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广东省汕尾市2025—2026学年度九年级第二学期教学质量监测数学试题
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A．－2 B．|－4| C．－（－1） D．0
2．从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期9天（2月15日至23日），全市累计接待游客2540700人次，较2025年春节假期8天增长18.2%，实现旅游收入25.51亿元、增长27.6%．数据2540700用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，－3）
C．（－3，－2） D．（3，－2）
4．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如题图所示是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，错误的是（　　）
A． B．±＝±3 C． D．
6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．140° B．130° C．110° D．100°
7．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C．2 D．
9．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆：
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（　　）
A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度
C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间
10．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接BD，CD，以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．计算：＝　 　．
12．写出一条抛物线共有的性质：　 　．
13．如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是　 　．
14．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为　 　cm．
15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为　 　cm．
16．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为．
（1）求出曲线CD所在的函数关系式；
（2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？
17．下面是两位同学解方程组的做法：
善善的做法： 由方程①，得x＝y＋4③． 将方程③代入②，得：3（y＋4）＋2y＝7，解得y＝－1． 把y＝－1代入③，得x＝3． ∴方程组的解为 美美的做法： 由①×2，得2x－2y＝4③． 由②＋③，得5x＝11， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题：
（1）善善的消元方法是　 　；美美的消元方法是　 　．
（2）判断 ▲ （选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点P．
（1）用尺规作图法作线段BC的中点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接PD．求证：PD是⊙O的切线．
19．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息．
八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
年级 平均数 众数 中位数
八年级 88 a 90
九年级 88 94 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可）
（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？
20．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
命题1：BE＝DF．
命题2：连接DE，BF，若AC＝2BD，则四边形DEBF是矩形．
命题3：连接DE，BF，若AB＝BC，则四边形DEBF是菱形．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
21．现有一台红外线理疗灯（如－1图所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成．A，B，C三点在同一直线上．－2图是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．
（1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：）
22．图1、图2是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你解答：
（1）【问题一】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．交AB于点E．交BC于点F．则AE与BF的数量关系为　 　．
（2）【问题二】受图1启发，兴趣小组画出了图3：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n．若正方形ABCD的边长为8，试猜想四边形OEAG的面积，并写出解答过程．
（3）【问题三】受－2图启发，兴趣小组画出了－4图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．
23．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】
例如：点A（1，3）在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2．函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1．当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【理解与运用】
根据定义，解答下列问题：
（1）点B（－6，2）的“纵横值”为　 　；若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5，则c的值为　 　．
（2）若二次函数的顶点在直线上，且“最优纵横值”为5，求m的值．
（3）若二次函数的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：|-4|=4，-(-1)=1
∴-2<0<1<4
故答案为：A
【分析】根据有理数的绝对值，去括号法则，再比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2540700用科学记数法表示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（3，－2）
故答案为：D
【分析】根据旋转性质，结合点的坐标即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，错误，符合题意；
B：±＝±3，正确，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：，正确，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式，立方根，算术平方根性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝70°
∴∠BOC=2∠BAC=140°
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：x<3
解不等式②可得：x≤-1
在数轴上表示解集如下：
故答案为：C
【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图 ，过点A作AD⊥BC于点D
∵
∴
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度.
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间.
