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江西九江第一中学 2026 届高三下周测数学卷一
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，若 ，则 ( )
A. 2 B. 0 C. 0或2 D. -2或2
2. 已知 ,则 ( )
A. B. -21 C. 0 D. 1
3. 已知函数 ，则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知 ,则 ( )
A. 1 B. -1
C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，作 于点 ，若 为等边三角形，则 点的横坐标为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数 . 若存在 ,使得 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台A型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间 (单位:年)与当年所需要支出的维修费用 (单位:千元)有如下统计资料:
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到线性回归方程为 ，则()
与 的样本相关系数
C. 表中维修费用的第 60 百分位数为 6.5
D. 该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元
8. 双曲线 的两个焦点为 、 ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作圆 的切线与 的两支分别交于 、 两点，且 ，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
A. 若 ，则 的最大值为
B. 若 ，则 的最小值为
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 10. 已知函数 的最小正周期为 ，则( )
A.
B. C. 的图象关于直线 对称
D. 将 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变)，可得到函数 的图象
11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系. 在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”. 某校积极响应“和风计划”， 为了缓解学生的学习压力，面向 1630 名高三学生开展了团建活动. 如果将所有参加活动的学生依次按照 编上号,并按图所示的顺序排队,我们将 位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有( )
A. 站在第 20 拐角的学生是 111 号 B. 站在第 23 拐角的学生是 137 号
C. 第 133 号同学站在拐角位置 D. 站在拐角位置的同学共有 79 名
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知平面向量 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为_____.
13. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在区间 上单调递增. 若实数 满足 ，则 的取值范围是_____.
14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线
就是一条形状优美的曲线，若 是曲线 上任意一点， 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在 中，角 的对边分别是 ，若 .
(1)求角 ；
(2)已知 ， ， 为 边上一点，且 ，求 .
16.(15分)为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系 ，某学校采用按比例分层抽样的方式得到 200 名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图 1 所示.若认为成绩不低于 120 分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图 2 所示，已知样本中高三年级有 15 位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占 80%.
图 1
图 2
(1)求 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方 列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
工 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15 分)如图，在四棱锥 中， 是棱 的中点， .
(1)求证: 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(17分)已知函数 .
(1)若 ，求 的极值.
(2)若 且 ，关于 的方程 在 上仅有一个实根 .
(i) 证明: ;
(ii) 求 的最大值.
19.(17 分)在直角坐标系 中，设 为抛物线 ( )的焦点， 为抛物线 上位于第一象限内的点. 当 时，有 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 与抛物线 的另一个交点为 ，点 ， 在直线 上的射影分别为点 ， ，过点 且与 垂直的直线与直线 相交于点 ，证明: 是线段 的中点；
(3)设过定点 的直线 与抛物线 交于 两点.若 ，且 两点的横坐标均与点 的横坐标不相等，试判断直线 ， 的斜率之积是否为定值. 如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围.
江西九江第一中学 2026 届高三下周测数学卷一参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 【答案】C
①当 时，解得 ，此时 ，满足题意，
②当 时，解得 ，此时 ，满足题意，故选:C.
2. 【答案】A
由 ,得 ,则 , 即 ,故选: A.
3. 【答案】A
由题 , 故选: A.
4.【答案】B
由 ,得 ,即 , 由 ，得 ， 因此 ,所以 . 故选: B
5.【答案】C
由抛物线的定义可知 ，且 ， ，过 作 ，
可知 为 的中点，则 ，即 ，所以 点的横坐标为 3. 故选:C
6.【答案】B
根据题意知 在 上有解,因此 在 上有解, 故函数 与 的图象在 上有交点，
函数 的图象过点 ，将点 代入 得， ，
令 得， ，由图象可知 ，解得 ，故选:B.
7. 【答案】B
对于 ,由 ,得 与 成正相关,样本相关系数 错误; 对于 B， ， ，则 ，B 正确； 对于 ，因此第 60 百分位数为 ，C错误； 对于 ，由选项 知， ，当 时， ， 则当年所需要支出的维修费用约为 12.38 万元，D 错误.故选:B
8. 【答案】A
如图:
设直线 与圆 的切点为 ，作 ，交 于点 ，则 .
因为 ， ，所以 ，又 为 中点，所以 ，
又 ,所以可设:
由
根据双曲线的定义: .
所以 . 所以 . 故选:A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.【答案】BCD
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ，当且仅当 ， 时，取等号，则 的最大值为 ，故 错误；
对于 因为 ,
所以 ,
当且仅当 ，即 时， 的最小值为 ，故 B 正确；
对于 ,因为 ,则 ,
当且仅当 时取等号，故 C 正确；
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 ,故 D 正确. 故选: BCD.
10. 【答案】ABD
已知函数 的最小正周期为 ,则 ,故 正确; ,则 ,故 正确; ,故 的图象不关于直线 对称,故 错误;
将 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变),可得到函数 的图象,故 D 正确; 故选: ABD.
