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数学
注意事项:
1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则
A. B. 3 C. D.
3. 已知向量 ，且 ，则
A. 2 B. 1 C. -1 D. -3
4. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍,则
A. B. C. 或 D. 或
5. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 甲、乙、丙等 7 位同学和 1 位老师共 8 人合形，已知老师的左边站 4 人，右边站 3 人，若甲和乙相邻，丙站老师的右边，则共有( )种不同的排法.
A. 528 B. 312 C. 264 D. 216
7. 已知函数 ,若 ,总存在唯一实数 ,使得 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知点 在曲线 上,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 有一组样本数据 ,由这组数据得到新样本数据 ,其中 ,则下列说法正确的是
A. 若样本数据 的极差为 ,则样本数据 的极差为
B. 若样本数据 的中位数为 ,则样本数据 的中位数为
C. 若样本数据 的平均数为 ,则样本数据 的平均数为
D. 若样本数据 的方差为 ,则样本数据 的方差为
10. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则
A. B. 为钝角三角形
C. 的面积为 4 D. 外接圆的面积为
11. 已知函数 的图象与直线 交于不同的三点 , ,且 ,则
A. 的图象关于点 中心对称 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左支交于 , 两点，若 ，则 的周长为_____.
14. 已知正方体 的棱长为 是侧面 上一动点 (包括边界),且 是棱 上一点，则当三棱锥 的体积最大时，线段 的长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取 70 名男生和 30 名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查(满分 100 分)，若分数为 80 分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表:
男生 女生 合计
了解 50 15 65
不了解 20 15 35
合计 70 30 100
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联
(2)从样本中的 70 名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取 7 人， 再从这 7 人中抽取 2 人进行调研，记抽出的 2 人中对“大语言模型”了解的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
。 2.706 3.841 6.635 10.828
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 ,等比数列 满足 .
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ， 分别是数列 ， 的前 项和， ，判断了 027 是否是数列 中的项.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱柱 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ， 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 是线段 上靠近 的三等分点,求直线 与平面 所成角的大小.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时,判断 的单调性,并求出 的极值;
(3)若 ，求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 的焦点为 为 上位于第一象限的点,过点 作 的切线与 的准线交于点 ,直线 与 交于 两点(点 在线段 之间),直线 为坐标原点) 与 交于另一点 ,直线 和 相交于点 . 当点 的纵坐标为 时,
(1)求 的方程；
(2)证明: 三点共线；
(3)若 的面积是 的面积的 25 倍，求点 的坐标.
1.B 已知全集 ，则 . 故选 B.
2. D 由题知 ，故 . 故选 D.
3. 由 ，知 ，解得 . 故选 D.
4.C ① 当椭圆的焦点在 轴上时， 解得 ；② 当椭圆的焦点在 轴上时,
5. A 因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递增, 则函数 在 上单调递增，即 解得 . 故选 A.
6. A 按照 的序号进行编号,老师的左边编号 ,右边编号 ,若甲乙站老师的左边,则安排情况为 ,共 3 种排法,甲乙可互换位置,丙排在右侧有 3 种排法,剩下的 4 人有 ! 和排法,因此甲乙站老师左边时共有 种排法; 若甲乙站老师的右边,则安排情况为 ,共 2 种排法,甲乙可互换位置,丙只有一种排法,剩下的 4 人有 种排法,因此甲乙站老师的右边时共有 种排法,所以不同的排法共有 种情况. 故选 A.
7. C 因为 ,所以 ,所以 ,则 . ,总存在唯一实数 ,使得 ,即 ,总存在唯一实数 ,使得 . 因为 ,所以 ,因为总存在唯一实数 ,使得 ,所以 ,即 . 故选 C.
8.B 由 ,得 ,所以曲线 是以点 为圆心,2 为半径的圆去掉 轴下面的部分. 表示点 到直线 的距离的 5 倍. 又点 到直线 的距离为 ，所以点 到直线 的距离的最小值为 ；点 到直线 0 的距离为 ,所以点 到直线 的距离的最大值为 ,故 的取值范围为 . 故选 B.
