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2025 学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后, 只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 为虚数单位,若复数 是纯虚数，则实数 等于( )
A. -2 B. 2 C. -6 D. 6
5. 已知点 在圆 上,点 在直线 上,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知各项均为正数的等比数列 ,则
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7. 若二项式 展开式中的常数项为 15，则 的值( )
A. B. C. 3 D. 9
8. 已知函数 有两个不同的极值点，则 的取值范围()
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有选 错的得 0 分.
9. 若实数 满足 ，则()
A. B.
C. D.
10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，过 且垂直于 的直线交准线于 ,则( )
A. 准线方程为 B.
C. D.
11. 如图所示,正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点,点 是正方形 内的动点,下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若 平面 ,则点 的轨迹长度为
C. 四棱锥 的体积为 3
D. 四棱锥 的外接球的表面积为
非选择题部分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 3 名男生、3 名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为_____(用数字作答).
14. 已知 分别是椭圆 和双曲线 的离心率， 是它们的公共焦点， 是它们的一个公共点. 且 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 ， 的面积为 ，求 的周长.
16. 如图,在四棱锥 中, 为 中点, .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 底面 ，求直线 与平面 的夹角正弦值.
17. 已知等差数列 中,其前 项和为 ,且 ,数列 满足 .
(1)求(0)的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18. 已知椭圆 离心率为 是椭圆 其中的一个顶点,直线 与椭圆 交于 两点， 是 轴上的一点，直线 分别与直线 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 ，求 的的取值范围；
(3)是否存在实数 ，使得 为定值，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ；
(i) 求 的取值范围;
(ii) 已知 ,且 恒成立,求 的取值范围.
2025 学年第二学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题学校: 新安江中学
一、单选题:(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项
二、多选题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选 对得 6 分, 部分选对得部分分数, 有错选得 0 分)
题号 9 10 11
选项
三、填空题: (本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 1 13. 576 14._____ 10 答 3 也给分
四、解答题: (本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的面积为 ，求 的周长.
解: (1) 由正弦定理得: . 2 分
,
由 得 . 4 分
又因为 ,解得 6 分
(2) ,
由余弦定理得: ①. 8 分
又因为 ②. 10 分
联立①②得: 12 分
的周长 . 13 分
16. 如图，在四棱锥 中， 为 中点， ， ， ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 底面 ，求直线 与平面 的夹角正弦值.
解: 证明: 取 中点 ,连接
在 中, 分别为 的中点, 为 的中位线. 1 分
四边形 为平行四边形 .3 分
平面
平面
平面 6 分
(2)在四边形 中作 于 于 ，如图 ，
四边形 为等腰梯形,
故
如图,以 为原点建立空间直角坐标系.
则 . 9 分
直线 的方向向量为 . 10 分
则 ,
设平面 的法向量 ,
则有
令 ,则 ,即 , 13 分
直线 与平面 的夹角为
,
即直线 与平面 的夹角正弦值为 .15 分
17. 已知等差数列 中,其前 项和为 ,且 ,数列 满足 .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
解: (1) 为等差数列,
解得: 4 分
当 时,有
两式相减得: 7 分
当 时, . 8 分
(2)由(1)知 ，
9 分
两式相减得:
. 14 分
. 15 分
18. 已知椭圆 离心率为 是椭圆 其中的一个顶点,直线 与椭圆 交于 、 两点, 是 轴上的一点,直线 分别与直线 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程坐标；
(2)当 ，求 的的取值范围；
(3)是否存在实数 ，使得 为定值，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解: (1)
椭圆 的标准方程坐标 4 分
(2)设 联立直线 与椭圆 的方程
. 6 分
易得,
设
则 8 分
10 分
(3)直线 方程为: ，联立
得:
同理可得: 点 ,
. 12 分
由(2)知: ,
15 分
要使 为常数
需要 ， 无解
不存在实数 ,使得 为定值... .17 分
19. 已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ;
(i) 求 的取值范围;
(ii)已知 ,且 恒成立,求 的取值范围.
解: (1) 当 时,
令
的单调减区间为 的单调增区间为 . . 4 分
(2)(i) ,即
. 5 分
令
在 单调递增,在 单调递减
时, 取极大值
.
. 8 分
由图可知,要使 有两个零点,
的取值范围为 9 分
(ii)由(i)知:
两式相减
得: 11 分
已知 ，两边取对数，即
化简得:
即: ,(*)代入
即:
即:
令 ,上式等价为:
即:
即:
令
令
① 当 时， ， ， ， 单调递减
注意到 ,矛盾
② 当 时， ， ， ， 单调递增
恒成立
综上所述: 的取值范围: ...

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