故答案为：B
【分析】根据题意进行分析判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接AD
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°
∵点D为弧BC的中点
∴BD=CD
∴AD垂直平分线段BC
∴AD经过点O
∴，∠ABD=90°
∴
设圆锥底面圆半径为r，则
解得：r=2
故答案为：B
【分析】连接AD，根据等边三角形性质可得AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，根据圆内接四边形性质可得∠BDC=120°，根据垂径定理可得BD=CD，则AD垂直平分线段BC，AD经过点O，根据正切定义可得DB，设圆锥底面圆半径为r，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：=1-2+1=0
故答案为：0
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】顶点是（0，0）
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
抛物线的顶点是（0，0）
故答案为：顶点是（0，0）
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：45+0.03=45.03，45+(-0.04)=44.96
∵44.09<44.96<44.98<45.01<45.03<45.04
∴合格的产品有2件
∴从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】3.6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB∥CD
∴△ABO∽△DOC
∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm
∴
∵蜡烛火焰AB的高度为2.4cm
∴
解得：CD=3.6
故答案为：3.6
【分析】由题意可得：AB∥CD，根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△DOC，则，代值计算即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
16．【答案】（1）解：设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0）．
把点C（25，40）代入，得k＝1000．
∴曲线CD所在的函数关系式为．
（2）解：当时，．
当时，．
∵，
∴第30min时学生的注意力更集中．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）分别将x=5，x=30代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
17．【答案】（1）代入消元法；加减消元法
（2）解：美美
正确解答如下：
由①×2，得2x－2y＝8③．
由②＋③，得5x＝15，
解得x＝3．
把x＝3代入①，得y＝－1．
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法，加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如1图，点D即为所求．
（2）证明：如2图，连接PD，OP，BP．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°．
∴∠CPB＝90°．
∵点D为BC的中点，
∴PD＝CD＝BD．
∴∠DPB＝∠DBP．
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP．
∴∠OPD＝∠OPB＋∠DPB＝∠OBP＋∠DBP＝∠ABC＝90°．
∵OP为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定；线段的中点；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据线段中点作图即可.
（2）连接PD，OP，BP，根据圆周角定理的推论可得∠APB＝90°，则∠CPB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得PD＝CD＝BD，根据等边对等角可得∠DPB＝∠DBP，∠OPB＝∠OBP，再根据角之间的关系可得∠OPD，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，八年级的中位数高于九年级（答案不唯一，合理即可）．
（3）解：根据题意，得（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） ∵在八年级被抽取的学生的测试得分中，93出现了3次，次数最多
∴其众数a=93：
九年级被抽取的学生的测试得分中，A组的学生人数为45%×20=9（名），B组的学生人数为6人
∴将九年级被抽取的学生的测试得分按从小到大排序后，第10个数是87，第11个数是88，
∴其中位数
由题意得：
∴m=30
故答案为：93；87.5；30
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据B组的人数除以总人数可得m.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（3）根据总人数乘以优秀占比即可求出答案.
20．【答案】解：命题1、命题2、命题3都是真命题．具体证明如下：
命题1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC．
∴∠BAE＝∠DCF．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE＝OA，CF＝OC．
∴AE＝CF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF．
命题2：如图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵AC＝2BD，
∴EF＝BD．
∴四边形DEBF是矩形．
命题3：如上图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，OA＝OC．
∴AC⊥BD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】命题1：根据平行四边形性质可得AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，则∠BAE＝∠DCF，根据线段中点可得AE＝OA，CF＝OC，则AE＝CF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
命题2：连接DE，BF，根据平行四边形性质可得OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据矩形判定定理即可求出答案.
命题3：连接DE，BF，根据菱形判定定理可得四边形ABCD是菱形，则OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）64；53
（2）解：如图，延长AC交l于点G，延长ME交l于点H．
∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，
∴∠HED＝37°．
在Rt△EDH中，DE＝30cm，，
∴EH＝DE·cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）．
∵EM＝50cm，
∴MH＝EM＋EH≈50＋24＝74（cm）．
∴AG＝MH≈74cm．
∵AC＝AB＋BC＝12＋26＝38（cm），
∴CG＝AG－AC≈74－38＝36（cm）．
在Rt△CGD中，∠GCD＝90°－∠1＝26°，，
∴（cm）．
答：此时理疗灯灯帽D的高度约为74cm，伸缩杆CD的长度约为40cm．
【知识点】三角形外角的概念及性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H
∴∠CGD=90°，∠EHD=90°
∵∠BCD=154°
∴∠1=154°-90°=64°
∵∠CDE=63°
∴∠2=180°-64°-63°=53°
故答案为：64；53
【分析】（1）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H，则∠CGD=90°，∠EHD=90°，根据三角形外角性质可得∠1，再根据补角可得∠2.
