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贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角相等 D．邻边相等
5．下列命题中：
①对角线垂直且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等．
是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．与最简二次根式能合并，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是(　　)
A． B． C． D．
11．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
12．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
14．已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为　 　.
15．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　.
16．在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．已知，
（1）求x和y值
（2）求
19．如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
（1）求四边形的周长；
（2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
20．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）xy
21．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）求修改后长方形的周长；
（3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
22．先化简，再求值，，其中
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号）
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
24．如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
25．（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．请直接写出、的数量关系 ；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，，，E是上一点，且，，，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A符合题意；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，若已知的线段满足a2+b2=c2，则可判断为直角三角形。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】解：A、，故不是最简二次根式，Ａ错误.
B、，故不是最简二次根式，Ｂ错误.
C、2不能再开方，是最简二次根式，故Ｃ正确.
D、，故不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：C．
【分析】根据，，，不能化简，结合最简二次根式的定义可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法和二次根式的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等.
故答案为：B.
【分析】正方形的性质：两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直；四个角全是90°；对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
菱形的性质：四条边都相等；两组对边分别平行；菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故原命题是真命题，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
综上，真命题有1个，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理。菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，中点四边形的判定定理分别判断，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，
∴由勾股定理可知：正方形F的面积为2+5=7，正方形G的面积为1+2=3，
∴由勾股定理可知：正方形E的面积为7+3=10，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得正方形F、G的面积，然后再利用勾股定理得正方形E的面积.
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵即与最简二次根式能合并，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出m的值即可.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：．
【分析】根据菱形性质可得，，根据三角形中位线定理可得AD，再根据菱形周长即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出，利用勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得，从而得解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质和平行线的性质及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得BE=DE，再设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出AE的长即可.
11．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由数轴可得，
∴，
∴
，
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，根据有理数减法可得，再根据二次根式性质化简即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过作于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
如上图，延长交于点，
∴，
∵，
∴，即，故②符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】过作于点，先根据正方形的性质结合平行线的性质得到，，再结合等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，进而判断①；根据三角形全等的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，从而判断③；延长交于点，等量代换得到，即，从而判断②；根据平行线的性质得到，再等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理结合题意即可判断④.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
15．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为.
故答案为：.
【分析】，由是整数可得2n为完全平方数，据此可得n的最小值.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
连接，则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
此时，即：，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】根据勾股定理逆定理可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据四边形判定定理可得四边形是矩形，连接，则，，当最小时，最小，当时，最小，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；

（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用平方差公式及二次根式的性质求解即可；
（3）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．【答案】（1）解：由题意得，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可得，，
∴．
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用二次根式有意义的条件列出不等式组，再求解即可；
（2）将x、y的值代入计算即可.
（1）解：由题意得，
∴，
∴，
（2）解：由（1）可得，，
∴．
19．【答案】（1）解：根据题意，得，，，，
∴四边形的周长为：；
（2）解：如图，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵，，，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用网格和勾股定理求出四边形各边的长，然后再求和即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，然后利用三角形面积公式求出的值即可求解.
（1）解：，，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴

