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聊城市 2026 年高考模拟试题 数 学(二)
注意事项:
1、本试卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟。答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上.
2. 回答选择题时,选出每小题的答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 设复数 ,则
A. B. C. D.
3. 已知直线 ，且 ，则 与 的距离为
A. B. C. D.
4. 已知正数 满足 ,则下列说法正确的是
A. B. C. D.
5. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，与 交于 ， 两点，线段 的中点为 , 的垂直平分线交 轴于 ,则 的值为
A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 2 或 4
6. 已知 ,且满足 ,则 的最大值为
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
7. 已知 ,函数 在区间 内恰有三条对称轴和两个极大值点,则
A. B.
C. D.
8. 数列 共有 10 项,其中 ,且 , 则满足这种条件的不同数列 的个数为
A. 2 B. 20 C. 84 D. 120
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将 120 名高血压患者按年龄分为“中青年组(<60岁)”和“老年组(≥60岁)”，记录用药后的疗效(“有效”“无效”)， 得到如下列联表:
患者 疔效 总计
有效 无效
中青年组 10 40 50
老年组 40 30 70
总计 50 70 120
附: ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
则下列说法中正确的有
A. 若在 “老年组” 中按疗效分层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，则至少抽到 1 名“无效”患者的概率为
B. 从所有患者中随机抽取 1 人,设事件 “该人在中青年组”,事件 “该药对此人有效”,则事件 与 相互独立
C. 根据小概率值 的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 5%
D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为 15，“中青年组无效”的人数改为 35，则所得 值比原 值大
10. 设函数 ,则
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 当 时,方程 在区间 上所有实根的和为
11. 已知棱长为 2 的正四面体 为 的中心， 为平面 内的动点， 为棱 上一动点,则下列说法正确的是
A. 若 平面 ,且 ,则 的最小值为
B. 若 ,且 ,则 的最小值为
C. 若 ,则 的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的单调递减区间为_____.
13. 如图，线段 ， 和 为其三等分点， 为半圆 上一动点、 为等边三角形，则 和 面积之和的最大值为_____.
14. 已知 ， ，动点 满足:以 为直径的圆与圆 相切，若 的外接圆的面积是其内切圆面积的 16 倍,则 的面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程、演算步票.
15.(13分)
某夏令营在 区域内活动，三个内角满足 .
(1)求 的最小值；
(2)夏令营活动组织者要求在 点集合，设小明从 点出发准时到达 点的概率为 ， 小红从 点出发准时到达 点的概率为 ,两人是否准时到达 点互不影响,已知两人中有且仅有一人准时到达 点的概率为 0.52,至少有一人准时到达 点的概率为 0.76, 求 的值.
16.(15分)
已知双曲线 的渐近线方程为 ,过点 且与 轴不重合的动直线 交 于 两点,当 与 轴垂直时, .
(1)求双曲线 的方程；
(2)在 轴上是否存在一定点 ，使 为定值，若存在，求出 的坐标及 的值；若不存在，说明理由.
17. (15分)
在梯形 中， 分别是 的中点， 4，如图 1 所示. 沿 将梯形 折起，得到一个多面体 ，如图 2 所示.
(1)求证: 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ,
(1)求多面体 的体积；
(II)求直线 与平面 所成角的正弦值.
图1
图2
18.(17分)
记数列 的前 项和为 ,若满足 ,且 .
(1)求证: 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
19.(17 分)
设函数 ，
(1)若 有极值点，无零点，求 的取值范围；
(2)若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围；
(3)设 ，若方程 有两个实数根 ， ，且 ，
求证: ,且 .
聊城市 2026 年高考模拟 数学(二)参考答案及评分标准
一、选择题
1-4 ABAD 5-8 BDCC
二、选择题
9. AC 10. BCD 11. ABD
三、填空题
12.(0，1)
13. 14.
四、解答题
15. 解:(1)设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
由 ，根据正弦定理，得 ，即 ， 1 分
由余弦定理,得 , 2 分
因为 ,所以 , 4 分
当 ,即 时,上式等号成立,
此时, ,于是 , 6 分
因此, 的最小值为 . 7 分
(2)设事件 “小明准时到达 点”,事件 “小红准时到达 点”,则 , .
由题意 ,即 ,
化简,得 .①9 分
,即 ,
化简,得 ,②11 分
由①②，得 ， ，
所以 .
故 的值为 0.2 . 13 分
16. 解: (1) 由 的渐近线方程为 ,得 ,① 1 分
由 ,根据双曲线的对称性,不妨设 ,则 ,② 3 分由①②，得 .
所以双曲线 的方程为 . 5 分
(2)设直线 的方程为 ，
将 的方程代入双曲线方程 ，得 ，
,且
设 .
由韦达定理,得 . 8 分
假设存在 满足题意，
则
, 11 分
要使 为定值，则上式需与 无关，
则 ,解得 , 13 分
此时 .
所以存在点 使得 为定值,定值为 . 15 分
17. 解: (1) 证明: 因为 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 , 2 分
因为 平面 平面 ,
所以 平面 . 4 分
(2)取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，
,所以 ,
所以 为二面角 的平面角, .
由(1)知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ,所以 .
在 中,由 ,
得 ,并可得 是等边三角形. 7 分
(1)连接 ， ，取 中点 ，连接 ，因为平面 平面 ，可证 平面 .
多面体 的体积
. 10 分
(ii)以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴,过 与 平行的直线为 轴,建立如图的空间直角坐标系,则 , . 11 分设 为平面 的法向量,由 得
令 ,则 ,则 , 13 分
设 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 证明: 由 ①
得 ,②
②-①得 ,③
则 ,④ 2 分
④ 一③得 ，
所 是等差数列. 4 分
由 ,得 ,
所以 . 5 分
因为 ,所以公差 ,
所以 . 7 分
(2)解: 9 分
所以 . 11 分
由 对 恒成立,
得 ,即 . 12 分
设 ,由 对 恒成立,
得 解得 或 ,
故 的范围为 . 15 分
19. ( 1 )解:
当 时， ， 无极值点. 1 分
当 时,令 ,得 ,
因为对于 ,对于 ,
所以 是 的极小值点. 3 分
这时 的值域为 .
由 无零点得 ,解得 .
综上, 的取值范围为 . 5 分
(2)由 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线,得 使
当 ,则 ,不符合题意. 6 分
当 时, 在 上单调递增.
所以 在 内的域值为 8 分
所以,由题意可得 ,解得 ,
因此, 的取值范围为 . 10 分
(3)设 ，则 ，
因为 ,所以 .
当 时, 在 上单调递增. 不合题意,所以 . 12 分
由 ,得 .
设 ,则 ,
因为 ,所以 在 上单调递增.
又因 ,所以 , 13 分
所以 ,所以
,
. 14 分
设 ,则 ,
因为当 时, ,所以 在 上单调递减,
又因为 ,所以当 时, ,
即 . 15 分
因为 ,所以 ,即 ,
又因 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,
所以 . 17 分

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