（2）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H，根据直角三角形两锐角互余可得∠HED＝37°，再解直角三角形，结合边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）AE＝BF
（2）解：猜想四边形OEAG的面积为16．
如图，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R．
∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ATOM是正方形．
∴．
易证△OME≌△OTG（ASA）．
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形．
①当∠AFP＝90°时，如图，延长EF，AD相交于点Q．
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°．
∴四边形ABEQ是矩形．
∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°．
∴∠EFP＋∠EPF＝90°．
∵∠AFP＝90°，
∴∠EFP＋∠AFQ＝90°．
∴∠EPF＝∠AFQ．
∴△EFP∽△QAF．
∴．
∵QF＝EQ－EF＝4，
∴．
∴EP＝1．
∴BP＝BE－EP＝7．
②当∠APF＝90°时，如图，
同①可证得△ABP∽△PEF．
∴．
∵PE＝BE－BP＝8－BP，
∴．
∴BP＝2或BP＝6．
③当∠PAF＝90°时，如图，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD相交于点N．
同①可证得四边形ABPM是矩形．
∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°．
同①可证得四边形ABEN是矩形．
∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6．
∴FN＝EN－EF＝4．
同①可证得△AMP∽△FNA．
∴．
∴．
∴BP＝AM＝3．
综上所述，BP的长度为2或3或6或7．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°
∵四边形是正方形
∴∠EOF=90°
∴∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE＝BF
故答案为：AE＝BF
【分析】（1）根据正方形性质可得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，∠EOF=90°，根据角之间的关系可得∠AOE=∠BOF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R，根据正方形性质可得AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD，再根据正方形判定定理可得四边形ATOM是正方形，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当∠AFP＝90°时，延长EF，AD相交于点Q，根据正方形性质可得EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，根据矩形判定定理可得四边形ABEQ是矩形，则AQ=BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°，根据角之间的关系可得∠EPF＝∠AFQ，根据相似三角形判定定理可得△EFP∽△QAF，则，代值计算即可求出答案；②当∠APF＝90°时，同①可证得△ABP∽△PEF，则，代值计算即可求出答案；③当∠PAF＝90°时，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD相交于点N，同①可证得四边形ABPM，四边形ABEN是矩形，则PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，则FN＝EN－EF＝4，同①可证得△AMP∽△FNA，则代值计算即可求出答案.
23．【答案】（1）8；5
（2）解：由已知得，
解得b＝3．
∴二次函数的解析式为．
∴二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
∵“最优纵横值”为5，
∴m＋1＝5，
∴m＝4．
（3）解：∵二次函数的顶点（h，k）在直线y＝x＋9上，
∴k＝h＋9．
∴．
∴函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
令w＝y－x，则，
其对称轴为．
当时，即，
在x＝－1时，w＝7，即，
解得h＝－2或h＝1（不合题意，舍去）．
当时，即，
，
此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去．
当时，即，在x＝4时，w＝7，
，解得h＝6或h＝3（不合题意，舍去）．
综上所述，h的值为－2或6．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
点B（－6，2）的“纵横值”为2-(-6)=8
若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5
∴y-x=5，即y=x+5
∴c=5
故答案为：8；5
【分析】（1）根据纵横值的定义即可求出答案.
（2）由二次函数的对称轴可得b=3，则二次函数的解析式为，再根据纵横值的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将顶点代入直线解析式可得k＝h＋9，则，根据纵横值的定义可得，令w＝y－x，则，求出对称轴为，分情况讨论：当时，即，当时，当时，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省汕尾市2025—2026学年度九年级第二学期教学质量监测数学试题
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A．－2 B．|－4| C．－（－1） D．0
【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：|-4|=4，-(-1)=1
∴-2<0<1<4
故答案为：A
【分析】根据有理数的绝对值，去括号法则，再比较大小即可求出答案.
2．从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期9天（2月15日至23日），全市累计接待游客2540700人次，较2025年春节假期8天增长18.2%，实现旅游收入25.51亿元、增长27.6%．数据2540700用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2540700用科学记数法表示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（2，－3）
C．（－3，－2） D．（3，－2）
【答案】D
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：把点P（－3，2）绕原点O旋转180°后，得到的对应点P'的坐标为（3，－2）
故答案为：D
【分析】根据旋转性质，结合点的坐标即可求出答案.
