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高三 4 月 23-24 日数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
A. B. C. D.
2. 若集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知向量 ,若 ,则
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则
A. 3 B. 5 C. D.
5. 现要把 6 个不同的苹果平均地分装入 3 个不同的盒子中. 这 6 个苹果中有 4 个是一级果,2 个是二级果,则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为
A. B. C. D.
6. 设数列 的前 项和为 ,若 且 ,则
A. 1 012 B. 1 013 C. 2 024 D. 2026
7. 若函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知抛物线 的焦点为 ，过 上一点 作 的切线 ，再过点 作 的垂线与 轴交于点 ,若 ,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 2026 年 F1 中国大奖赛上海站正赛于 3 月 15 日圆满落幕. 已知某车手在比赛中单圈的完成时间 (单位:s) 服从正态分布 ,则下列说法正确的是
附:若 ,则 .
A. 该车手单圈完成时间的均值为 94 秒，标准差为 4 秒
B. 该车手单圈完成时间在 秒内的概率约为 0.6827
C. 该车手单圈完成时间在 秒内的概率约为 0.9545
D. 该车手单圈完成时间超过 102 秒的概率约为 0.022 75
10. 已知双曲线 关于 轴、 轴均对称,若 过点 ,则 的离心率可能为
A. B. C. D.
11. 对于由 个正整数组成的集合 ,设 为集合 中所有元素的和,定义: 若对任意不大于 的正整数 ,都存在 的子集 ,满足 ,则称集合 是 “完全集合”. 下列说法正确的是
A. 是完全集合
B. 对于确定的正整数 ,能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的
C. 若 ,则 是完全集合
D. 若 是完全集合，且 ，则 中的元素个数的最小值为 10
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的值域为_____.
13. 已知曲线 和 ,从曲线 上一点 分别向 轴与 轴引垂线，分别交曲线 于点 和 ，则点 到直线 距离的最大值为_____.
数学 第 2 页(共 4 页)
14. 如图,水平地面 上垂直立着一块木板 ,木板上有一个椭圆形的洞,木板一侧有一个点光源 ，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑 (即圆 )，点 在地面上的射影为 与 交于点 . 若 ,且 ,圆 的半径为 , 则木板上椭圆形洞的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
记数列 的前 项和为 ,已知 ,且 是公差为 的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
16. (15 分)
如图，在三棱锥 中， ， 是棱 的中点.
(1)求证: ；
(2)若平面 平面 ，且 的面积为 ，求二面角 的余弦值.
17. (15 分)
设函数 .
(1)若 ，证明: 在区间 上有一个极大值点和一个极小值点；
(2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
18. (17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 .
(1)求 的方程.
(2)记 的左、右焦点分别为 ，设斜率不为 0 的直线 与 交于 ， 两点( 在 左侧),满足直线 的斜率互为相反数.
( i )设 交 轴于点 ，且 的面积与 的面积相等，求 的方程；
(ii) 若直线 与直线 交于点 ,求点 的轨迹方程. (求出方程即可,不用说明范围)
19. (17 分)
某短视频平台有两位博主甲和乙. 初始时,关注甲的粉丝有 人,关注乙的粉丝有 人. 平台有如下的推流机制:每天，平台从甲和乙中随机选取一位博主，通过推流使其增加 个粉丝，选中甲和乙的概率之比等于其当前的粉丝数量之比. 假设每天的选择相互独立，且不考虑粉丝流失. 设经过 天后,关注甲的粉丝数为 .
(1)若 ，求 的分布列及数学期望 ；
(2)设事件 表示“在 天中，特定的 天选中甲，其余 天选中乙”，试说明无论选中甲的是哪 天, 的值都相等,并求 的表达式;
(3)求 的分布列与数学期望 . (用 表示)
可能用到的结论: 设 为随机变量,有 .
高三 4 月 23-24 日数学 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案
.
2. 答案
由题意得 ,因此 .
3. 答案
由题意知 ,由 ,得 ,即 ,解得 .
4. 答案
,由余弦定理得 ,即 ,解得 (负值舍去).
5. 答案 D
由题可知不同装法的总数为 ,事件 : “恰好有一个盒子中均为一级果” 对应的装法数为 ,因此事件 发生的概率 .
6. 答案 C
由题意可知 的奇数项依次为 ,偶数项依次为 ,所以 ,又 ,所以 ,故 的偶数项依次为 ,即 ,因此 .
7. 答案
由于 单调递增,所以 . 在分段处,函数值 ,因此只需 时, 且单调递增即可, 在 处取得最大值,因此只需 且 ,解得 ,即 的取值范围为 .
8. 答案
如图,不妨设点 在第一象限,过点 作 轴的平行线 ,根据抛物线的光学性质,直线 与 关于直线 对称,所以 ,进而 ,所以 是边长为 8 的等边三角形,可得点 的横坐标为 ,将抛物线方程写成 ,则 ,当 时, . 另一方面由 ，可得 的倾斜角为 ，即 ，得 .
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 ABD
已知 ,则 .
对于 ,均值为 94,标准差为 4,符合参数定义,故 正确;
对于 ,从而 ,故 正确;
对于 ,从而 ,故 错误;
对于 ,故 正确.
