如图，已知在 ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
（2）求证：CD＝DG+FC．
24．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
25． 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；
【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母；所以不是最简二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、D都含有开得尽方的因式，能开得尽方，故C，D都不符合题意；
故答案为：B，
【分析】根据最简二次根式的条件，被开方数不含有分母，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，即可作出判断。
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据中点可得DE为△OAB的中位线，
则AB=2DE=28米．
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，故选项A中的线段不等构成直角三角形；
，故选项B中的线段不等构成直角三角形；
，故选项C中的线段可以构成直角三角形；
，故选项D中的线段不可以构成直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算正确，符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法和二次根式的性质化简并逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x，2x，
则x+2x＝180，
解得：x＝60，
∴其中较小的内角是：60°．
故答案为：A．
【分析】设平行四边形中两个内角的度数分别是x，2x，根据平行四边形的邻角互补，列出方程，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
，
的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．
理由如下：∵AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形．
其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴木板的长和宽中必须有一个数据小于5米．
∴选③号木板．
故选：C．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24cm，
∴OB+OA=（AC+BD）=12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=18-12=6cm，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得点O是AC、BD的中点，再结合△OAB的周长是18cm和AC+BD=24cm，求出AB=18-12=6cm，最后利用三角形中位线的性质可得EF=AB=3cm.
11．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】将三边长代入公式进行计算即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，
∵∠APD＝∠EPB，
∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，
∴BE∥AM，
∵AP＝BP，
∴AM＝BE＝DF，
∴∠EMB＝∠EBM＝45°，
∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB，
∵BM＝BM，AM＝MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB＝BF，∴②正确；
∴∠BAM＝∠BFM，
∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠APF＝∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠FDC，
∴∠EBF＝∠FDC，
∵BE＝DF，BF＝CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°，
∴③正确；④正确；
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，根据角之间的关系可得∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，根据全等三角形判定定理可判断①；根据等边对等角可得∠AEF＝∠AFE＝45°，取EF的中点M，连接AM，根据直线平行判定定理可得BE∥AM，根据等边对等角可得∠EMB＝∠EBM＝45°，再根据全等三角形判定定理及性质可判断②；根据角之间的关系可得∠APF＝∠EBF，根据直线平行性质可得∠APD＝∠FDC，则∠EBF＝∠FDC，再根据全等三角形判定定理及性质可判断③④.
13．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】利用平方差公式展开，再二次根式的计算方法求解即可.
14．【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO＝2.5，
∵ADBC，ABDC，
又∵PEBC，PFCD，
∴PFAB，PEAD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEM的面积和△PMF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．
故答案为：2.5．
【分析】设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O，先证出四边形AEPF是平行四边形，可证出△AEM的面积和△PMF的面积相等，再求出阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，
AB=cm；
如图2所示，AB=cm，
如图3所示，AB= cm，
∵
∴蚂蚁所行的最短路线为cm．
故答案为
【分析】根据长方体展开图特征分类讨论，结合勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（为整数，且）
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴第的式子为（为整数，且），
故答案为：（为整数，且）．
【分析】根据前几个等式的变换，总结规律，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】解：（1）原式
；
当时，
原式
．
（2），，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后将x的值代入计算即可；
（2）将a、b的值代入，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
19．【答案】（1）12
（2）解：，
设，．
又，，
，
即，
（舍去负值）
，．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：12.
