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2023 级高三模拟考试 数 学
考生注意:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束, 将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, . 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 某校学生会依据本校高三男生的身高(单位:cm)与体重(单位: )的抽样数据， 运用电子办公软件求出了 “体重” ( ) 关于 “身高” ( ) 的回归方程，则该回归方程
A. 表示 与 之间的函数关系
B. 表示 与 之间的不确定关系
C. 反映 与 之间的真实关系
D. 反映 与 之间的真实关系的一种最佳拟合
3. 已知函数 为 R 上的偶函数，且满足 ，当 时， ， 则
A. B. 1 C. D. 2
4. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6、将直线 绕点 逆时针旋转 ( 为锐角，其中 )后所得直线方程为
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左右焦点分别为 , 为双曲线的左顶点,以 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 两点,且 ，则该双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
8. 已知正四面体 的棱长为 ，用满足 的动点 构成的平面截正四面体 ,所得截面多边形的周长为
A. 4 B. 8 C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 为复数 ( 为虚数单位),下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ，则
10. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,若 是 的一个单调递增区间,则
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 函数 的最大值为 1
D. 方程 在 上有 5 个实数根
11. 对于无穷数列 ,若存在常数 ,使得对任意的 ,都有不等式 成立,则称数列 具有性质 . 则下列结论正确的是
A. 存在公差不为 0 的等差数列 具有性质
B. 以 1 为首项, 为公比的等比数列 具有性质
C. 若由数列 的前 项和构成的数列 具有性质 ,则数列 也具有性质
D. 若数列 和 均具有性质 ,则数列 也具有性质
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 分别为 的三个内角 的对边,若 , ,则角 _____.
13. 已知关于 的方程 的两根在复平面 上对应的点分别为 和 ,若 是等边三角形,则 _____.
14. 已知正实数 满足 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
15.(13分)
如图 1，在边长为 2 的正方形 中， ， 分别为线段 ， 的中点，现将四边形 CDFE 折起至 MNFE，得到三棱柱 ，如图 2，记二面角 的平面角为 .
(1)若 ，求三棱柱 的体积；
(2)若 ， 为线段 上一点，满足 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
图1
图2
16.(15分)
已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 是公差为 2 的等差数列,且 . 若将数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ,求 的值.
17. (15 分)
某电台举办有奖知识竞答比赛, 选手答题规则相同. 甲每道题自己有把握独立答对的概率为 ,若甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为 ,假设每道题答对与否互不影响.
(1) 当 时,
(i) 求甲答对某道题的概率;
(ii) 甲答丁 4 道题,计甲答对题目的个数为随机变量 ,求随机变量 的分布列和数学期望 ;
(2)已知乙答对每道题的概率为 (含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 ,求甲的亲友团每道题答对的概率 的最小值.
18.(17分)
已知抛物线 ，点 在抛物线 上.
(1)证明:以点 为切点的 的切线的斜率为 ；
(2)过 外一点 (不在 轴上)作 的切线 ，切点分别为点 ， 作平行于 的切线 ,切点为点 ,点 分别是切线 与 的交点， 设 的中点为 (如图所示).
(i) 证明: 三点共线；
(ii) 过 外一点的两条切线及第三条切线 (第三条切线平行于两切线切点的连线) 围成的三角形叫做“切线三角形”，如 . 设 . 面积为 ，第1次由点 作切线三角形 ，第 2 次分别由点 作切线三角形 ，并依此方法重复 次，记所得所有 “切线三角形” 的面积之和为 . 判断 与 的大小关系并证明.
19.(17分)
已知函数 定义域为 . 若存在 ,对任意 ,当 时, 都有 ,则称 为 在 上的 “凸点”.
(1)求函数 在 上的最大 “凸点”；
(2)若函数 在 上不存在 “凸点”,求 的取值范围;
(3)设 ，且 . 证明: 在 上的 “凸点” 个数不小于 .
2023 级高三模拟考试 数学答案
2026.04
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1-4 DDCA 5-8 DACC
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.AC 10.ABD 11.BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 13. 14.
