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高 2026 届适应性训练试题 数 学
全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。
2. 选择题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。
3. 非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。
4. 考试结束后,监考人员将答题卡收回。
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 设 为虚数单位,若 ,则复数 的虚部为
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2. 已知全集 为整数集合,若集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则双曲线 的焦距为
A. 4 B. 5 C. 9 D. 10
4. 记 为等比数列 的前 项和,若 ,则
A. 16 B. 18 C. 24 D. 32
5. 林林是一名大学生返乡创业者，带领自己的助农直播团队通过线上平台销售家乡特色血橙. 团队对销售数据和促销方案进行了分析，发现血橙日销售量 (吨) 与直播时长 (小时)之间存在较强的线性相关关系. 现抽取五场直播数据, 根据下表样本数据:
2 3 4 5 6
2 4 6 8.5 11.5
得到的线性回归方程为 ,则
A. B.
C. D.
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知 的外接圆圆心为 ,且 ,则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
8. 南宋数学家杨辉善于利用已知几何图形的面积、体积来计算离散量 “垛积问题”. 如图是 3 个由正方体堆积而成三角垛,按此规律,在第 个三角垛中正方体的总个数为 . 设每个三角垛中的每个正方体的棱长均为 1,把若干个三角垛拼接成一个直棱柱 (可重复使用同一三角垛),该直棱柱底面积为 ,高为 ,且 ,则该直棱柱的体积可表示为
①
②
③
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符 合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B. 若 ,则
C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 中心对称
10. 在平行六面体 中, ,则
A.
B. 平面
C.
D. 三棱锥 的外接球表面积为
11. 现有一枚正 面体形状的骰子 ,各面编号依次为 . n.- 下列正确的是
A. 若随机掷一次该骰子,等可能地出现各个编号,则出现编号为 1 的概率为
B. 若 ,随机掷一次该骰子,等可能地出现各个编号,现独立的先后掷骰子,记事件 为 “第一次出现的编号为偶数”,事件 为“两次出现的编号和为 9 ”,则
C. 若随机掷一次该骰子出现编号为1、2、3、 、 的概率依次成等差数列，且随机掷该骰子出现编号为 1 的概率为 ,则掷该骰子出现编号为 的概率也为
D. 若 ，随机掷一次该骰子出现编号为 1、2、、、...、12 的概率依次成等差数列，现独立的先后掷骰子,两次得到的编号分别记为 和 ,且事件 “ ” 发生的概率为 , 则事件“ ”发生的概率为
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中， 的系数为_____.
13. 一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心的轨迹方程为_____.
14. 若 是函数 的一个零点,则 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
中国 大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段. 为了解中国 大模型用户的年龄分布, 公司调查了 200 名中国 大模型用户,统计他们的年龄 (都在 [15, 65]内,按照 、 进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值；
(2)现要再对关于“ 大模型的使用体验”进行问卷调查， 如果按照年龄进行分层抽样, 要抽取一个容量为 20 的样本,则年龄在 15,35 内的用户要抽取多少人
(3)估计这 200 名中国 大模型用户年龄的平均数(各组数据以该组区间的中点值作代表).
16. (本小题满分 15 分)
如图，EA 和 都垂直于平面 ，且 ， 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 是边长为 2 的等边三角形，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
在 中，角 所对的边是 .
(1)写出正弦定理并证明；
(2)如图，若 ， 是 内一点， ， ， ， ，求 的面积.
18. (本小题满分 17 分)
已知曲线 的方程为: 为常数,斜率为 的直线 过点 .
(1)若 ，抛物线 上一点 ，点 为焦点，求 的值及线段 的长；
(2)若 ，直线 与曲线 有三个不同的交点，求 的取值范围；
(3)若实数 、 满足: 且 ，设直线 与曲线 有三个不同的交点 ， ， 2,3,求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底数，
(1)当 时
① 求函数在 处的切线方程；
② 证明: ;
(2)若函数 有零点，求 的取值范围并证明函数 的零点是唯一的.