10. 答案 ACD
若焦点在 轴上,设双曲线方程为 ,代入 ,整理可得 ,所以 ,从而离心率 ; 若焦点在 轴上,设双曲线方程为 ,代入 , 整理可得 ，所以 ，从而离心率 . 综上可知 .
11. 答案 ABC
对于 ,容易验证, 都可以被 中的元素及其和覆盖到,符合完全集合的定义,故 正确;
对于 ,根据完全集合的定义,必存在 ,则 ,要使 中元素从小到大成等差数列,只能是 ,因此这样的完全集合是唯一的,故 B 正确;
对于 ,设 中的元素从小到大依次为 ,由于 ,而 ,所以 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,因为 ,所以 ,易知该集合是完全集合,故 正确;
对于 ,要使完全集合 的元素尽可能少,需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数,设 中的元素从小到大依次为 ,最优的策略: 令 ( 表示前 项和),即 , ,此时 ,即只有 10 个元素不满足条件,只需再加上 1003,即 ,此时有 ,且 都可以被 中的元素及其和覆盖到,因此 中的元素最少有 11 个,故 错误.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案
,令 ,则 ,则 的值域为 .
13. 答案 1
命题透析 本题考查用解析法求点到直线的距离.
解析 如图,设 ,则 ,则 ,可知 到直线 的距离 即 的 边上的高. 因为 (当且仅当 时取等号),所以 .
14. 答案
如图 1,在竖直平面 内,由相似关系可得 ,代入已知数据,得 ,所以椭圆形洞的高为 . 如图 2,在俯视图中 是 的中点,所以椭圆形洞的宽为 . 故在椭圆中, ,所以离心率
图1
图2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由题意知 ,所以 ,即 , (2 分)
将 替换为 ,得 ,
两式相减,得 . (4 分)
所以 ,
所以 . (7 分)
(2)由(1)知 ， (9 分)
所以 ,
(13 分)
16. (1) 由于 为 的中点, ,所以 , (1 分)
又 平面 ,从而 平面 , (3 分)
而 平面 ,因此 ,
结合 为 的中点,因此 . (5 分)
(2)由(1)可知，二面角 的平面角为 ，所以 . (6 分) 又 ,设 ,则 ,
又 ,所以 ,
解得 或 . (8 分)
由对称性,不妨取前者,以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ,如图所示, (9 分)
从而 .
设平面 的法向量为 ,
则 得 取 . (12 分)
易知平面 的一个法向量为 ,
设二面角 为 ,
易知 ,故 . (15 分)
17. (1) 当 时, ,则 , (1 分) 记 的导数为 ,则 ,
由于 与 在区间 上均单调递减,因此 在 上单调递增, (2 分)
又 ,因此存在 ,使得 ,
且 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. (4 分)
又 ,
所以 在 上有一个零点 ,在 上有一个零点 ,
可得 在区间 上单调递增,在 上单调递减, (6 分)
因此 在区间 上存在一个极大值点 ,一个极小值点 . (7 分)
(2)由题意可知 <0，
令 ,则 ,
① 当 时， ， ，
记 的导数为 ,则 ,
所以 在 上单调递减,所以 ,所以 在 上单调递减.
要使 在 上恒成立,只需要 ,所以 . (11 分)
② 当 时， ，
设 ,则 ,
当 时, 单调递减,所以 ,即 ,
又 ,所以 ,符合题意. (14 分)
综上, 的取值范围是 . (15 分)
18. (1) 设 的半焦距为 .
由已知可得 ,因此 , (2 分)
又 过点 ,所以 , (3 分)
解得 ,
因此 的方程为 . (4 分)
(2)(i)由(1)知 .
设 ,直线 ,
联立 与 的方程可得 ,
,即 ,
从而 . (5 分)
因为直线 的斜率互为相反数,即 ,可得 ,
即 , (7 分)
整理得到 ,又 ,从而 ,即 . (8 分) 由 的面积与 的面积相等可得 ,
所以 ,
得 ,联立解得 , (10 分)
故 的方程为 ,即 . (11 分)
(ii) 设 ,
则 (13 分)
可得 ,得 ,代回上面的方程组,可得 ,即 . (15 分) 将 的坐标代入 的方程,得 ,整理得 ,
即点 的轨迹方程为 . (17 分)
19. (1) 由题可知 的所有可能取值为2,3,4.
因此可知 , (3 分)
从而 . (5 分)
(2)不妨先考虑前 天均选中甲，记 为第 天甲被选中，则
后 天选中乙,设第 天选中乙为事件 ,则
则
(8 分)
无论哪 天选甲,上式分子中甲的部分总是 ,分子中乙的部分总是 ,分母总是 .
因此,无论选中甲的是哪 天, 的值都相等,
其表达式为 . (10 分)
(3)经过 天后,若甲被选中 次 ，则 ，
甲被选中 次的情况共有 种,由 (2) 知,每一种甲被选中 次的事件发生的概率均为 ,
分布列为
当 时, .
当 时, .
当 时,
(13 分)
若 天后,甲的粉丝数量为 ,则第 天甲有 的概率增加 个粉丝,
所以 ,
所以 ,
其中 表示初始粉丝数量,即 ,
累乘,得 . (17 分)

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