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唐山市 2026 年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数 学
满分 150 分，考试时长 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 为虚数单位,则复数 的虚部为
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
2. 已知向量 ,若 ,则
A. -2 B. 0 C. 2 D. 8
3. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
A. B. -1 C. D. -2
5. 若 ,则椭圆 的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
6. 已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
A. B. C. 1 D. -1
7. 已知随机变量 ,随机变量 ,则
A. B.
C. D.
8. 在等差数列 中, ,记 为数列 的前 项和,当 取得最大值时, 的值为
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 为偶函数 B. 在 上单调递增
C. 的最小正周期是 D. 的一条对称轴为
10. 在四棱锥 中, 平面 , ,则下列说法正确的是
A. 当 时,直线 平面
B. 当 时,直线 与 所成角为
C. 当 时,直线 与平面 所成角为
D. 当 时,三棱锥 的外接球表面积为
11. 设 是一个随机试验中的两个事件,记 , 则下列说法正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. 已知直线 与圆 相切,若直线 过抛物线 的焦点 ，与 的准线相交于点 ，则 _____.
14. 已知欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数,例如: ; 记集合 中元素个数为 ,则数列 前 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中,内角 的对边分别是 ,点 是边 中点, ,且 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)当 时，求 .
16.(15 分)
甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为 ，乙每局获胜的概率为 ,采用七局四胜制 (当一人赢得四局胜利时,该人获胜,比赛结束).
已知甲先赢了前两局.
(1)若 ，求:
(i)乙获胜的概率;
(ii) 比赛打满七局的概率;
(2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量 ，若 ，求 的取值范围.
17. (15 分)
在三棱柱 中,底面 侧面 ,侧面 是边长为 2 的菱形, .
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,一条过点 且斜率为 的直线与 的左、右两支分别交于 两点,与两条渐近线分别交于 , 两点.
(1)若焦距为12，求 的方程；
(2)当 时,若 ,证明: 轴;
(3)若 ，求 的最大值.
19. (17分)
设函数 ,若 有两个极值点 ,且 .
(1)求 的取值范围；
(2)当 时,记 为 最大零点.
(i) ① 证明: 有两个零点; ② 证明: ;
(ii) 比较 与 的大小,并给出证明.
唐山市 2026 年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数学参考答案
一. 选择题(单选):
1~4. ADBC 5~8. CBDC
二. 选择题(多选):
9. BD 10. ACD 11. ACD
三. 填空题:
12. -20
四. 解答题: (若有其他解法,请参照给分)
15. 解:
(1)在 中，由正弦定理可得: ，
所以 , 2 分
因为 ,所以 , 4 分
又因为点 是边 中点,
所以 的面积 . 6 分
(2)在 中，由余弦定理可得:
， 8 分在 中,由余弦定理可得:
, 10 分
又因为 ,解得 . 13 分
16. 解:
(1)(i)乙获胜有两种情况:
①乙连胜四局，概率为 ，
②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜,
概率为 ,
所以当甲先赢了前两局时,乙获胜的概率为 . 4 分
(ii)记“比赛打满七局甲胜”为事件 ，“比赛打满七局乙胜”为事件 ，
则 ,
所以比赛打满七局的概率为 . 8 分
(2) ， 10 分
12 分
由已知 整理得:
解得: 或 , 14 分
因为 ,
所以 或 ,
综上: 或 时, . 15 分
17. 解:
(1)因为侧面 是边长为 2 的菱形, ,
所以 ,取 中点 ,连接 ,则 ,
又因为 ,所以 , 2 分
又因为底面 侧面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 .
又因为 平面 ,所以 , 4 分
因为 ,满足 ,所以 .
又因为 平面 ,
所以 平面 ,所以 , 6 分
又因为 ,所以 平面 . 7 分
(2)以 为坐标原点， 所在直线的方向分别为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,
, 9 分
设平面 的一个法向量为 ,
平面 的一个法向量为 ,则
,即 ,所以 ; 11 分 ,即 ,所以 , 13 分
设平面 与平面 夹角为 ,则
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18. 解:
(1)因为 ，所以 ，解得 ， 2 分
所以 的方程为 3 分
(2)将 代入 ，设 ， ，
整理得 ,所以 , 5 分
因为 ,将 代入,
整理得 ,同理 , 6 分
所以 , 7 分
整理得 ,解得 (负根舍去), 8 分
所以点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,
所以 轴. 9 分
(3)将直线 与曲线 联立得:
10 分
11 分
所以 , 12 分
将直线 与渐近线 分别联立得:
13 分
因为 ,
令 ,整理得: , 15 分
所以当 时, 的最大值为 ,经检验符合题意. 17 分
19. 解:
(1) ，令 ，则 ， 2 分
当 时, ,此时 在 上单调递增,不符合题意;
当 时, 在 递减, 递增,
因为 ,
由零点存在性定理可知,只需 , 4 分
记 ,
所以 在 递增, 递减,又 ,
所以 . 6 分
(2)(i)①易知 ，由(1)可知， 7 分
当 时， ，此时 ，不符合题意；
当 时, ,此时 ,符合题意.
故 在 递增, 递减, 递增,且 , 9 分由单调性可知 ,又 ,
由零点存在性定理可知,
存在两个零点 0 和 且 ,命题得证. 10 分
(i) ②因为 为 极值点且 ,
所以 ,即 , 11 分
又由①知 ,结合 , 12 分
有 ,
得 ,命题得证. 13 分
(ii) 由 可知 ,
所以
, 14 分
记 ,又易知 ,
则 ,
所以 在 单调递增,且 ,
所以 , 16 分
因为 在 单调递增,且 ,
所以由单调性可知 . 17 分

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