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广东省湛江市滨海学校 2024-2025学年下学期期中素质测评八年级数学试卷
1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．正比例函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　）
A． B． C． D．
8．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（　　）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是（　　）
A． B． C． D．8
11．函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是　 　
12．将直线向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式是　 　
13．计算　 　
14．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为　 　．
15．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是　 　．
16．计算： ．
17．如图，在矩形中，，连接．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
19．如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且，并与一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出当时，自变量x的取值范围．
20．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
21．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进2本A类图书和3本B类图书共需220元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A，B两类图书共100本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．
（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；；
D、∵，∴能构成直角三角形，故本选不项符合题意；．
故答案为：C．
【分析】根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形逐项分析即可求解.
3．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：因为正比例函数是一条经过原点的直线，且k＞0，经过一三象限，故排除C、D选项；
当x=1时，，
故选A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，结合求出∠B的度数，再结合，最后求出∠A的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意
B：，错误，不符合题意
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，
∴
，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，根据，结合三角形面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线交于点，连接．
点的坐标是，
，
，
矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作轴的垂线交于点，连接，先利用点坐标的定义及勾股定理求出OD的长，再利用矩形的性质可得，从而得解.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数的图象经过点，
∴，则，
∴，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；
故结合图2可得当时，点在处，
故选：C．
【分析】由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点E，连接，则，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，则，
在中，，由勾股定理，得，
∵在中，，点E是斜边的中点，
∴，
由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，
故选B．
【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形性质可得，则，根据勾股定理可得CE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得OE，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线，向上平移2个单位长度得．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ，
∴
故答案为： ．
【分析】根据菱形性质可得AO=4，DO=3，∠AOD=90°，根据勾股定理可得OE，再根据菱形面积即可求出答案.
15．【答案】15
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱的展开图如图：
根据题意，，，，
∴，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是，
故答案为：15．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长，从而得解.
16．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．【答案】（1）解：如图所示．菱形即为所求．
（2）解：是的中垂线，，
∵是矩形，
∴，
设，则，
在中，，解得，
∴菱形的边长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可作对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F，分别连接AF、CE即可；
（2）由于菱形的四条边相等，则可把矩形的边AB的长转化到直角三角形CEB的斜边和一条直角边EB上，再利用勾股定理即可．
18．【答案】（1）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米，
（米，
答：风筝的垂直高度为 米；
（2）解：如图，设下降到，连接，
由题意可知，米，
（米），
（米，
（米，
答：他应该往回收线8米．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设下降到，连接，由题意可知，米，根据边之间的关系可得DM，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米，
（米，
答：风筝的垂直高度为 米；
（2）解：如图，设下降到，连接，
由题意可知，米，
（米），
（米，
（米，
答：他应该往回收线8米．
19．【答案】（1）解：，
，
∵点的横坐标为，且在一次函数的图象上，
，
，
将代入得
，解得，
∴一次函数解析式；
（2）解：由（1）可知
当时，，
，
；
（3）自变量x的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可知，当时， 直线的图象在的图象的下方，所以 时， 自变量的取值范围为．
【分析】（1）根据点的坐标可得，将x=-4代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）将x=0代入解析式可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）当直线的图象在的图象的下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：，
，
∵点的横坐标为，且在一次函数的图象上，
，
，
将代入得
，解得，
∴一次函数解析式；
（2）解：由（1）可知
当时，，
，
；
（3）解：由图象可知，当时， 直线的图象在的图象的下方，
所以 时， 自变量的取值范围为．
20．【答案】（1）；
（2）∵，
，，
∴
又∵，，为正整数，
，或，，
∴当，时，；
当，时，．
综上所述，的值为46或14．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
．
故答案为：，；
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
（2）由题意可得，，则，再根据，，为正整数讨论即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，
根据题意得：，解得，
答：A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元 ；
（2）解：设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元，
根据题意得：，
，解得，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，最大值为725，
∴，
答：该书店购进A类图书25本，B类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：将点，代入，
可得，
解得：
线段的表达式．
（2）解：已知，且点在轴正半轴上，
点，，
，
如图，过点作轴的垂线交轴于点，
设点的坐标为，则，
，即，
解得：，
点的坐标为．

（3）解：存在，点的坐标为.
设直线的表达式为，
将点，代入，
可得，
解得：，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，
将代入，得，
解得：．
点的坐标为，
如图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，
，
，
，
解得：，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．

