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广东省广州市番禺区隽新学校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0.1 C． D．
2．如图，下列结论正确的是（　　）
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
3．9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．对任意的有理数a和b，若，则
8．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
9．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．25的算术平方根是　 　．
12．已知是方程的一个解，则　 　．
13．计算：　 　．
14．如图，，，交于点E，则的度数为　 　°．
15．若一个正数的两个不同的平方根为和，则为　 　．
16．在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是　 　.
17．计算
（1）；
（2）．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．如图，直线，，求的度数．
20．已知实数的算术平方根是，的立方根是2．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
21．如图，点，分别在，上，，垂足为，．
（1）求证；
（2）若，求证．
22．已知关于的二元一次方程组．
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为．
（1）填空：点的坐标为______．
（2）求出的面积．
（3）把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标．
24．列二元一次方程组解下列问题
（1）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
（2）、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
25．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，0.1，是有理数，
是无理数．
故选D．
【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
2．【答案】D
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，原结论错误，不符合题意；
B、与是内错角，原结论错误，不符合题意；
C、与不是内错角，原结论错误，不符合题意；
D、与是同位角，结论正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧且夹在两条被截直线之间）及同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截线之内的两角）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【分析】本题考查平方根的定义，若，那么x是a的平方根，据此作答，即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．选项A中的两个图形是轴对称，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的两个图形可以通过旋转得到，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意；
D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标为，即．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、对任意的有理数a和b，若，则，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、平行线的判定的推论、对顶角的定义和等式的性质逐项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
B、∵，
∴，本选项符合题意；
C、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
D、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当，取算术平方根，可得：，
是有理数，
再取的立方根，
又是有理数，
再取的算术平方根，
的算术平方根是是无理数，
．
故选：C．
【分析】根据程序框图代值计算，结合算术平方根，立方根性质，无理数的定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，，
，
，故①正确；
，
．
平分，
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，，
，故④正确．
综上所述，正确的有个．
故选：D．
【分析】根据角平分线定义，对顶角相等，结合角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
12．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，
可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】将代入方程可得，再求出m的值即可.
13．【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
14．【答案】140
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质可得，再利用邻补角求出∠AEC的度数即可.
15．【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平方根性质建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
或，
线段进行平移得到线段，
，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得，
∴c的值是12或4．
故答案为：12或4．
【分析】由题意可知，根据边之间的关系建立方程，解方程可得或，再根据平移性质建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
（1）解：
；
（2）
，．
18．【答案】（1）解：，
把②代入①，得：，
解得：，
把代入②，得，
∴方程组的解为
（2）解：，
由，得：，
由，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
把②代入①，得：，
解得：，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由，得：，
由，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
19．【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用邻补角求出，，再利用平行线的性质求出∠1的度数即可.
20．【答案】（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根性质可得a，根据立方根性质可得b.
（2）将a，b值代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
21．【答案】（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以，即.
（2）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先证出，再利用垂直和平行线的性质可得，即可证出；
（2）利用角的运算和等量代换求出，即可证出.
（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以，即；
（2）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
22．【答案】（1）解：方程变形得：
∵y为正整数，
∴当时，；
当时，
∴方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：∵方程组的解满足方程，
∴方程组与方程组是同解方程.
解方程组得
将，代入得，
解得：；
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）方程变形得：，根据y为整数，赋值计算即可求出答案.
（2）由题意可得方程组与方程组是同解方程，解方程组可得x，y，再代入含m的方程即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：.
（3）解：如图所示，即为所求作图形，
，，；
，，，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为
故答案为：．
（3）若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点B的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点O、A、B的对应点，再连接即可，最后求出点的坐标即可.
（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为
故答案为：．
（2）如图所示，；
（3）如图所示，即为所求作图形，
，，；
若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为．
24．【答案】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）解：设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，利用“ 购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元 ”列出方程组求解即可；
（2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题干直接列出方程组求解即可.
（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
25．【答案】解：（1）；；；
（2）过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由见解析
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；；；
（3），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）过点A作，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点P作，根据直线平行性质即可求出答案.
