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2026 年全国高考数学模拟卷
(总分 150 分, 考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟, 试卷满分 150 分, 考试形式闭卷.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置, 否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则
A. B. C.. {1} D.
2. 若向量 满足 ，则 在 上的投影向量是
A. B. C. D.
3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 (单位: )与水生植物的株数 (单位:株)之间的相关关系,收集了 4 组数据,用模型 去拟合 与 的关系. 设 与 的数据如表格所示,得到 与 的线性回归方程 ,则
3 4 6 7
二 2 2.5 4.5 7
A. -2 B. -1 C. D.
4. 制造一个三角形支架 (如图),要求 的长度大于 2 米,且 比 长 1 米,为了增加稳定性,要求 尽可能短,则 最短为
A. 米 B. 4 米 C. 米 D. 米
5. 设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定成立的是
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 ，过其右焦点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，取 点关于 轴的对称点 ,若 点为 的外心,则
A. B. C. D. 以上都不对
7. 平面 与长方体的六个面所成的角分别为 ,则 的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8. 已知各项均为正数的数列 ,其中 , 是正整数, 是实数. 若对任意 ,存在以 为边长的三角形,则满足条件的 的个数为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 不选或有选错的得 0 分.
9. 若复数 , i 为虚数单位,则下列说法正确的有
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 若复数 满足 ，则 的最小值为
10. 已知函数 的图象在 内不存在对称中心，则 的取值可以是
A. B. C. D. 1
11. 已知曲线 ,则下列说法正确的有
A. 曲线 是中心对称图形
B. 曲线 与直线 有三个不同的交点
C. 该曲线可以成为一个函数的图象
D. 当 时,
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____. (用数字作答)
13. 已知 为常数，若存在 使不等式 成立，则 的最小整数值为_____.
14. 已知 三个内角 的对边 依次成等比数列,且 , ，点 为线段 (不含端点)上的动点. 设 为常数，若满足 的点 恰好有 2 个，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在三棱锥 中，侧面 、 是全等的直角三角形， 是公共的斜边,且 ,另一个侧面 是正三角形.
(1)求证: ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知点 在抛物线 上.
( 1 )求抛物线 的标准方程；
( 2 )若射线 ， 均与圆 : 相切，且点 ， 在抛物线 上.
① 若存在 ，使得 ，求直线 的方程；
② 过点 作 于点 ，问:是否存在定点 ，使得 为定值？若存在， 求该定值: 若不存在, 请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
甲和乙进行乒乓球比赛,每一球甲赢的概率为 乙赢的概率为 , 每球的比赛结果相互独立,现从两套规则中选一套: 规则一,双方进行 球比赛, 先赢得 球的一方获胜; 规则二,若一方赢得至少 球且必须领先对手至少 2 球则获胜,否则先赢得 球的一方获胜. 设选择规则一时甲获胜的概率为 ,选择规则二时甲获胜的概率为 . 为正整数
(1)若 ，求 ；
(2)若选择规则二且 ， ， ，设随机变量 表示一方获胜时进行的总球数， 事件 表示甲获胜,事件 表示 ,求 ;
(3)若 ,证明: .
2026 年全国高考数学模拟卷 命题:南京师范大学附属中学 (总分 150 分, 考试时间 120 分钟)
2026.4
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟, 试卷满分 150 分, 考试形式闭卷.
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置, 否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 设集合 ，则
A. B. C. {1} D.
答案: C
2. 若向量 满足 ， 在 上的投影向量是
A. B. C. D.
答案: B
3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 (单位: )与水生植物的株数 (单位: 株)之间的相关关系,收集了 4 组数据,用模型 去拟合 与 的关系,设 与 的数据如表格所示,得到 与 的线性回归方程 ,则
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A. -2 B. -1 C. D.
答案: C
4. 制造一个三角形支架 (如图),要求 的长度大于 2 米,且 比 长 1 米,为了增加稳定性,要求 尽可能短,则 最短为
A. 米 B. 4 米 C. 米 D. 米
答案: D
5. 设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定成立的是
A. B. C. D.
答案: A
6. 已知椭圆 ，过其右焦点 作直线 交椭圆 于 两点，取 点关于 轴的对称点 若 点为 的外心，则
A. B. C. D. 以上都不对
答案:
7. 平面 与长方体的六个面所成的角分别为 ,则 的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
答案: A
8. 已知各项均为正数的数列 ,其中 , 是正整数, 是实数. 若对任意 ,存在以 为边长的三角形,则满足条件的 的个数为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个
答案: B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 不选或有选错的得 0 分.
