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数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ,则集合
A. B.
C. D.
2. 复数 的实部与虚部之和为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知函数 的极值点为 0，则
A. 0 B. C. D.
4. 从三棱台的9条棱中选 2 条, 则这 2 条棱不平行的选法种数为
A. 32 B. 33 C. 34 D. 36
5. 已知 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3
6. 彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样. 某彩凤穿花纹碗如图 1 所示, 其轴截面 (不含碗的底座)如图2所示，已知该碗的底座高为 ，曲线 ， 均是焦点到准线的距离为 的抛物线的一部分,则该碗的高度为
图 1
图 2
A. B. C. D.
7. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 的公比为
A. 3 或 B. 3 或 C. 或 D. 或
8. 已知平面内的两个动点 连线的中点在圆 上, 是直线 上的一个动点,且 ,则 的最小值为
A. 9 B. 7 C. -3 D. -1
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图，这是全国 2025 年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图, 则全国 2025 年下半年
A. 商品零售额同比增长速度的极差为 2.9%
B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低
C. 餐饮收入同比增长速度的 30% 分位数为 1.1%
D. 答饮收入同比增长速度的平均数小于 2%
10. 已知函数 , ,则下列结论正确的是
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上的值域为
D. 若 的图象与 的图象在 上有公共点,则 的取值范围为
11. 若首项为 的数列 满足 ,则
A.
B. 是等差数列
C. 不存在 ,使得 是递增数列
D. 在 确定的情况下,点 在一条直线上
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ，则 _____▲_____.
13. 已知 是双曲线 的右焦点,关于原点对称的两点 均在 上，且 ，则 的离心率为_____▲_____.
14. 已知棱长为 4 的正四面体 的各顶点均在球 的球面上， 为 的中点,动点 在球 的球面上运动,且 . 记 在平面 上的射影为 ,则 的轨迹长度为_____▲_____， 的轨迹所围成的区域面积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 的面积为 .
(1)求A；
(2)若A为钝角，且 的周长为 ，求b.
16.(15分)
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线 与直线 垂直,求 的方程；
(2)讨论 的单调性.
17. (15分)
如图，在四棱锥 中， ，底面 是正方形， ， 分别为 的中点. 过点 的直线 与 平行,且 .
(1)证明: 底面 .
(2)已知平面 与平面 的夹角为 .
(1) 求 ;
(II)若Q是 上的一个动点，直线 与平面 所成的角为 ， 证明: .
18. (17分)
已知椭圆 经过点 ，且 的长轴长与短轴长之比为 .
(1)求 的方程.
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，且 .
(1)若 与 重合,求 .
(ii)判断直线 是否过定点. 若是,求出该定点; 若不是,请说明理由.
19.(17 分)
某超市推出一款新玩具,每件玩具内有一张卡片,总共有 种不同类型的卡片,且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同,甲每次从中随机购买一件玩具.
(1)若 ，求甲恰好购买 3 件玩具就集齐 2 种不同类型的卡片的概率.
(2)在 重伯努利试验中,设每次试验中事件 发生的概率为 ，用 表示事件 首次发生时的试验次数,且 的分布列为 , ,则随机变量 服从几何分布,该几何分布的期望为 . 已知甲集齐 种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为 .
(1) 求 的数学期望 ;
(ii) 证明: .
数学试题参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 D A C B B C A D BC ACD ABD
1. D
2. A 因为 ,所以该复数的实部与虚部之和为 .
3. C ，因为 ，所以 . 经检验，当 时， 的极值点为 0 .
4. B 从三棱台的 9 条棱中选 2 条的选法种数为 . 在三棱台中,共有 3 对棱平行,所以所求的选法种数为 .
5. B 令 ,得 . 令 ,得 .
故 .
