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山西运城市康杰中学2026届高三下学期冲刺模拟卷（一）数学试题
一、单选题
1．已知是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则
A． B． C． D．
3．已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则|（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2 B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1 D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
6．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一圈．如果水车上一点从水中浮现时（图中）开始计时，经时秒后，水车旋转到点，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要的时间为20秒
B．第30秒和第70秒时，点在水面以上且距离水面的高度相同
C．在转动一圈内，点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒
D．当时，点距离水面的最大高度为6米
7．已知，是两个随机事件，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知一组样本数据，下列说法正确的是（ ）
A．该样本数据的60%分位数为
B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5
D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1
10．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（ ）

A． B．该几何体的体积为
C．动点的轨迹长为 D．该多面体内切球的半径为
11．在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ）
A．
B．若为的外心，则
C．若，则
D．若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为
三、填空题
12．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
13．已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点， 为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_____．
14．数列满足，则的前项和为____
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
16．已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切
(1)求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
(2)设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由.
17．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
18．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若有且仅有1个零点，求的值；
(3)若存在，使得对任意恒成立，证明：．
19．已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.
(1)求四棱锥体积的最小值；
(2)记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.
（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；
（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
参考答案
1．A
2．A
3．A
4．D
5．D
6．D
7．C
8．B
9．BD
10．ACD
11．ACD
12．10
13．
14．1830
15．（1）解：由题意得：
由题意知，则
又，所以是公差为2的等差数列，则；
（2）由题知
则
16．（1）因为设动圆圆心，半径为，因为动圆C与圆A和圆B都外切，
所以，，
所以，
根据双曲线定义可知，的轨迹为双曲线的右支的部分，
其中,为双曲线的焦点，即，
，即，所以，
即，
联立方程组，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为和，
所以，，
所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为：，；
（2）设，为轨迹E上的动点，
所以，即，
因为，且，
所以，
而，
则有，
所以，
所以是定值，定值为.
17．（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
18．（1）当时，，定义域为，
求导得到，
令，则当时，
所以在内单调递减，且，
即在内单调递减，且，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为.
（2）因为有且仅有1个零点，
所以方程有且仅有1个解，
即有且仅有1个解，
令， ，
则，
令，则，
所以在区间 上单调递增，
又因为 ，
所以当 时，，即，单调递减；
当 时，，即，单调递增；
所以函数在处取得极小值也是最小值，
当时，，时，，
因为有且仅有1个解，
所以.
（3）因为对任意恒成立，
所以，即，
因此，
要证，只需证明即可，
对函数求导得到，
令，则，
所以在区间单调递减，
即在区间单调递减，
存在唯一极大值点，满足，即，
在内函数单调递增，
内函数单调递减，
所以当时取得极大值也是最大值
.
因此，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在时取得最大值，
因此，
所以，所以，
故得证.
19（1）
设点到平面和直线的距离分别为，，
因为点在平面内，且平面与平面的夹角为，
因此，得，
所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线，
当点在抛物线的顶点处时，最小，
最小值为，此时，
所以四棱锥体积的最小值为；
（2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则，
（i）平面与平面的交线为，
因此，是直线与抛物线的交点，如图2，
在平面中，可以设：，
与抛物线方程联立，得：，
因此，；
（ii）如图3，在平面中，点在点上方，且，
得到点坐标为，因为，与平面所成角相等，
所以，与所成角相等，
因此，，的斜率互为相反数，
设，，则，
得，
因此，，
因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为，
又，
设平面的法向量，
由，由，
令，则，
又平面的法向量，，
所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为.

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