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高一数学
(总分 150 分 考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3. 作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第 I 卷(选择题共 58 分)
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求, 请在答题纸的指定位置填涂 答案选项)
1. 若复数 ,则复数 的虚部是( )
A. 2 B. i C. -2 D.
2. 已知点 ,则向量 ( )
A. B. C. D.
3. 在 中, ,则 ( )
A. B. 1 C. 2 D.
4. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知向量 ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 设 中的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 平面向量 满足 ，则 与 夹角取最大值时 为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题 给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对 的得部分分, 有选错的得 0 分, 请在答题纸的指定位置填涂答案选项)
9. 下列命题正确的是( )
A. 若 ，则存在唯一实数 使得
B. “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
C. 不同向的向量不能比较大小，同向共线的可以
D. 若点 为 的重心,则
10. 下列等式正确的是( )
A. B.
C. D. 若 ，则
11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长, 求三角形的面积的问题, 其求法是: “以小斜幂并大斜幂减中斜幂, 余半之, 自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂减上, 余四约之, 为实; 一为从隅, 开平方得积. "若把以上这段文字写成公式, 即 ,现有 满足 ,且 , 则( )
A. 三个内角 满足关系
B. 的周长为
C. 若 的角平分线与 交于 ,则 的长为
D. 若 为 外接圆上任意一点,则 的最大值为
第 II 卷 (非选择题共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 不共线， ， ， ，则实数
13. 已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴正半轴重合,终边在直线 上,则 的值为_____.
14. 如图 1 是一款家居装饰物 ——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸. 博古架是类似于书架式的木器, 其每层形状不规则, 前后均敞开, 无板壁封挡, 便于从各个位置观赏架上放置的器物. 某博古架的部分示意图如图 2 中实线所示,网格中每个小正方形的边长为 1,设 为线段 上任意一点，则 的取值范围是_____.
图1
图2
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)
15. 已知向量 ，且 与 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若 与 所成的角是锐角，求实数 的取值范围.
16. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2) 求 的值.
17. 已知 .
(1)求 的值； (2)求 的值.
18. 已知 分别为 三个内角 的对边, (1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 ；
(3)若 ，且 为锐角三角形， 为 的中点，求中线 的取值范围.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是:“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. ”意大利数学家托里拆利给出了解答: 当 的三个内角均小于 时,使得 的点 即为费马点; 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)求A；
(2)若 ，且点 为 的费马点，求 ；
(3)设点 为 的费马点， ，求 的最小值.
高一数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C C A B B A
二、多选题
9 10 11
BD ABD ABD
三、填空题
12. -6
13. 14.
四、解答题
15. (13 分) (1) 因为向量 ，且 与 的夹角为 ，
则 ，解得 ， (6 分)
(2)由(1)可得 ，且 ，
因为 与 所成的角是锐角,则 ,
解得 , (9 分)
且向量 与 不共线,则 ,即 , (11 分)
因此,实数 的取值范围是 (13 分)
16. (15 分) (1) ,
. (7 分)
(2) , (9 分)
. (15 分)
17. (15 分) (1) 因为 ,又 ,
所以 ; (7 分)
( 2 )因为 ， ，所以 ，
又 ,所以 , (9 分),又 ,
所以
(15 分)
18.(17分)(1)因为 ，由正弦定理知可得
,
而 ,
,
即 ,
又 ,即 , (3 分)
又 ,则 ,则 . (5 分)
(2)由(1)及题设可得 ，即 ， (7 分) 将 代入 ,整理得 ,则 ,即 (负值舍去),故 .
(10 分)
(3)因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得
在 中，由余弦定理得 ，即 所以 , (12 分)
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以
(15 分)
因为 为锐角三角形,所以 且 ,解得 ,
所以 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以中线 的取值范围是 (17 分)
19.(17分)(1) ，则 ，
,
,故 . (4 分)
(2)由(1)知 ，所以 的三个角都小于 ，
由费马点定义知 ,
设 ,由 ,
整理得 ,整理得 ,
则 ......(9 分)
(3)因为点 为 的费马点，所以 ， 设 , 由 ,得 .
由余弦定理得 ,
(12 分)
由 ,得 ,
,又 ,所以 ,
当且仅当 ,结合 ,解得 时,等号成立, (15 分)
又 ,所以 ,解得 或 (舍去),
故 的最小值为 . (17 分)

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