【分析】（1）利用勾股定理直接求出a的值即可；
（2）设，，利用勾股定理列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：12；
（2）解：，
设，．
又，，
，
即，
（舍去负值）
，．
20．【答案】已知：如图，四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：在和中，
，
，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再证出，可得∠OAB=∠OCD，证出AB//CD，再证出AD//BC，即可证出四边形是平行四边形．
21．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）解：，，
．
又矩形中，，
∴是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠ABC=90°，即可证出四边形是矩形；
（2）先证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）解：，，
．
又矩形中，，
∴是等边三角形，
．
22．【答案】（1）解：开始时绳子的长度为的3倍，AC=3，
米，
（米；
（2）解：如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
（米，
在Rt ACD中：
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）由已知条件得BC=18；根据勾股定理即可得出AB的长；
（2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
（1）开始时绳子的长度为的3倍．
米，
（米；
（2）如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
船移动到点的位置时绳长（米，
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
23．【答案】解：（1）在中，，，，
∴∠FDC=30°，；
又∵在中，，
∴，，
．
，
，平分，
，
．
（2）证明：延长至，使，
在和中
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用含30°角的直角三角形和平行线的性质以及勾股定理求出DF的长，再求出，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可；
（2）延长至，使，先证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用线段的和差及等量代换可得．
24．【答案】解：(1) 该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=220，
∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
(2) 如上图，以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，
则AE=AF=160，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间为：t=÷15=4
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=12-5.5=6.5（级），
故最大风力6.5级．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据含30°角的直角三角形性质可得，由题意可得受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160，再比较大小即可求出答案.
（2）以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160，根据勾股定理可得EF，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（3）根据题意列式计算即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
∴△ADE≌△NCE（AAS）
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
（2）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）延长AE、BC交于点N，先证出△ADE≌△NCE，利用全等三角形的性质可得AD=NC，再利用线段的和差及等量代换可得MA=MN=NC+MC=AD+MC；
（2）延长AE、BC交于点P，先证出△ADE≌△PCE，利用全等三角形的性质可得AD=PC，再利用线段的和差及等量代换可得MA=MP=PC+MC=AD+MC．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县下江中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
1．下列式子为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有分母；所以不是最简二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、D都含有开得尽方的因式，能开得尽方，故C，D都不符合题意；
故答案为：B，
【分析】根据最简二次根式的条件，被开方数不含有分母，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，即可作出判断。
2．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（　　）．
A．18m B．24m C．28m D．30m
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据中点可得DE为△OAB的中位线，
则AB=2DE=28米．
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案。
4．下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．13，14，15
C．a＝，b＝1，c＝ D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，故选项A中的线段不等构成直角三角形；
，故选项B中的线段不等构成直角三角形；
，故选项C中的线段可以构成直角三角形；
，故选项D中的线段不可以构成直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
5．下列各式，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算正确，符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法和二次根式的性质化简并逐项分析判断即可.
6．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．45°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x，2x，
则x+2x＝180，
解得：x＝60，
∴其中较小的内角是：60°．
故答案为：A．
【分析】设平行四边形中两个内角的度数分别是x，2x，根据平行四边形的邻角互补，列出方程，即可求解．
7．已知的三边长分别是、、，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
是直角三角形，
，
的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可.
8．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．BA=BC B．AC、BD互相平分
C．AC⊥BD D．AB∥CD
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．
理由如下：∵AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴ ABCD是矩形．
其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．
故答案为：B．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
9．如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽，可以从这扇门通过的木板是（　　）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴木板的长和宽中必须有一个数据小于5米．
∴选③号木板．
故选：C．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24cm，
∴OB+OA=（AC+BD）=12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=18-12=6cm，
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得点O是AC、BD的中点，再结合△OAB的周长是18cm和AC+BD=24cm，求出AB=18-12=6cm，最后利用三角形中位线的性质可得EF=AB=3cm.
11．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则的面积是（ ）
A．12 B． C．24 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】将三边长代入公式进行计算即可求出答案.
12．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，
∵∠APD＝∠EPB，
∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，
∴BE∥AM，
∵AP＝BP，
∴AM＝BE＝DF，
∴∠EMB＝∠EBM＝45°，
∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB，
∵BM＝BM，AM＝MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB＝BF，∴②正确；
∴∠BAM＝∠BFM，
∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠APF＝∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠FDC，
∴∠EBF＝∠FDC，
∵BE＝DF，BF＝CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°，
∴③正确；④正确；
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，根据角之间的关系可得∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，根据全等三角形判定定理可判断①；根据等边对等角可得∠AEF＝∠AFE＝45°，取EF的中点M，连接AM，根据直线平行判定定理可得BE∥AM，根据等边对等角可得∠EMB＝∠EBM＝45°，再根据全等三角形判定定理及性质可判断②；根据角之间的关系可得∠APF＝∠EBF，根据直线平行性质可得∠APD＝∠FDC，则∠EBF＝∠FDC，再根据全等三角形判定定理及性质可判断③④.