【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，将转化为，然后代入和的值进行计算即可．
（2）直接代入和的值，根据平方差公式的逆运算进行计算即可．
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
21．【答案】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为.
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为.
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）设长方形的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（3）先利用估算无理数大小的方法化简，再比较大小即可.
（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为，
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为，
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
22．【答案】解：原式
当时，原式=．
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
23．【答案】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：
．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）过作于，根据含30°角的直角三角形性质可得AD，再比较大小即可求出答案.
（2） 以为圆心，为半径作交于、，则，根据勾股定理可得EF，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
24．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，即，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵（已证，，，即对角线互相垂直 ），
四边形是菱形.
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD⊥CE，即可证出四边形是菱形；
（2）先求出，再求出，最后利用菱形的面积公式求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，即，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵（已证，，，即对角线互相垂直 ），
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
25．【答案】解：（1）；
（2）如图2，
延长至F，使．连接，由（1）知，
∴，
∴，即，
又∵，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过作，交延长线于D，
在直角梯形中，∵，
∴，
又，，
∴四边形 为正方形，
∴，
∵，设，
∴，
∴，，
根据（1）（2）可知，，
在中，∵，
即，
解这个方程，得：，
∴，
∴梯形的面积为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）延长至F，使．连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）过作，交延长线于D，设，则，，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出梯形的面积即可.
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A符合题意；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，若已知的线段满足a2+b2=c2，则可判断为直角三角形。
2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】解：A、，故不是最简二次根式，Ａ错误.
B、，故不是最简二次根式，Ｂ错误.
C、2不能再开方，是最简二次根式，故Ｃ正确.
D、，故不是最简二次根式，故Ｄ错误.
故答案为：C．
【分析】根据，，，不能化简，结合最简二次根式的定义可得答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法和二次根式的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角相等 D．邻边相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等.
故答案为：B.
【分析】正方形的性质：两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直；四个角全是90°；对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
菱形的性质：四条边都相等；两组对边分别平行；菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角.
5．下列命题中：
①对角线垂直且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等．
是真命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题，不符合题意；
②对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故原命题是真命题，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线互相垂直，故原命题是假命题，不符合题意；
综上，真命题有1个，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理。菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，中点四边形的判定定理分别判断，即可求解.
6．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，
∴由勾股定理可知：正方形F的面积为2+5=7，正方形G的面积为1+2=3，
∴由勾股定理可知：正方形E的面积为7+3=10，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得正方形F、G的面积，然后再利用勾股定理得正方形E的面积.
7．与最简二次根式能合并，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵即与最简二次根式能合并，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出m的值即可.
8．如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：．
【分析】根据菱形性质可得，，根据三角形中位线定理可得AD，再根据菱形周长即可求出答案.
9．如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出，利用勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得，从而得解.
10．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质和平行线的性质及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得BE=DE，再设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出AE的长即可.
11．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由数轴可得，
∴，
∴
，
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，根据有理数减法可得，再根据二次根式性质化简即可求出答案.
12．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过作于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
如上图，延长交于点，
∴，
∵，
∴，即，故②符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】过作于点，先根据正方形的性质结合平行线的性质得到，，再结合等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，进而判断①；根据三角形全等的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，从而判断③；延长交于点，等量代换得到，即，从而判断②；根据平行线的性质得到，再等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理结合题意即可判断④.
13．要使代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为　 　.
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5.
【分析】根据题意分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边；②长为3、4的边都是直角边时： 根据勾股定理即可求出第三边长 .
15．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为.
故答案为：.
【分析】，由是整数可得2n为完全平方数，据此可得n的最小值.
16．在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
连接，则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
此时，即：，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】根据勾股定理逆定理可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据四边形判定定理可得四边形是矩形，连接，则，，当最小时，最小，当时，最小，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；

（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用平方差公式及二次根式的性质求解即可；
（3）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．已知，
（1）求x和y值
（2）求
【答案】（1）解：由题意得，
∴，
∴.
（2）解：由（1）可得，，
∴．
【知识点】二次根式有无意义的条件；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）利用二次根式有意义的条件列出不等式组，再求解即可；
（2）将x、y的值代入计算即可.
（1）解：由题意得，
∴，
∴，
（2）解：由（1）可得，，
∴．
19．如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
（1）求四边形的周长；
（2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
【答案】（1）解：根据题意，得，，，，
∴四边形的周长为：；
（2）解：如图，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵，，，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用网格和勾股定理求出四边形各边的长，然后再求和即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，然后利用三角形面积公式求出的值即可求解.
（1）解：，，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
20．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）xy
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴

【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，将转化为，然后代入和的值进行计算即可．
（2）直接代入和的值，根据平方差公式的逆运算进行计算即可．
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
21．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）求修改后长方形的周长；
（3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为.
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为.
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）设长方形的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（3）先利用估算无理数大小的方法化简，再比较大小即可.
（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为，
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为，
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
22．先化简，再求值，，其中
【答案】解：原式
当时，原式=．
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
23．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号）
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：
．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
【知识点】二次根式的性质与化简；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）过作于，根据含30°角的直角三角形性质可得AD，再比较大小即可求出答案.
（2） 以为圆心，为半径作交于、，则，根据勾股定理可得EF，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）解：该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过作于．
在直角中，
，
，
，
∴该城市会受到这次台风的影响；
（2）解：如图以为圆心，为半径作交于、．
则．
∴台风影响该市持续的路程为：．
∴台风影响该市的持续时间小时，
∴台风影响该城市的持续时间有小时．
24．如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，即，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵（已证，，，即对角线互相垂直 ），
四边形是菱形.
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD⊥CE，即可证出四边形是菱形；
（2）先求出，再求出，最后利用菱形的面积公式求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，即，
又，，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵（已证，，，即对角线互相垂直 ），
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
25．（1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．请直接写出、的数量关系 ；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，，，E是上一点，且，，，求四边形的面积．
【答案】解：（1）；
（2）如图2，
延长至F，使．连接，由（1）知，
∴，
∴，即，
又∵，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过作，交延长线于D，
在直角梯形中，∵，
∴，
又，，
∴四边形 为正方形，
∴，
∵，设，
∴，
∴，，
根据（1）（2）可知，，
在中，∵，
即，
解这个方程，得：，
∴，
∴梯形的面积为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）延长至F，使．连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）过作，交延长线于D，设，则，，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出梯形的面积即可.
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