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(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第4章 因式分解
单元测试·冲刺卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 判断是否是因式分解
2 0.85 已知因式分解的结果求参数
3 0.65 已知式子的值，求代数式的值；完全平方公式分解因式
4 0.65 平方差公式分解因式
5 0.65 判断能否用公式法分解因式
6 0.65 已知式子的值，求代数式的值；添括号
7 0.65 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
8 0.65 公因式
9 0.85 综合运用公式法分解因式
10 0.65 综合提公因式和公式法分解因式；因式分解的应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 已知因式分解的结果求参数
12 0.65 已知式子的值，求代数式的值；综合提公因式和公式法分解因式
13 0.65 已知式子的值，求代数式的值；添括号
14 0.65 提公因式法分解因式
15 0.65 平方差公式分解因式
16 0.65 完全平方公式分解因式
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 有理数四则混合运算；提公因式法分解因式
18 0.74 提公因式法分解因式；综合运用公式法分解因式
19 0.85 已知字母的值 ，求代数式的值；综合提公因式和公式法分解因式
20 0.85 平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
21 0.85 提公因式法分解因式
22 0.65 综合运用公式法分解因式
23 0.51 因式分解的应用；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
24 0.65 已知式子的值，求代数式的值；合并同类项；添括号2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（ ）
A．， B．，3 C．2， D．2，3
3．已知，，，则的值是（ ）
A．3 B． C．2025 D．
4．对于任意整数，多项式都能被（ ）整除．
A． B． C． D．
5．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果代数式的值为6，那么代数式的值为（ ）
A． B．15 C．4 D．5
7．已知，则的值是（）
A．6 B．7 C．4 D．2
8．与的公因式是（ ）
A． B． C． D．不存在
9．在把多项式因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知整式可以因式分解为，则的值为________．
12．已知，则________．
13．若代数式的值为，则的值是______．
14．因式分解：（n是正整数）______．
15．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________．
16．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式：______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
18．因式分解：
(1)；
(2)．
19．材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码．
任务一：
（1）分解因式：
任务二：
（2）当取时，请确定产生的六位数密码？
20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：．即：．
根据以上材料，将式子进行因式分解．
21．阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次；
(2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程．
22．【阅读理解】：对于形如的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解了．我们可以添上一项1，使它与构成一个完全平方式，然后再减去1，这样整个多项式的值不变，即，
像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
【初步运用】请用上述方法把因式分解：
【拓展应用】已知三角形ABC的三边分别为a，b，c，且满足，求三角形ABC的周长．
23．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．
例1．因式分解：．
解：原式．
例2．若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)是一个完全平方式，求 ；
(2)分解因式：；
(3)若，求y的最大值；
(4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
24．【知识呈现】
我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】
（1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示）
（2）若代数式的值为4，则代数式的值为______；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（3）已知，的值为最大的负整数，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C A D A D D
1．B
本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解；逐项判断，即可求解．
解：A.，不是因式分解，故不符合题意；
B.，符合因式分解的定义，故符合题意；
C.，不是因式分解，故不符合题意；
D.，不是因式分解，故不符合题意；
故选：B．
2．C
本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开．
根据题意得到，可得m、n的值．
解：∵
∴
∴，，
故选：C．
3．A
本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案．
解：
，
∵，，，
∴，，，
∴原式．
故选：A．
4．A
将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案．
解：
，
∵为整数，
∴也为整数，
∴能被整除，
∴多项式都能被整除．
5．C
本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式．
解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解；
② ，符合完全平方公式，故能分解；
③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解；
④ ，符合平方差公式，故能分解；
⑤ ，符合完全平方公式，故能分解．
∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个．
故选：C．
6．A
本题考查代数式求值，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可．
解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选A．
7．D
本题主要考查了代数式求值、因式分解，根据题意，，把代入即可求出结果，解题的关键是要能将看成一个整体代入代数式求值．
解：，
∵，
∴原式，
故选：D．
8．A
解：
第一个多项式为
∴ 两个多项式都含有的公因式为.
9．D
依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．
a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-4b2
=(a-3b)2-(2b)2
=(a-3b+2b)(a-3b-2b)
=(a-b)(a-5b)；
故选：D．
本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
10．D
本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案．
解：，且，，
各个因式的值是，，，
组成的密码应包含11，12，32，
组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能组成的密码为123011．
故选：D．
11．4
本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解．
通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可．
展开 ，与原式 比较系数，
得 ，解得 ．
故答案为 4
12．8
本题考查了代数式求值以及因式分解，掌握整体思想是求解的关键．将整体代入即可．
解：∵，
∴
故答案为：8．
13．9
本题考查了代数式求值，将原式化成，再整体代入计算即可．
解：因为，
所以
，
故答案为：．
14．
本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可．
解：原式
．
故答案为：．
15．16
本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
解：∵两个正整数m，n满足，
∴或或或或，…，
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为8，12，16，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为15，21，27，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为24，32，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为35，45，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为48，60，…；
…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…，
故第4个“智慧优数”是16，
故答案为：16．
16．
本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键．
（1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可；
（2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可．
（1）解：
；
（2）
．
18．(1)
(2)
（1）提取公因式即可分解因式；
（2）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1）；（2）
本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）代入到（1）中的各个因式，即可得出答案．
解：（1）
；
（2）当取时，
，
，
，
所以这六位数密码为101525．
20．
先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可.
解：
．
21．(1)提公因式法，2；
(2)2024，过程见解析．
（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；
（2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法
共应用了2次提公因式
（2）原式＝
＝
＝
……
＝
需要应用上述方法2024次．
22．【初步运用】；【拓展应用】
初步运用：把先加16，再减16，先用完全平方公式，再用平方差公式分解即可；
拓展应用：先移项，然后用配方法分解因式即可．
解：初步运用：
拓展应用：
，，
三角形ABC的周长为：
本题考查了配方法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)132
(4)，，最小值为2016
（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值；
（2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值；
（4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．
（1）解：∵是一个完全平方式，
∴．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴．
∴当时，y有最大值，最大值为132；
（4）解：
，
当，时代数式有最小值，
解得，，最小值为2016．
24．（1）；（2）；（2）
本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键．
（1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案；
（2）先求出的结果，再根据求解即可；
（3）先求出的值，再根据求解即可．
解：（1）
；
（2）∵代数式的值为4，
∴，
∴，
∴；
（3）∵的值为最大的负整数，
∴，
∴
．

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