4．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如题图所示是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
5．下列各式中，错误的是（　　）
A． B．±＝±3 C． D．
【答案】A
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，错误，符合题意；
B：±＝±3，正确，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：，正确，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式，立方根，算术平方根性质逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．140° B．130° C．110° D．100°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝70°
∴∠BOC=2∠BAC=140°
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
7．已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：x<3
解不等式②可得：x≤-1
在数轴上表示解集如下：
故答案为：C
【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图 ，过点A作AD⊥BC于点D
∵
∴
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义即可求出答案.
9．下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程：
15.3分式方程 甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20m，求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆：
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（　　）
A．x表示甲队每天修路的长度 B．x表示乙队每天修路的长度
C．y表示甲队修400m所用的时间 D．y表示乙队修600m所用的时间
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
∴x表示甲队每天修路的长度.
∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
∴y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间.
故答案为：B
【分析】根据题意进行分析判断即可求出答案.
10．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接BD，CD，以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接AD
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°
∵点D为弧BC的中点
∴BD=CD
∴AD垂直平分线段BC
∴AD经过点O
∴，∠ABD=90°
∴
设圆锥底面圆半径为r，则
解得：r=2
故答案为：B
【分析】连接AD，根据等边三角形性质可得AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，根据圆内接四边形性质可得∠BDC=120°，根据垂径定理可得BD=CD，则AD垂直平分线段BC，AD经过点O，根据正切定义可得DB，设圆锥底面圆半径为r，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
11．计算：＝　 　．
【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：=1-2+1=0
故答案为：0
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．写出一条抛物线共有的性质：　 　．
【答案】顶点是（0，0）
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
抛物线的顶点是（0，0）
故答案为：顶点是（0，0）
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：45+0.03=45.03，45+(-0.04)=44.96
∵44.09<44.96<44.98<45.01<45.03<45.04
∴合格的产品有2件
∴从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．－1图是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如－2图所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度为2.4cm．则蜡烛火焰倒立的像CD的高度为　 　cm．
【答案】3.6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB∥CD
∴△ABO∽△DOC
∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm
∴
∵蜡烛火焰AB的高度为2.4cm
∴
解得：CD=3.6
故答案为：3.6
【分析】由题意可得：AB∥CD，根据相似三角形判定定理可得△ABO∽△DOC，则，代值计算即可求出答案.
15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为　 　cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm，
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
16．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为．
（1）求出曲线CD所在的函数关系式；
（2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？
【答案】（1）解：设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0）．
把点C（25，40）代入，得k＝1000．
∴曲线CD所在的函数关系式为．
（2）解：当时，．
当时，．
∵，
∴第30min时学生的注意力更集中．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）分别将x=5，x=30代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
17．下面是两位同学解方程组的做法：
善善的做法： 由方程①，得x＝y＋4③． 将方程③代入②，得：3（y＋4）＋2y＝7，解得y＝－1． 把y＝－1代入③，得x＝3． ∴方程组的解为 美美的做法： 由①×2，得2x－2y＝4③． 由②＋③，得5x＝11， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题：
（1）善善的消元方法是　 　；美美的消元方法是　 　．
（2）判断 ▲ （选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【答案】（1）代入消元法；加减消元法
（2）解：美美
正确解答如下：
由①×2，得2x－2y＝8③．
由②＋③，得5x＝15，
解得x＝3．
把x＝3代入①，得y＝－1．
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法，加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点P．
（1）用尺规作图法作线段BC的中点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，连接PD．求证：PD是⊙O的切线．
【答案】（1）解：如1图，点D即为所求．
（2）证明：如2图，连接PD，OP，BP．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°．
∴∠CPB＝90°．
∵点D为BC的中点，
∴PD＝CD＝BD．
∴∠DPB＝∠DBP．
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP．
∴∠OPD＝∠OPB＋∠DPB＝∠OBP＋∠DBP＝∠ABC＝90°．
∵OP为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定；线段的中点；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据线段中点作图即可.