6. C 如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为 . 设 ， ，易得 ,则 ,所以该碗的高度为 .
7. A 设由等比数列的性质得 . 由 ,得 . 由
8. D 取 的中点 ,则 . 圆心 到 的距离为 ,此时 取得最小值,且最小值为 取得最小值,且最小值为 . 故 的最小值为 .
9. BC 商品零售额同比增长速度的极差为 错误. 商品零售额同比增长速度逐渐降低, B正确. 因为 ,所以餐饮收入同比增长速度的 30% 分位数为 , C 正确. 因为 ,所以餐饮收入同比增长速度的平均数大于 , D 错误.
10. ACD 正确. 由 ,得 ,所以 的图象不关于直线 对称, 错误. 由 ,得 ,得 ,所以 在 上的值域为 正确. 在 上的图象如图所示, . 易得 . 因为 的图象与 的图象在 上有公共点,所以则 ,即 的取值范围为 , D 正确.
11.
由 ,得 . 两式相除整理得 ,得 ,得 ,得 正确. 由 ,得 ,得 . 因为 ,所以 是公差为 的等差数列, 正确. 当 时, ,得 ,得 是递增数列, 错误. 设 ,则 消去 并整理得 ,所以在 确定的情况下,点 在一条直线上, 正确.
12.
13.
设 的左焦点为 ,连接 (图略). 易得 ,则 ，得 ，所以 的离心率为 .
如图，设 在平面 上的射影为 ，四面体 的外接球的半径为 . 易得 . 由 ,得 ,所以 的轨迹所围成的区域面积为 . ,得 . 因为 为 的中点,所以 . 又 ,所以迹是半径为 的圆,所以 的轨迹长度为 . 设 的轨迹所在平面为 ,记平面 与平面 的夹角为 . 易知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则
15.解:(1)由正弦定理得 . 2 分
由 的面积 ,得 . 4 分
因为 ,所以 或 . 6 分
(2)因为 为钝角，所以 . 7 分
由余弦定理 ,得 又 ,所以 . 13 分
16. 解: (1) , 1 分
则 . 2 分
因为 , 3 分
所以 ,得 . 4 分
又 , 5 分
所以 的方程为 ,即 . 7 分
(2) .
当 时, ,则 在 上单调递增. 9 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 11 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 12 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 13 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 15 分
17.(1)证明:因为 ，所以 . 1 分
因为 底面 底面 , 2 分所以 底面 . 3 分
(2)(i)解:以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ， ，
,得 . 4 分
设平面 的法向量为 ,则
5 分
令 ,则 ,得 . 6 分
易得平面 的一个法向量为 , 7 分
则 , 8 分
故 . 9 分
(ii) 证明: 设 ,得 , 10 分
则 . 12 分
因为 ,函数 在 上单调递增,所以要证 ,只需要证 13 分
即证 . 14 分
因为 ,所以 恒成立. 故 . 15 分
18.和化归与转化的数学思想.
解:(1)设 ，则 ，则 的方程为 . 1 分
因为 经过点 ，所以 ，得 . 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(1)设 ，由 4 分
得 , 5 分
得 , 6 分
则 . 7 分
故 . 8 分
(ii) 直线 . 由 ,得 . 9 分由 得 , 10 分则 11 分
因为 ,所以 的坐标为 .
12 分
同理可得 的坐标为 . 13 分
又
, 15 分
所以直线 的方程为 16 分
因为 ,所以直线 过定点 . 17 分
19.(1)解:甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，则甲恰好购买 3 件玩具就集齐 2 种不同类型的卡片的概率为 . 3 分
(2)(i)解:设 表示在甲已获得第 种类型的卡后，获得第 种类型卡片需要购买的玩具数，则 . 4 分甲第一次购买玩具得到第 1 种类型的卡片的概率为 1 ,
在甲已获得第 1 种类型的卡片后,每次试验中获得第 2 种类型卡片的概率为 ,
在甲已获得第 2 种类型的卡片后,每次试验中获得第 3 种类型卡片的概率为 ,
依此类推,在甲已获得第 种类型的卡片后,每次试验中获得第 种类型卡片的概率为 ,则 均服从几何分布, 6 分
所以 . 8 分 (ii) 证明: . 9 分
设 ,则 .
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减，所以 ，得 ，当且仅当 时，等号成立. 10 分令 ,得 ,则 . ①
12 分
设 ,则 .
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以 ,得 ,当且仅当 时,等号成立. 14 分令 ,得 ,则 . ② 16 分由①②得 ,
所以 ,即 . ...
17 分

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