11. 【答案】ACD
观察给出的前几个拐角位置对应的编号:2，3，5，7，10，13，17，21，26 – 将奇数项的拐角即为 ，易得: ；偶数序号的拐角即为 ，由规律可得: 第 20 拐角的学生编号为: 正确；站在第 23 拐角的学生编号为: 错误；由 ，解得 ，也即第 133 号同学站在第 22 拐角位置；由 ，可得 ，由 ，可得 ，所以拐角总序号可到第 79 个，所以站在拐角位置的同学共有 79 名，正确；故选:ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.【答案】
设 与 的夹角为 ,由于 ,所以 ,解得 ，则 为锐角，且 。故答案为:
13.【答案】
由于函数 是定义在 上的偶函数，所以 的图象关于 对称，
且 在 上的单调递增，在区间 上单调递减. 由 ，
得 ,所以 ,所以 , 即 ，所以 . 故答案为:
14. 【答案】
曲线 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
当 时,曲线 的方程可化为 ,
作出曲线如图:
到直线 的距离 ,
则 即为 ,要求得 的最小值,结合曲线的对称性,
只需考虑 时的情况；
当 时,曲线 的方程为 ,
曲线为圆心为 ，半径为 的圆的一部分，
而 到直线 的距离为 ，
由圆的性质得曲线 上一点到直线 的距离最小为 ,
故 的最小值为 . 故答案为: .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)(1)
(1) 因为 ,所以由余弦定理可得 ,
整理得 ,所以 ,所以 ,
所以 ,因为 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 ，又 ，
两边平方得 ，又 ， ， ，
所以 ,所以 .
16.(15分)(1)11(基)如(2) )和(3)(2)(3)大
(1)根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为10，
因此: 10x (0.005+0.005+0.010+0.020+0.020+a-0.010+0.005) = 1,解得: ,
下四分位数即第 25 百分位数，计算累计频率
[70,80) 频率 0.05，累计 0.05；[80,90)频率 0.05，累计 0.1；
[90,100) 频率 0.1 ，累计 0.2 ；[100,110) 频率 0.2 ，累计 0.4 。
，因此第 25 百分位数在区间 内，
计算得:下四分位数
(2)零假设 认真完成作业与成绩无关
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀 40 10
成绩不优秀 60 90
,因为 ,
依据小概率值 的独立性检验，零假设 不成立，即认真完成作业与成绩有关，
该判断出错概率不超过 0.001 ，
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.4 ,
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.1 ,
0.4 ÷ 0.1 = 4
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的 4 倍，差异显著.
(15 分
(1)证明:取 为 中点，连接 ， ，由中位线定理易得: ， ，
又 ，所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，又 CE CF面PAB, BFC平面PAB, 所以CE//平面PAB;
(2)取 的中点为 ，连接 ，由 ，可得四边形 为矩形， 所以 ，又 ，又平面 平面 。所以， 即为二面角 的平面角. 又 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 , 在 RtsOCB 中,由 ,得 ,又 ,
所以 . 即二面角 的平面角的余弦值为 .
(3)以 为原点， 分别为 轴， 轴正向，垂直面 向上为 轴，建立空间直角坐标系
则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,根据 ,即 ,
取 ，可得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(15 分)
(1)若 ，则 ，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 或 .
故 在 。 上单调递增，在 (-1,3) 上单调递减，
所以极小值 ，极大值 .
(2)(i) 令 ，
则 ,
令 ,显然 在 上单调递增,又 ,
所以存在唯一的 ,满足 ,即 ,
且当 时, ,即 ,当 时, ,即 ,
故 在 上单调递减，在 上单调递增， 是 在 上的极小值，也是最小值，
又因为 ,要使 在 上仅有一个实根 ,必需 ,所以 .
(ii) 由 (i) 知 ,
将 代入，得 . 所以 .
所以 ,令 ,
则 ,
令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 的最大值为 .
19.(17分)
(1)由 ，得 _ 为抛物线 上位于第一象限内的一点，
设 ,则 ,即 ,
由题知, ,解得 , 抛物线 的方程为 ;
(2)由上可知，点 的坐标为 ，
若直线 的斜率不存在，则直线 垂直于 轴， 是 与 轴的交点，显然是 的中点， 若直线 的斜率存在，易知该直线斜率不为 0，可设直线 的方程为 ，
联立 整理得 ,设点 的坐标分别为 ,则 , 则 的坐标分别为 ,直线 的方程为 ,于是点 的坐标为 , 三点在同一直线上, 是线段 的中点;
(3)可设 ，由上可得 ， ，
由 ，得 ，解得 ， 点 的坐标为 ，由题意得直线 必不垂直于 轴， 可设 ，联立 整理得 ， 其中 恒成立,设 ,由韦达定理,有 ,进而得 , ,综上可得，直线 ， 的斜率之积为定值 -2.

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