（2）连接PD，OP，BP，根据圆周角定理的推论可得∠APB＝90°，则∠CPB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得PD＝CD＝BD，根据等边对等角可得∠DPB＝∠DBP，∠OPB＝∠OBP，再根据角之间的关系可得∠OPD，再根据切线判定定理即可求出答案.
19．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60≤x＜70，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息．
八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
年级 平均数 众数 中位数
八年级 88 a 90
九年级 88 94 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可）
（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？
【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，八年级的中位数高于九年级（答案不唯一，合理即可）．
（3）解：根据题意，得（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） ∵在八年级被抽取的学生的测试得分中，93出现了3次，次数最多
∴其众数a=93：
九年级被抽取的学生的测试得分中，A组的学生人数为45%×20=9（名），B组的学生人数为6人
∴将九年级被抽取的学生的测试得分按从小到大排序后，第10个数是87，第11个数是88，
∴其中位数
由题意得：
∴m=30
故答案为：93；87.5；30
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据B组的人数除以总人数可得m.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（3）根据总人数乘以优秀占比即可求出答案.
20．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
命题1：BE＝DF．
命题2：连接DE，BF，若AC＝2BD，则四边形DEBF是矩形．
命题3：连接DE，BF，若AB＝BC，则四边形DEBF是菱形．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
【答案】解：命题1、命题2、命题3都是真命题．具体证明如下：
命题1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC．
∴∠BAE＝∠DCF．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴AE＝OA，CF＝OC．
∴AE＝CF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF．
命题2：如图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵AC＝2BD，
∴EF＝BD．
∴四边形DEBF是矩形．
命题3：如上图，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，OA＝OC．
∴AC⊥BD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】命题1：根据平行四边形性质可得AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，则∠BAE＝∠DCF，根据线段中点可得AE＝OA，CF＝OC，则AE＝CF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
命题2：连接DE，BF，根据平行四边形性质可得OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据矩形判定定理即可求出答案.
命题3：连接DE，BF，根据菱形判定定理可得四边形ABCD是菱形，则OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．现有一台红外线理疗灯（如－1图所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成．A，B，C三点在同一直线上．－2图是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°．
（1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：）
【答案】（1）64；53
（2）解：如图，延长AC交l于点G，延长ME交l于点H．
∵∠2＝53°，∠EHD＝90°，
∴∠HED＝37°．
在Rt△EDH中，DE＝30cm，，
∴EH＝DE·cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）．
∵EM＝50cm，
∴MH＝EM＋EH≈50＋24＝74（cm）．
∴AG＝MH≈74cm．
∵AC＝AB＋BC＝12＋26＝38（cm），
∴CG＝AG－AC≈74－38＝36（cm）．
在Rt△CGD中，∠GCD＝90°－∠1＝26°，，
∴（cm）．
答：此时理疗灯灯帽D的高度约为74cm，伸缩杆CD的长度约为40cm．
【知识点】三角形外角的概念及性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H
∴∠CGD=90°，∠EHD=90°
∵∠BCD=154°
∴∠1=154°-90°=64°
∵∠CDE=63°
∴∠2=180°-64°-63°=53°
故答案为：64；53
【分析】（1）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H，则∠CGD=90°，∠EHD=90°，根据三角形外角性质可得∠1，再根据补角可得∠2.
（2）延长AC交l于点G，延长ME交l于点H，根据直角三角形两锐角互余可得∠HED＝37°，再解直角三角形，结合边之间的关系即可求出答案.
