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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第4章 平行四边形单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
3．下列说法中，正确的结论有（ ）个
①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
③“对顶角相等”的逆命题是真命题；
④反证法证明”一个三角形中最小角不大于”“应先假设这个三角形中最小角大于”
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，是的中点，平分，，垂足为，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线与交于点，的延长线与交于点．下面四个推断：①；②；③若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的平行四边形，可能存在无数个四边形是矩形，其中，所有结论中错误的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6．如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．1
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为_____．
12．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设________．
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为___.
14．如图，中，D是边的中点，平分，于点E，已知，，则的长为________．
15．一个中，为斜边的中点，E为直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若是面积的一半，则______．
16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F．
(1)若为，求的度数．
(2)求证：．
18．如图，在中，分别以B，D为圆心，的长为半径画两段圆弧，分别交于点M，交于点N，连结．请判断四边形是否为平行四边形，并说明理由．
19．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
20．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
22．如图，点、是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
(1)求证：；
(2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
24．观察下面图形，解决问题：
(1)用数学的眼光观察
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
(2)用数学的思维思考
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：；
(3)用数学的语言表达
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A A A A D C C
1．D
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．D
从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可．
解：由题意得，
∴．
3．B
先根据角平分线性质定义解答①，再根据三角形三条边的线段垂直平分线的性质定理解答②；然后说明逆定理，并判断③；最后根据反证法解答④．
解：因为“在一个角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，所以①不正确；
因为“三角形三条边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等”所以②正确；
因为“对顶角相等”的逆命题是“相等的角就是对顶角”不是真命题，所以③不正确；
反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”，所以④正确，则正确的有2个．
4．A
延长交于点，可证 ，可得 ，为中点，即得，再利用三角形中位线定理解答即可求解．
解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和 中，
，
，
，，
是的中点，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线 ，
．
5．A
本题考查了平行四边形的性质及判定，菱形的性质及判定，矩形的判定；解题关键是熟练掌握平行四边形及特殊四边形的性质和判定，动态问题可以通过分类讨论以及数形结合思想来解决．
由题意，先证和全等，从而可得，同理可证，进而可证四边形是平行四边形，则①和②均可判定；
对于③，根据四边形是菱形，可比较与的大小，进而可判定；
对于④，根据已证的四边形是平行四边形及矩形的判定定理，可判定．
解：如图，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
同理得，
∴四边形是平行四边形，
∴，但与不一定相等，故①错误，②正确；
若四边形是菱形，
则，
∴，
∵点，为边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），
∴，
∴不存在四边形是菱形，故③错误；
由题意知存在，则，
∴可能存在无数个四边形是矩形，故④正确；
综上所述，以上结论错误的是①③，
故选：．
6．A
本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．
解：A、，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意；
B、∵，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，不符合题意；
C、，，对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意；
D、∵，
∴，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意．
7．A
根据等腰三角形的性质求出的度数，根据旋转的性质得出是等边三角形以及，最后利用求解即可．
解：，
，
，
，
，
由旋转的性质知，，
、、，
是等边三角形，
，
．
8．D
本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理逐一分析．
解：∵在平行四边形中，，
∵
∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形
∴图中的平行四边形有：
平行四边形
平行四边形
平行四边形
平行四边形
平行四边形
平行四边形
∴共有个平行四边形．
故选：D．
9．C
延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，，即可求解．
解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
10．C
由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解．
解：∵,,
∴,
∵
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
，
∴．
11．
本题考查多边形的知识解题的关键是掌握多边形的内角和公式，进行解答，即可．
解：设这个多边形的边数为，
∵多边形内角和公式：，
∴，
整理方程得 ，
解得 ．
12．/
根据反证法的定义，反证法需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原结论的否定形式即可．
解：原命题的结论为，的否定为，因此用反证法证明该命题时，应假设．
13．
本题考查了根的判别式及关于原点对称的点的坐标特征，利用判别式，求出的值是关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，得出关于的方程，求出的值，进而确定点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征进行解答即可．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得，
∴
∴点
则关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
14．3
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，先根据证明，即可得到，，然后根据三角形的中位线定理解答即可．
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3．
15．
本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
通过勾股定理可得的长度，根据折叠的性质及等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，可求，，可得，可证是平行四边形，可求得，根据勾股定理可得的长度．
解：如图，连接，
∵，
∴ ，
∵D是中点，
∴，
∵将沿折叠至，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
16．/
利用平行四边形的性质得到，，再结合三角形三边关系求解，即可解题．
解：平行四边形中，对角线，相交于点，，，
，，
，
，
，
，
．
17．(1)
(2)证明见解析
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义，熟练的利用多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键．
（1）由四边形内角和定理得到，由平分即可得到答案；
（2）设，证明，在中，，则，即可证明．
（1）解：∵在四边形中，，，
∴，
∵平分，
∴．
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵平分，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
18．四边形是平行四边形．理由见解析
本题主要考查平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得，由作图得，则，可证明，则四边形是平行四边形．
解：四边形是平行四边形．理由如下：
四边形是平行四边形，
，，．
又，，
，
即．
又，
四边形是平行四边形．
19．(1)详见解析
(2)
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
的长为．
20．(1)见解析
(2)
本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，．
21．(1)证明见解析
(2)
本题考查旋转，全等三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可．
（1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可；
（2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可．
（1）解：证明如下：
∵边绕点旋转到的位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）根据平行四边形的性质得出，，可得，即可证明，得出，，，即可证明四边形是平行四边形；
（2）过点作于，利用勾股定理求出，利用的面积求出，利用三角形面积公式求出的面积即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作于，
∵，，，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)存在，或或
（1）利用旋转的性质，和证明即可；
（2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标，然后分别以为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：存在，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，，
设，，
以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情况：
①当为对角线时：，
∴，
∴点P的坐标为；
②当为对角线时：，
∴，
∴点P的坐标为；
③当为对角线时：，
∴，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)是直角三角形，证明见解析
（）利用三角形中位线的性质可得，进而即可求证；
（）利用三角形中位线的性质可得，，进而根据（）的结论即可求证；
（）取的中点，连接，利用三角形中位线的性质可证，进而得到 ，即得到是等边三角形，即可得，得到，进而得 ，即可求证．
（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
同理可证，，
由（）知，，
∴；
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，
∵是的中点，
∴，，
同理可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第4章 平行四边形
单元测试·冲刺卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 中心对称图形的识别
2 0.85 多边形对角线的条数问题
3 0.65 判断命题真假；反证法证明中的假设；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质
4 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
5 0.65 平行四边形性质和判定的应用；证明四边形是矩形；利用菱形的性质证明；证明四边形是菱形
6 0.65 判断能否构成平行四边形
7 0.7 根据旋转的性质求解；等边对等角；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
8 0.65 数图形中平行四边形的个数
9 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；二次根式的乘法；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
10 0.65 利用平行四边形的判定与性质求解
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 多边形内角和问题
12 0.85 反证法证明中的假设
13 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；求关于原点对称的点的坐标
14 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
15 0.65 折叠问题；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
16 0.65 确定第三边的取值范围；利用平行四边形的性质求解
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 角平分线的有关计算；多边形内角和问题；直角三角形的两个锐角互余；同位角相等两直线平行
18 0.65 利用平行四边形性质和判定证明
19 0.65 平行四边形性质和判定的应用；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
20 0.63 三角形内角和定理的应用；利用平行四边形的判定与性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
21 0.65 根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；三角形的外角的定义及性质
22 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
23 0.64 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解
24 0.5 与三角形中位线有关的证明；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的判定和性质

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