【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形的综合；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）过点作轴的垂线交轴于点，设点的坐标为，则，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，过点作轴，交于点，先求出，结合PQ=MQ列方程求解即可.
（1）解：将点，代入，得解得
线段的表达式．
（2）已知，且点在轴正半轴上，
点，，，
设点的坐标为，如解图①，过点作轴的垂线交轴于点，则，
，即，解得，
点的坐标为．
（3）存在
点的坐标为，设直线的表达式为，
将点，代入，得，解得，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，将代入，得，，解得．
点的坐标为，
如解图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，，
，
，解得，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．
23．【答案】（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①；
②，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵对折矩形纸片，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）解：①由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据折叠性质可得，，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据折叠性质可得，，根据全等三角形性质可得，分情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省湛江市滨海学校 2024-2025学年下学期期中素质测评八年级数学试卷
1．下列式子中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；；
D、∵，∴能构成直角三角形，故本选不项符合题意；．
故答案为：C．
【分析】根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形逐项分析即可求解.
3．正比例函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：因为正比例函数是一条经过原点的直线，且k＞0，经过一三象限，故排除C、D选项；
当x=1时，，
故选A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
4．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，结合求出∠B的度数，再结合，最后求出∠A的度数即可.
5．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意
B：，错误，不符合题意
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，
∴
，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，根据，结合三角形面积即可求出答案.
7．如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线交于点，连接．
点的坐标是，
，
，
矩形，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作轴的垂线交于点，连接，先利用点坐标的定义及勾股定理求出OD的长，再利用矩形的性质可得，从而得解.
8．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵一次函数的图象经过点，
∴，则，
∴，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据一次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
9．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（　　）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；
故结合图2可得当时，点在处，
故选：C．
【分析】由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可求出答案.
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是（　　）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点E，连接，则，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，则，
在中，，由勾股定理，得，
∵在中，，点E是斜边的中点，
∴，
由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，
故选B．
【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形性质可得，则，根据勾股定理可得CE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得OE，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．函数在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
12．将直线向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式是　 　
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线，向上平移2个单位长度得．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
13．计算　 　
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可.
14．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ，
∴
故答案为： ．
【分析】根据菱形性质可得AO=4，DO=3，∠AOD=90°，根据勾股定理可得OE，再根据菱形面积即可求出答案.
15．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是　 　．
【答案】15
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱的展开图如图：
根据题意，，，，
∴，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是，
故答案为：15．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长，从而得解.
16．计算： ．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．如图，在矩形中，，连接．
（1）尺规作图：作菱形，使得点E，F分别在边上（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求（1）中所作的菱形的边长．
【答案】（1）解：如图所示．菱形即为所求．
（2）解：是的中垂线，，
∵是矩形，
∴，
设，则，
在中，，解得，
∴菱形的边长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）由于线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可作对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F，分别连接AF、CE即可；
（2）由于菱形的四条边相等，则可把矩形的边AB的长转化到直角三角形CEB的斜边和一条直角边EB上，再利用勾股定理即可．
18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米，
（米，
答：风筝的垂直高度为 米；
（2）解：如图，设下降到，连接，
由题意可知，米，
（米），
（米，
（米，
答：他应该往回收线8米．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设下降到，连接，由题意可知，米，根据边之间的关系可得DM，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米，
（米，
答：风筝的垂直高度为 米；
（2）解：如图，设下降到，连接，
由题意可知，米，
（米），
（米，
（米，
答：他应该往回收线8米．
19．如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且，并与一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
∵点的横坐标为，且在一次函数的图象上，
，
，
将代入得
，解得，
∴一次函数解析式；
（2）解：由（1）可知
当时，，
，
；
（3）自变量x的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可知，当时， 直线的图象在的图象的下方，所以 时， 自变量的取值范围为．
【分析】（1）根据点的坐标可得，将x=-4代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）将x=0代入解析式可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）当直线的图象在的图象的下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：，
，
∵点的横坐标为，且在一次函数的图象上，
，
，
将代入得
，解得，
∴一次函数解析式；
（2）解：由（1）可知
当时，，
，
；
（3）解：由图象可知，当时， 直线的图象在的图象的下方，
所以 时， 自变量的取值范围为．
20．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】（1）；
（2）∵，
，，
∴
又∵，，为正整数，
，或，，
∴当，时，；
当，时，．
综上所述，的值为46或14．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
．
故答案为：，；
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
（2）由题意可得，，则，再根据，，为正整数讨论即可求出答案.
21．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进2本A类图书和3本B类图书共需220元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A，B两类图书共100本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，
根据题意得：，解得，
答：A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元 ；
（2）解：设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元，
根据题意得：，
，解得，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，最大值为725，
∴，
答：该书店购进A类图书25本，B类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．
（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入，
可得，
解得：
线段的表达式．
（2）解：已知，且点在轴正半轴上，
点，，
，
如图，过点作轴的垂线交轴于点，
设点的坐标为，则，
，即，
解得：，
点的坐标为．

（3）解：存在，点的坐标为.
设直线的表达式为，
将点，代入，
可得，
解得：，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，
将代入，得，
解得：．
点的坐标为，
如图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，
，
，
，
解得：，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．

【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形的综合；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）过点作轴的垂线交轴于点，设点的坐标为，则，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，过点作轴，交于点，先求出，结合PQ=MQ列方程求解即可.
（1）解：将点，代入，得解得
线段的表达式．
（2）已知，且点在轴正半轴上，
点，，，
设点的坐标为，如解图①，过点作轴的垂线交轴于点，则，
，即，解得，
点的坐标为．
（3）存在
点的坐标为，设直线的表达式为，
将点，代入，得，解得，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，将代入，得，，解得．
点的坐标为，
如解图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，，
，
，解得，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．
【答案】（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①；
②，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵对折矩形纸片，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）解：①由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据折叠性质可得，，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据折叠性质可得，，根据全等三角形性质可得，分情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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