9. AC 若样本数据 的极差为 ,中位数为 ,平均数为 ,方差为 ,则样本数据 的极差为 ,中位数为 ,平均数为 ,方差为 正确, 错误. 故选 AC.
10. ABD 由余弦定理知 . 因为 ,所以 正确; 由余弦定理知 ,所以 为钝角三角形, B正确; 的面积 , C 错误; 因为 ，所以 外接圆的半径 . 所以 外接圆的面积为 . D 正确. 故选 ABD.
11. ABD 因为 ,所以 的图象关于点 中心对称, 正确; ,令 ,得 或 ; 令 0,得 ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,当 时, 取得极大值,极大值为 ; 当 2 时, 取得极小值,极小值为 ,作出函数 的大致图象, 如图所示，要使得函数 的图象与直线 交于不同的三点，则 ， 正确；令 ，解得 或 ; 令 ,解得 或 ,所以 . 令 ,则 的三个根分别为 ,则 ,即 的取值范围是 , 错误; . 因为 ,所以当 时, ,当 时, ,所以 的取值范围是 正确. 故选 ABD.
12. -1 由 ,知 . 又 ,所以 .
13. 34 由题知 ，由双曲线的定义，知 ， ，故 的周长为
14. 如图，以点 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,则 ,设点 的坐标为 ,则 ,由 ,得 ,整理得 ,其中 ,所以点 的轨迹为以点 为圆心, 为半径的圆在侧面 内的一段圆弧. 过点 作 ,因为 平面 ,所以 平面 ,即 平面 ,所以 为三棱锥 的高,所以三棱锥 的体积 . 因为 ,所以 ,所以当 时, 取最大值,最大值为 ,所以当 , 时,三棱锥 的体积取最大值,此时 .
15. 解:(1)零假设 ；对“大语言模型”的了解程度与性别无关联.
根据表中数据，计算得到 ， 3 分
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. 5 分
(2)由题知抽取的 7 名男生中，对“大语言模型”了解的有 人，
对“大语言模型”不了解的有 人， 7 分
则再从这 7 人中选取 2 人, 的可能取值为 0,1,2,
10 分
所以 的分布列为
0 1 2
11 分
数学期望 . 13 分
16. 解:(1)设 的公差为 ，由题知， ，即 ，解得 ， 2 分
所以 . 3 分
设 的公比为 ,则 ,所以 ,解得 , 5 分
所以 . 6 分
(2)由(1)知 ，
所以 , 10 分
所以 ,易知数列 是递增数列. 12 分
又因为 , 14 分
所以不存在 ,使得 ,即 2027 不是数列 的项. 15 分
17.(1)证明:因为底面 是正方形， 是 的中点，所以 . 1 分
因为 底面 平面 ,所以 . 3 分
又 平面 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
7 分
设平面 的法向量为 ,
则 取 ,得 ,则 . 9 分又 ,
所以 . 11 分
设直线 与平面 所成的角为 ,则 . 14 分
因为 ,所以 ,即直线 与平面 所成的角为 . 15 分
18. 解: (1) 当 时, , 1 分
则 , 2 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 . 3 分
(2)由(1)知 .
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增. 5 分
又 ,所以当 时, ,即 单调递减; 当 时, ,即 单调递增, 7 分
所以当 时, 取得极小值 . 8 分
(3) ,即 恒成立,等价于 恒成立,
即 恒成立. 9 分
令 ,令 ,
易知 在 上单调递增,且 ,
所以存在 ,使得 ,即 . 12 分
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,
所以 . 14 分
又 在 上单调递减,所以 .
即 ,所以 , 16 分
又因为 ,所以 的最大值为 2 . 17 分
19.(1)解:由题知,点 ,点 ,由 ,得 , 2 分解得 ,
故 的方程为 . 3 分
(2)证明: 由(1)知 的准线方程为 ，焦点 .
设点 , (其中 且 ),则直线 的方程为 ,整理得
联立方程 消去 后整理得 .
由直线 与 相切,知 ,所以 ,直线 的方程为 .
由点 在直线 上,知 . 4 分
由直线 的方程为 ,联立方程 得点 的坐标为 . 5 分
设 ,直线 的方程为 ,整理得 .
联立方程 消去 后整理得 ,所以 . 6 分直线 的方程为 ,又 ,所以直线 的方程为 .
又 ,所以直线 的方程为 . 7 分
直线 的斜率为 ,
直线 的方程为 ,整理得 ,
联立方程 解得 .
由 ,得 ,
所以点 的坐标为 . 9 分
直线 的斜率 ,
直线 的斜率 ,
所以 ,所以 三点共线. 10 分
(3)解:由(2)知联立直线 与 的方程消去 . 后整理得 ，
代入 ,得 ,整理得 ,
即 ,解得 或 . 11 分
将 代入直线 的方程 ,得 .
所以直线 的方程为 . 12 分
将 代入直线 的方程,得 .
将 代入直线 的方程,得 . 13 分
又 且 ,所以 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .
故
16 分
由 的面积是 的面积的 25 倍,知 ,解得 或 ,
所以点 的坐标为 或 . 17 分

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