22．图1、图2是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你解答：
（1）【问题一】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．交AB于点E．交BC于点F．则AE与BF的数量关系为　 　．
（2）【问题二】受图1启发，兴趣小组画出了图3：直线m，n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD，BC交于点E，F，直线n分别与AB，CD交于点G，H，且m⊥n．若正方形ABCD的边长为8，试猜想四边形OEAG的面积，并写出解答过程．
（3）【问题三】受－2图启发，兴趣小组画出了－4图：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AE＝BF
（2）解：猜想四边形OEAG的面积为16．
如图，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R．
∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ATOM是正方形．
∴．
易证△OME≌△OTG（ASA）．
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形．
①当∠AFP＝90°时，如图，延长EF，AD相交于点Q．
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°．
∴四边形ABEQ是矩形．
∴AQ＝BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°．
∴∠EFP＋∠EPF＝90°．
∵∠AFP＝90°，
∴∠EFP＋∠AFQ＝90°．
∴∠EPF＝∠AFQ．
∴△EFP∽△QAF．
∴．
∵QF＝EQ－EF＝4，
∴．
∴EP＝1．
∴BP＝BE－EP＝7．
②当∠APF＝90°时，如图，
同①可证得△ABP∽△PEF．
∴．
∵PE＝BE－BP＝8－BP，
∴．
∴BP＝2或BP＝6．
③当∠PAF＝90°时，如图，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD相交于点N．
同①可证得四边形ABPM是矩形．
∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°．
同①可证得四边形ABEN是矩形．
∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6．
∴FN＝EN－EF＝4．
同①可证得△AMP∽△FNA．
∴．
∴．
∴BP＝AM＝3．
综上所述，BP的长度为2或3或6或7．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°
∵四边形是正方形
∴∠EOF=90°
∴∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE＝BF
故答案为：AE＝BF
【分析】（1）根据正方形性质可得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，∠EOF=90°，根据角之间的关系可得∠AOE=∠BOF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD，交AB于点T，交CD于点R，根据正方形性质可得AT＝TO＝OM＝MA＝AB＝AD，再根据正方形判定定理可得四边形ATOM是正方形，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当∠AFP＝90°时，延长EF，AD相交于点Q，根据正方形性质可得EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，根据矩形判定定理可得四边形ABEQ是矩形，则AQ=BE＝BC＋CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝∠E＝90°，根据角之间的关系可得∠EPF＝∠AFQ，根据相似三角形判定定理可得△EFP∽△QAF，则，代值计算即可求出答案；②当∠APF＝90°时，同①可证得△ABP∽△PEF，则，代值计算即可求出答案；③当∠PAF＝90°时，过点P作AB的平行线交DA的延长线于点M，延长EF，AD相交于点N，同①可证得四边形ABPM，四边形ABEN是矩形，则PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，则FN＝EN－EF＝4，同①可证得△AMP∽△FNA，则代值计算即可求出答案.
23．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y－x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】
例如：点A（1，3）在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2．函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1．当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【理解与运用】
根据定义，解答下列问题：
（1）点B（－6，2）的“纵横值”为　 　；若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5，则c的值为　 　．
（2）若二次函数的顶点在直线上，且“最优纵横值”为5，求m的值．
（3）若二次函数的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值．
【答案】（1）8；5
（2）解：由已知得，
解得b＝3．
∴二次函数的解析式为．
∴二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
∵“最优纵横值”为5，
∴m＋1＝5，
∴m＝4．
（3）解：∵二次函数的顶点（h，k）在直线y＝x＋9上，
∴k＝h＋9．
∴．
∴函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
令w＝y－x，则，
其对称轴为．
当时，即，
在x＝－1时，w＝7，即，
解得h＝－2或h＝1（不合题意，舍去）．
当时，即，
，
此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去．
当时，即，在x＝4时，w＝7，
，解得h＝6或h＝3（不合题意，舍去）．
综上所述，h的值为－2或6．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
点B（－6，2）的“纵横值”为2-(-6)=8
若直线y＝x＋c经过点C，且点C的“纵横值”为5
∴y-x=5，即y=x+5
∴c=5
故答案为：8；5
【分析】（1）根据纵横值的定义即可求出答案.
（2）由二次函数的对称轴可得b=3，则二次函数的解析式为，再根据纵横值的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将顶点代入直线解析式可得k＝h＋9，则，根据纵横值的定义可得，令w＝y－x，则，求出对称轴为，分情况讨论：当时，即，当时，当时，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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