13．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】利用平方差公式展开，再二次根式的计算方法求解即可.
14．如图，菱形ABCD中，AC＝2，BD＝5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），交AB于E，交AD于F，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO＝2.5，
∵ADBC，ABDC，
又∵PEBC，PFCD，
∴PFAB，PEAD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEM的面积和△PMF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5．
故答案为：2.5．
【分析】设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O，先证出四边形AEPF是平行四边形，可证出△AEM的面积和△PMF的面积相等，再求出阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5即可．
15．（如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，
AB=cm；
如图2所示，AB=cm，
如图3所示，AB= cm，
∵
∴蚂蚁所行的最短路线为cm．
故答案为
【分析】根据长方体展开图特征分类讨论，结合勾股定理即可求出答案.
16．观察下列各式：，，，，请用含的式子写出你猜想的规律：　 　．
【答案】（为整数，且）
【知识点】二次根式的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴第的式子为（为整数，且），
故答案为：（为整数，且）．
【分析】根据前几个等式的变换，总结规律，即可求出答案.
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）先利用平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】解：（1）原式
；
当时，
原式
．
（2），，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后将x的值代入计算即可；
（2）将a、b的值代入，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
19．在中，．
（1）若，，则______；
（2）已知，，求、的值．
【答案】（1）12
（2）解：，
设，．
又，，
，
即，
（舍去负值）
，．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：12.
【分析】（1）利用勾股定理直接求出a的值即可；
（2）设，，利用勾股定理列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：12；
（2）解：，
设，．
又，，
，
即，
（舍去负值）
，．
20．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明．
【答案】已知：如图，四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：在和中，
，
，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再证出，可得∠OAB=∠OCD，证出AB//CD，再证出AD//BC，即可证出四边形是平行四边形．
21．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）解：，，
．
又矩形中，，
∴是等边三角形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠ABC=90°，即可证出四边形是矩形；
（2）先证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）解：，，
．
又矩形中，，
∴是等边三角形，
．
22．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
【答案】（1）解：开始时绳子的长度为的3倍，AC=3，
米，
（米；
（2）解：如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
（米，
在Rt ACD中：
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】
（1）由已知条件得BC=18；根据勾股定理即可得出AB的长；
（2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
（1）开始时绳子的长度为的3倍．
米，
（米；
（2）如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
船移动到点的位置时绳长（米，
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
23．如图，已知在 ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．
（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
（2）求证：CD＝DG+FC．
【答案】解：（1）在中，，，，
∴∠FDC=30°，；
又∵在中，，
∴，，
．
，
，平分，
，
．
（2）证明：延长至，使，
在和中
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用含30°角的直角三角形和平行线的性质以及勾股定理求出DF的长，再求出，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出EC的长即可；
（2）延长至，使，先证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用线段的和差及等量代换可得．
24．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
【答案】解：(1) 该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=220，
∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
(2) 如上图，以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，
则AE=AF=160，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间为：t=÷15=4
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=12-5.5=6.5（级），
故最大风力6.5级．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，根据含30°角的直角三角形性质可得，由题意可得受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160，再比较大小即可求出答案.
（2）以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160，根据勾股定理可得EF，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（3）根据题意列式计算即可求出答案.
25． 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；
【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明．
【答案】（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
∴△ADE≌△NCE（AAS）
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
（2）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）延长AE、BC交于点N，先证出△ADE≌△NCE，利用全等三角形的性质可得AD=NC，再利用线段的和差及等量代换可得MA=MN=NC+MC=AD+MC；
（2）延长AE、BC交于点P，先证出△ADE≌△PCE，利用全等三角形的性质可得AD=PC，再利用线段的和差及等量代换可得MA=MP=PC+MC=AD+MC．
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