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高一年级 4 月自测 数 学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章～第八章第 3 节。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 的虚部为
A. 2 B. 2i C. -2i D. 4
2. 已知向量 ，若 ，则
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3. 在 中, ,则 外接圆的面积为
A. B. C. D.
4. 如图，用斜二测画法作出 的直观图 ，若 ，则
B.
C.
D.
5. 已知棱台的上、下底面面积分别是 1,4 , 高为 3 , 则该棱台的体积是
A. 3 B. 7
C. 9 D. 21
6. 已知向量 是平面内的一组基底, ,若 三点共线,则实数 的值为
A. B. C. D.
7. 已知非零向量 满足 ,则向量 在向量 上的投影向量为
A. B. C. D.
8. 如图，公路一侧有一幢楼 ，公路与楼底 在同一平面上，小明在公路上行走，在点 处测得楼顶 的仰角为 ，行走 100 米到达 处,测得楼顶 的仰角为 ,再行走 100 米到达点 处,测得楼顶 的仰角为 ,则楼 的高为参考数据: .
A. 米 B. 米 C. 300 米 D. 米
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，若 有且只有一个，则 的值可以是
A. 1 B. C. D.
11. 若 是复数,则下列说法错误的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则 或
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知向量 ,若向量 的夹角为钝角,则实数 的取值范围为_____.
14. 如图，在正三棱锥 中， ，从 点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱 ， 回到 点，若细绳的最短长度为 ，则该三棱锥的侧棱长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
设复数 .
(1)若(2-i) 是实数，求 的值；
(2)若 是纯虚数，求复数 的共轭复数 .
16. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的大小；
(2)已知 ,证明: 是等腰三角形.
17. (本小题满分 15 分)
如图是 打印技术打印的一个艺术品,该艺术品外部的圆锥底面半径为 ,高为 , 内部挖去一个高 的圆柱体.
(1)当 时，求该艺术品的体积;
(2)当 为何值时，该艺术品的表面积最大？
18.(本小题满分 17 分)
如图，在直角梯形 中， ， ， 为 上靠近点 的一个三等分点, 为线段 上的一个动点.
(1)用 和 表示 ；
(2)设 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 是锐角三角形,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求边 上的中线 的取值范围.
高一年级 4 月自测 数学 参考答案、提示及评分细则
1. ,所以 的虚部为 2 . 故选 A.
2. A 由 ,得 ,解得 . 故选 A.
3. D 设 外接圆的半径为 ,则 ,则 外接圆的面积为 . 故选 D.
4. B 根据斜二测画法可知, ,又 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5.B 依题意,棱台的上底面面积 ,下底面面积 ,高为 ,故由公式可知,棱台的体积是 ,故选 B.
6. ,因为 三点共线,所以存在实数 ,使得 ,即 ,所以 解得 故选 C.
7. 由 ,得 ,即 ,所以 . 又 ,所以 ,所以向量 在向量 上的投影向量为 . 故选 B.
8. A 由题可知 ,则 ,由余弦定理,得 ,又 ,两式相加,得 ,即 ,解得 . 故选 A.
9.BC 有一个面是多边形,其余各面是有公共顶点的三角形构成的几何体是棱锥,故 A 错误; 三棱柱是面最少的棱柱,且有五个面,则棱柱至少有五个面,故 正确; 由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点,故 正确; 以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故 D 错误. 故选 BC.
10. 由正弦定理，得 ，所以 ，当 时， ，又 ，所以 ，或
,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, 正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,当 时, ,不合题意,此时 有且只有一个, B 正确; 当 时, ,又 ,所以 ,或 ,此时 有两个, 错误; 当 1,此时 不存在, D 错误. 故选 AB.
11. 设 ,由 ,得 正确；当 时,满足 ,但 错误; 当 时,满足 , 但 错误; 当 时,满足 ,但 错误. 故选 BCD.
因为 ,所以 ,所以 .
13. 由 ,得 . 当 时,有 ,解得 ，此时向量 的夹角为 ，所以实数 的取值范围为 .
14. 根据题意，把正三棱锥 侧面沿 展开，连接 ，则线段 就是绳的最短长度,易得 ,设侧棱长为 ,则 ,解得 .
15. 解: (1) 由题知 . 3 分若 是实数，则 ，解得 . 6 分
(2)由题知 . 9 分
若 是纯虚数,则 解得 . 11 分
所以 . 13 分
16.(1)解:在 中，由 及正弦定理，得 ， 3 分整理得 ,
由余弦定理得 , 6 分
又 ,所以 . 8 分
(2)证明:由 及正弦定理，得 ， 10 分
由(1)知 ，
因此 ,即 ,所以 是等腰三角形. 15 分
17. 解: (1) 当 时,设圆柱的半径为 ,则 ,解得 , 3 分此时该艺术品的体积为 . 7 分
(2)设圆柱的半径为 ,则 ,解得 , 9 分
要使该艺术品的表面积最大, 则圆柱的侧面积取得最大值即可, 10 分
12 分
当 时, 取得最大值, 14 分
故当 时,该艺术品的表面积最大. 15 分
18. 解:(1)依题意 ，
, 3 分
. 6 分
(2)由已知
因 是线段 上动点,设 8 分
, 10 分
又 , 不共线,根据平面向量基本定理,则有 12 分
14 分
在 上递增, 15 分
所以 时, 时, , 16 分
故 的取值范围是 . 17 分
19. 解:(1)由 及正弦定理得， ， 1 分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 3 分
因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 5 分
(2) . 7 分
因为 是锐角三角形,且 ,所以 所以 , 8 分所以 , 所以 的取值范围为 . 10 分
(3)由余弦定理得， ,即 .
由 ,两边平方得 . 12 分由正弦定理可知, ,所以 ,
所以
, 15 分
由( 2 )知 ，所以 ， ， , ，
即 ,则 . 17 分

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