高 2026 届适应性训练试题 数学答案及评分意见
一、单选题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. C 3. D 4. C 5. C 6.D 7. B 8.B
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. AC 10. BCD 11. ACD
三、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. -80
13.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)由频率分布直方图得所有矩形面积和为 1
即
解得 4 分
(2)年龄在 内的频率为
则抽取的样本中该区间人数为 人 8 分
(3)设这 200 名中国 大模型用户年龄的平均数为
由频率分布直方图计算平均数
即 (岁)
故这 200 名中国 大模型用户年龄的平均数为 37.5 岁 13 分
16. 解:(1)证明:取 的中点 ,连接 2 分 是 的中点,
和 都垂直于平面
4 分
四边形 为平行四边形,从而 5 分
平面 平面
平面 7 分
(2) 是正三角形且 是 的中点
以 为 轴, 为 轴, 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 9 分
,则
设平面 的法向量
则 ,得 12 分
又平面 的法向量 13 分
设平面 与平面 所成夹角为 ,则
平面 与平面 所成夹角的余弦值为 15 分
17. 解: (1) 正弦定理为:
证明法 1: 见教材必修二第六章 46 页的向量法证明
证明法 2: 如图,设 外接圆的直径为
①当 为锐角三角形时， 的外接圆圆心 在 内部连接 并延长交圆于 ,连接 ,则
易知 为直角三角形,则
所以 ,同理
故有 5 分
② 当 为钝角三角形时， 的外接圆圆心 在 外部连接 并延长交圆于 ,连接 ,则
同理易知 为直角三角形,则
所以 ,同理
故有
当 为直角三角形时,由锐角三角函数定义知 综上,任意 外接圆的直径 ,都有 8 分
(2)在 中，由正弦定理得 ，则 10 分
于是由 为锐角知 11 分
又因为 ,得 12 分
在 中,由余弦定理知
即 ,得 14 分
所以 15 分
18. 解: (1) 当 时,曲线 的方程为:
由抛物线 上有一点 ,知 2 分
则抛物线 为 ，焦点 的坐标为
由抛物线定义知 4 分
(2)当 时,曲线 的方程为
曲线 由 轴负半轴及抛物线 构成,要使直线 与曲线 有三个不同的交点,必有 6 分由直线与 轴负半轴有一个交点知直线与抛物线 必有两个交点
联立 ,消去 得:
则 ,得
因此 的取值范围为 9 分
(3)曲线 的方程为
由 且 ,可得 10 分
因此
要使直线 与曲线 有三个交点,分以下两种情况讨论:
情况①:直线 与 相切，与 相交于两点
此时 11 分
由 (2) 知,直线 与 相切时, ,不妨设切点横坐标为
由 是方程 的根,即
联立 ,消去 得:
将 代入,得:
不妨设直线 与 相交的两点的横坐标分别为
由韦达定理:
则
由 ,得 14 分
情况②:直线 与 相交于两点，与 相切
此时
联立直线 与 ,得
由相切知
由 ,得 ,即
不妨设直线 与 的切点的横坐标为
由韦达定理知 ,故 ,因此
联立直线 与 ,得
设直线 与 相交的两点的横坐标分别为
则 ,知
由 ,得
综合①②两种情况， 的取值范围为 17 分
19. 解: (1) 当 时,
①因为
所以函数在 处的切线斜率为 3 分
由 ,
知函数在 处的切线方程为 5 分
②因为 ，所以
令 ,得 ,
于是 在 单调递减,在 单调递增
由
知存在唯一零点 使得
即 在 单调递增,在 单调递减,
而
所以 在区间 内恒成立,得证 10 分
(2)当 时，
由②知 ，即此时 无零点
当 时，
令
由 在 单调递增,且
所以存在唯一零点 使得 ,则 在 单调递减, 单调递增
而 ,所以 ,知 ,即此时 无零点 13 分
下证: 当 时, 在区间 内有零点,并且零点是唯一的
,故
又 ,得 ,
于是 在区间 内单调递增,有唯一零点 为 的最小值点,
即
我们断言: ,否则 ,从而 在区间 上单调递增,与 矛盾,现列表如下:
0 1
- 0 + +
+ 单调递减，正变负， 有唯一零点 - 单调递增,负变正, 有唯一零点 +
再列表如下:
0 ( ) 1
+ + 0 - 0 + +
0 单调递增, + + 单调递减，正变负， 有唯一零点 - 单调递增, - 0
综上, 在区间 内的零点是唯一的 17 分

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