1 / 1广东省广州市番禺区隽新学校2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0.1 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，0.1，是有理数，
是无理数．
故选D．
【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
2．如图，下列结论正确的是（　　）
A．与是同位角 B．与是同旁内角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】D
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同旁内角，原结论错误，不符合题意；
B、与是内错角，原结论错误，不符合题意；
C、与不是内错角，原结论错误，不符合题意；
D、与是同位角，结论正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧且夹在两条被截直线之间）及同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截线之内的两角）逐项分析判断即可.
3．9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【分析】本题考查平方根的定义，若，那么x是a的平方根，据此作答，即可得到答案.
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、未知数的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
5．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．选项A中的两个图形是轴对称，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的两个图形可以通过旋转得到，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意；
D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
6．将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标为，即．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．对任意的有理数a和b，若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、对任意的有理数a和b，若，则，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、平行线的判定的推论、对顶角的定义和等式的性质逐项分析判断即可.
8．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
B、∵，
∴，本选项符合题意；
C、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
D、∵，
∴，不能判断，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
9．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当，取算术平方根，可得：，
是有理数，
再取的立方根，
又是有理数，
再取的算术平方根，
的算术平方根是是无理数，
．
故选：C．
【分析】根据程序框图代值计算，结合算术平方根，立方根性质，无理数的定义即可求出答案.
10．如图，已知直线，相交于点，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，，
，
，故①正确；
，
．
平分，
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，，
，故④正确．
综上所述，正确的有个．
故选：D．
【分析】根据角平分线定义，对顶角相等，结合角之间的关系即可求出答案.
11．25的算术平方根是　 　．
【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
12．已知是方程的一个解，则　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，
可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】将代入方程可得，再求出m的值即可.
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
14．如图，，，交于点E，则的度数为　 　°．
【答案】140
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质可得，再利用邻补角求出∠AEC的度数即可.
15．若一个正数的两个不同的平方根为和，则为　 　．
【答案】1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平方根性质建立方程，解方程即可求出答案.
16．在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是　 　.
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
或，
线段进行平移得到线段，
，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得，
∴c的值是12或4．
故答案为：12或4．
【分析】由题意可知，根据边之间的关系建立方程，解方程可得或，再根据平移性质建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
（1）解：
；
（2）
，．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
把②代入①，得：，
解得：，
把代入②，得，
∴方程组的解为
（2）解：，
由，得：，
由，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
把②代入①，得：，
解得：，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由，得：，
由，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
19．如图，直线，，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】利用邻补角求出，，再利用平行线的性质求出∠1的度数即可.
20．已知实数的算术平方根是，的立方根是2．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根性质可得a，根据立方根性质可得b.
（2）将a，b值代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
21．如图，点，分别在，上，，垂足为，．
（1）求证；
（2）若，求证．
【答案】（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以，即.
（2）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先证出，再利用垂直和平行线的性质可得，即可证出；
（2）利用角的运算和等量代换求出，即可证出.
（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以，即；
（2）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以（内错角相等，两直线平行）．
22．已知关于的二元一次方程组．
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值．
【答案】（1）解：方程变形得：
∵y为正整数，
∴当时，；
当时，
∴方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：∵方程组的解满足方程，
∴方程组与方程组是同解方程.
解方程组得
将，代入得，
解得：；
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）方程变形得：，根据y为整数，赋值计算即可求出答案.
（2）由题意可得方程组与方程组是同解方程，解方程组可得x，y，再代入含m的方程即可求出答案.
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为．
（1）填空：点的坐标为______．
（2）求出的面积．
（3）把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：.
（3）解：如图所示，即为所求作图形，
，，；
，，，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为
故答案为：．
（3）若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点B的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点O、A、B的对应点，再连接即可，最后求出点的坐标即可.
（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为
故答案为：．
（2）如图所示，；
（3）如图所示，即为所求作图形，
，，；
若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为．
24．列二元一次方程组解下列问题
（1）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
（2）、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
【答案】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）解：设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，利用“ 购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元 ”列出方程组求解即可；
（2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题干直接列出方程组求解即可.
（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
25．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】解：（1）；；；
（2）过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由见解析
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；；；
（3），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）过点A作，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点P作，根据直线平行性质即可求出答案.
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