15. ( 1 )翻折前，在图 1 中，因为四边形 为正方形，所以 ， ， ， 因为 、 分别为 、 的中点，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，且 ， 因为 ,所以 ,翻折后,在图 2 中, ,
所以二面角 的平面角为 , 3 分
因为 平面 ,所以 平面 , 4 分
当 时,即 ，且 ，则 ， 5 分
所以三棱柱 的体积为 . 6 分
(2)因为 平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 ， 轴，
过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 7 分
则 , 8 分
设点 ,其中 ,
因为 ,则 ,解得 : 9 分则点 ， ，
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,取 , 11 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 , 因此直线 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16.(1)因为 成等差数列，所以 ，①，所以 ，②
由①-②，得 ，于是 3 分.
又 ,所以 ,所以 , 4 分
因此,数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 5 分
所以 ,即 . 7 分
(2)因为数列 是公差为 2 的等差数列， ，
所以, ,解得 . 8 分
因此, . 8 分
又
,
所以 13 分
15 分
17.(1)(i)记事件 为“甲答对了某道题”，事件 为《甲自己答对”，
又因为 ,故 , 3 分
(ii) 可能取值为0,1,2,3,4,甲答对某道题的概率 ,
则 , 4 分
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4
16 625 96 25 216 625 216 625 81 625
7 分
数学期望 . 8 分
(2)记事件 为“甲答对了 道题”,事件 为“乙答对了 道题”,其中甲答对某道题的概率为 ， 答错某道题的概率为 , 9 分
则 , 10 分 11 分
所以甲答对题数比乙多的概率为:
13 分
,
解得 ,甲的亲友团助力的概率 的最小值为 . 15 分
18.(1) 由于 ,故以 为切点的 的切线斜率存在且不为 0,
设以 为切点的 的切线方程为 ,
代入 ，得 ，即 ， 2 分
所以 ,即 ,故 ,
所以以 为切点的 的切线斜率为 ; 4 分
(2)(i)设 ，由 (1)
因为 ,所以 ,故 ,
所以 , 6 分
切线 方程为 ,即 ,同理切线 方程为 ,
联立两直线解得 ,所以 8 分
因为 为 的中点,所以 ,所以 三点的纵坐标相等
所以 三点共线. 9 分
(3) 与 的大小关系为 10 分
,将 代入 方程得 ,
所以 ,
所以 为 的中点， 为 的中位线 12 分
设 . 所以 ,同理 .
这就表明,不断作 个切线三角形中,第 次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第 次作的切线三角形的面积的 . 14 分
而 ，所以第 次作的切线三角形的面积均为 .
由于第 次作的切线三角形的个数为 ,
故
,结论得证. 17 分
19.【详解】(1) 由 ,可得: , 当 或 时, ,当 时, ,所以函数在 和 上单调递增,在 上单调递减, 故 的极大值为 ，极小值为 ， 2 分又因为 ，所以对 ，当 时，都有 ， 即 在 上的最大 “凸点” 为 5 . 4 分
( 2 )因为函数 在 上不存在 “凸点”,
所以 在 时恒成立, 5 分
,令 ,
则 , 6 分
① 当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
则 ,
故 在 上单调递减,此时 ,符合要求; 7 分
② 当 时,令 ,则 ,
(i) 当 ,即 时, ,即 在 上单调递增,
则 ,即 在 上单调递增,
有 ,不符合要求,故舍去: 8 分
(ii) 当 ,即 时, 恒成立,故 在 上单调递减,
则 ,故 在 上单调递减,此时 ,符合要求; 9 分
(iii) 当 ,即 时,
若 ,若 ,即 在 上单调递减,在 上单调递增,
则若需 恒成立,有 ,解得 ,
因为 ,且 ,
即当 时,符合要求; 综上所述, ; 11 分
(3)若 在 上的 “凸点” 个数为 0，则 ，符合要求； 12 分
若 在 上的 “凸点” 个数为 ,令 在 上的 “凸点” 分别为 ,
其中 ,
若 ,则
若 ,由 ,则 ,即 ,
若 ,由题意 ,
故 ,即 ,又 ,故 ,符合要求: 13 分
若 ,则 ,
由 ,则 ,
若 ,即 ,则 ,
若 ,由题意 ,且 ,
又 ,故 ,
即 ,
即有 ,即 ,
由 ,故 ,又 ,故 ,
即 在 上的 “凸点” 个数不小于 . 17 分

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