9. 若复数 为虚数单位,则下列说法正确的有
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 若复数 满足 ，则 的最小值为
答案: BCD
10. 已知函数 的图象在 内不存在对称中心,则 的取值可以是
A. B. C. D. 1
答案: AC
11. 已知曲线 ,则下列说法正确的有
A. 曲线 是中心对称图形
B. 曲线 与直线 有三个不同的交点
C. 该曲线可以成为一个函数的图象
D. 当 时,
答案: ACD
第 II 卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____. (用数字作答)
答案: 36
13. 已知 为常数，若存在 使不等式 成立，则 的最小整数值为_____.
答案: 4
14. 已知 三个内角 的对边 依次成等比数列,且 ， ，点 为线段 (不含端点)上的动点. 设 为常数，若满足 的点 恰好有 2 个，则实数 的取值范围为_____.
答案:
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
解: (1)
则 ，
若 ,则 无意义,舍去:
所以 . 又 ,所以 . .5 分
(2)因为 为锐角三角形,且 ，
所以由正弦定理得 ,可得
,
所以
10 分
因为 为锐角三角形,所以
所以 ,因此 ,
从而 面积的取值范围为 . 13 分
16. 如图,在三棱锥 中,侧面 是全等的直角三角形, 是公共的斜边,且 ,另一个侧面 是正三角形.
(1)求证: ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
解:(1)证明:取 中点 ，连接 ， ，如图所示:
是正三角形,
为 中点, ,
为 中点,
， 2 分
平面 平面 ，
平面 ， 4 分
又 平面 ,
. 5 分
(2)由(1)知 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ,
,
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
,
，
则 . 7 分
不妨设 ，
,
,解得 ,
, 9 分
设平面 法向量为 ,
,即 ,
取 ,则 , 11 分
设平面 法向量为 ,
,即
取 ,则 , 13 分
,
设二面角 的平面角为 ,则 ,
二面角 的平面角的正弦值为 . 15 分
17. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围.
解: (1) , 2 分
当 时， 恒成立， 在 上单调增；
当 时,令 ,此时函数单调减,
令 ,此时函数单调增. 6 分
(2)方法一:
记 ,
则 9 分
令 ,
当 , 单调减,
当 , 单调增;
所以 ,令 即可. 15 分
方法二: 先证明 ,设 ,故当 时
单调增,当 单调减, ,得证.
9 分
对该式两边取指数，可得 ，故 ；用 替换该式中的 ，可得 ，
整理可得 ，所以 ，且 时同时取到“=”.
令 即可. 15 分
18. 已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若射线 ， 均与圆 : 相切，且点 ， 在抛物线 上。
① 若存在 ，使得 ，求直线 的方程；
② 过点 作 于点 ，问:是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求该定值: 若不存在, 请说明理由.
解: (1)将点 代入抛物线 的方程,得
3 分 (2)①因为 ，所以 是 的中线
又因为射线 均与圆 相切,所以 是 的角平分线,
所以 ,故 ,而 ,所以 5 分
设点 ,
过点 且与圆 相切的直线为:
则
又因为 ,同理 ,
所以
所以
所以 直线为: ,即 10 分
② 直线为:
由①中(*)式可知 ，故定点 在 直线上 13 分
因为 ,所以三角形 是直角三角形,
故
即存在定点 ,使得 为定值 17 . 17 分
19. 甲和乙进行乒乓球比赛,每一球甲赢的概率为 ,乙赢的概率为 ,每球的比赛结果相互独立,现从两套规则中选一套: 规则一,双方进行 球比赛,先赢得 +1 球的一方获胜. 规则二,若一方赢得至少 球且必须领先对手至少 2 球则获胜,否则先赢得 球的一方获胜. 设选择规则一时甲获胜的概率为 ,选择规则二时甲获胜的概率为 为正整数
(1)若 ，求 ；
(2)若选择规则二且 ，设随机变量 表示一方获胜时进行的总球数，
事件 表示甲获胜,事件 表示 ,求 ;
(3)若 ,证明: .
解: (1) , 2 分
4 分
(2)法一:
9 分
法二: 事件 中每种情况下甲都恰比乙多赢两场,由对称性知
9 分
(3)若甲乙两人持续比赛，设随机变量 表示进行前 球甲赢得的球数，
13 分
(两者相差部分为在前 球甲乙各赢 球的情况下， 中甲 2:0 或 2:1 胜乙，减去 中甲 1: 0 胜乙)
17 分
( 拆分为甲直接获胜 和平局 后甲获胜, 是
，进一步可拆分为
)
所以 .

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