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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第4章 因式分解单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
3．多项式中，各项的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
5．若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．6
6．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽
7．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
8．小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A． B． C．49 D．
9．下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
10．当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．分解因式：=___________
12．如果因式分解的结果为，那么_________．
13．分解因式：____________．
14．若 ，则_________（请用“”“”或“”表示)
15．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______．
16．当时，代数式的值为7，则若当时，代数式的值为_________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)（用乘法公式计算）．
19．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
(1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
(2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．
所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1．
(1)求的最小值．
(2)已知，则___________；
(3)已知有理数x、y满足，求的最小值．
21．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________；
(2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值．
22．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法对多项式进行因式分解．
解：设，则
原式
根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解．
23．探究及应用：
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
运用你所得到的公式，计算：
（4）
（5）
（6）若，，求．
例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为．
(1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；
(3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B A C C B C D
1．D
因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可．
解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误；
B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误；
C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误；
D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确．
2．C
本题考查了公式法因式分解．
利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
解：
．
故选：C．
3．B
本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合．
解：∵ 各项系数的最大公约数是，
∵ 多项式各项都含有的相同字母为，
∵ 的最低次幂是，的最低次幂是，
∴ 各项的公因式是．
故答案为：．
4．B
把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可．
解：∵，
∴
．
5．A
利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算．
解：∵，又，
∴ 对比对应项系数得，，
解得，
将代入得，
∴．
6．C
先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解．
解：原式
，
由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”，
则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”．
7．C
本题考查了用完全平方公式进行因式分解的能力，解题的关键是了解完全平方公式的结构特点，准确记忆公式，会根据公式的结构判定多项式是否是完全平方式．
可以用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，符合结构，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、中，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意；
B、中，，，中间项应为，而非，不符合完全平方式结构，故该选项不符合题意；
C、，符合完全平方式结构，故该选项符合题意；
D、中，为负项，不满足完全平方式中两个平方项同号的要求，不符合结构，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．B
运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案．
解：A. 当时，，可以分解，本选项不符合题意；
B .当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意；
C .当时，，可以分解，本选项不符合题意；
D .当时，，可以分解，本选项不符合题意．
9．C
本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解．
解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解；
∵B选项，符合平方差公式，可因式分解；
∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解；
∵D选项，提公因式x即可因式分解；
故选：C．
10．D
首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果．
解：∵当时，，
，即，
移项得．
当时，，
∴．
11．
先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解．
解：．
12．2
将展开后与比较求出，，然后代入求解．
解：
∵因式分解的结果为，
∴
∴，
∴．
13．
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：
14．
本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系．
设，则．
，
将代入，得，
．
故答案为：．
15．
根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解．
解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数，
由平方差公式得，，
令，
解得，
∴所有不超过的“和谐数”之和为：
．
16．
本题考查了求代数式的值，把，代入，可以解得的值，然后把代入所求代数式，整理得到的形式，然后将的值整体代入即可求解．
解：∵当时，，
∴，
当时，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．(1)12mn
(2)1
（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)（答案不唯一）
(2)能，，
本题主要考查了分解因式，已知分解因式的结果求参数等等，正确理解题意是解题的关键．
（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得到，再计算出和的结果即可得到答案；
（2）把提取公因式x得到，根据产生的密码为可得因式分解的结果为，据此可得答案．
（1）解：
，
当，时，，，
∴这个六位数密码可以是；
（2）解：，
∵当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为，，
∴因式分解的结果为，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
(3)1
（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解；
（3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可．
（1）解：，
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以，
即的最小值为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0．
所以，
即的最小值为1．
21．(1)6
(2)9
本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒
（1）根据“相伴方程”定义即可求出；
（2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒
（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”，
∴﹒
故答案为：6；
（2）解：变形为，变形为﹒
∵关于的方程与方程互为“相伴方程”，
∴，
∴，
∴．
22．
本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键．
解：设，
将代入，得：
∴原式．
23．（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）利用等面积法建立等式就可得出公式；
（4）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算；
（5）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算；
（6）根据平方差公式，再列方程求解即可．
（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；
（2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；
（3）解： ；
（4）解：
；
（5）解：；
（6）解：，
，
又，即，
．
24．(1)
(2)9
(3)；
本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键．
（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式．
（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴；
（3）设另一个因式为，得，
则，，
解得：，，
故另一个因式为，k的值为12．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第4章 因式分解
单元测试·提升卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 判断是否是因式分解
2 0.85 综合运用公式法分解因式
3 0.85 公因式
4 0.65 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式
5 0.85 （x+p）（x+q）型多项式乘法；已知因式分解的结果求参数
6 0.65 综合提公因式和公式法分解因式
7 0.65 完全平方公式分解因式
8 0.74 提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
9 0.65 提公因式法分解因式；判断能否用公式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
10 0.64 已知式子的值，求代数式的值；含乘方的有理数混合运算；添括号
三、知识点分布
二、填空题
11 0.76 提公因式法分解因式
12 0.85 已知字母的值 ，求代数式的值；已知因式分解的结果求参数
13 0.71 综合提公因式和公式法分解因式
14 0.65 综合运用公式法分解因式
15 0.6 平方差公式分解因式
16 0.65 乘方运算的符号规律；已知式子的值，求代数式的值；添括号
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 提公因式法分解因式
18 0.85 运用平方差公式进行运算；平方差公式分解因式
19 0.65 提公因式法分解因式；综合提公因式和公式法分解因式；已知因式分解的结果求参数
20 0.7 完全平方公式分解因式
21 0.65 单项式的系数、次数；添括号；判断是否是一元一次方程
22 0.65 提公因式法分解因式
23 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；运用平方差公式进行运算；平方差公式与几何图形；平方差公式分解因式
24 0.65 已知因式分解的结果求参数

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