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2026 年高中三年级第二次模拟考试试卷 数 学
注意事项:
1. 试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液，答案写在本试卷上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷(选择题 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ,则 的虚部是
A. 1 B. -1 C. D.
3. 已知 ,则 的值是
A. B. C. D.
4. 的最大值是
A. 9 B. 3 C. 18 D. 6
5. 的内角 所对的边分别为 ,已知角 满足: , ,则 的值是
A. B. C. D.
6. 圆 上的点到直线 距离的最大值是
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
7. 如图,在等边三角形 中, ,点 是靠近 的三等分点,过 的直线分别交射线 于不同的两点 , ,则下列选项中不正确的是
A.
B.
C.
D. 的最小值是
8. 已知定义在 上的函数 ,满足以下两个条件: 对任意 恒成立,且 ; (2) 对任意 都有 ,则下列关于函数 的表述中正确的个数为
① ; ② ; ③函数 有最小值；④函数 有最大值.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 上的动点，则下列结论正确的是
A. 平面
B. 正方体外接球体积为
C. 存在一点 ,使得直线 与平面 所成的角为
D. 到平面 的距离为
10. 在当今科技迅速发展的时代，人工智能(AI)已经成为科技创新的核心驱动力。当前 AI 正处于从生产式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题。某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励。已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关， 且攻克该技术难题的概率分别为 ,则
A. 只有一个小组受到奖励的概率等于
B. 技术难题被攻克的概率为
C. 只有甲、丙小组受到奖励的概率为
D. 甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为
11. 已知定义在 上的函数 满足: ,其中 表示不超过 的最大整数. 当 时, ,设数列 满足 ,数列 为 从小到大第 个极小值点构成的数列,下列说法正确的是
A. 数列 为等比数列 B. ,使得
C. 数列 的通项公式 D. ,都有
第 II 卷 (非选择题 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
13. 已知双曲线 的离心率为 的一条渐近线与圆 交于 两点，则 _____.
14. 已知函数 是 的零点,直线 为 图象的一条对称轴,且函数 在区间 上单调,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 的前项 和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 90 项和.
注意: 这里 表示角度,
16. (15 分)
2026 年我国科技前沿的标志性事件可以概括为四大主线，第一类就是人工智能与算力， 第二类是航天与通信，第三类是能源与材料，第四类是生命科学与前沿突破。其中第一类人工智能与算力包含四个事件:AI 超级计算平台规模化落地，多智能系统成为标配，特定领域语言模型爆发，脑机接口商业化元年；第二类航天与通信包含三个事件:低轨卫星互联网组网成型，6G试验网与标准突破，商业空间站与深空探测；第三类能源与材料包含三个事件: 可控核聚变“亿度”持续运行，钠离子电池量产应用，高端材料国产替代领跑；第四类生命科学与前沿突破包含两个事件:碱基编辑疗法临床验证，量子计算实用化进展。
(1)从前三类主线的 10 个事件中随机选取一个事件，求该事件属于第一类主线的概率;
(2)从前三类主线的 10 个事件中不可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 表示所选事件属于第二类或第三类的数量,求随机变量 的分布列和期望;
(3)从前三大主线的 10 个事件中按可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 表示事件属于第二类或第三类的数量,比较 与 的大小关系.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中，底面四边形 是正方形， 底面 ， 是线段 的中点， 在线段 上， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求证: 平面
(3) 在线段 之间 (不含端点), 与 所成的角为 , 求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数
(1)令 ，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有极大值点 ，求证 .
19. (17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，定义第 次操作为:经过 上的点 作斜率为 的直线与 交于另一点 ,记 关于 轴的对称点为 ,若 与 重合,则操作停止; 否则一直继续下去.
(1)求 的方程；
(2)若 为 的左顶点，经过 3 次操作后停止，求 的值；
(3)若 是 在第一象限与 不重合的一点,求 的面积.
2026 年高三年级第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C A B C
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题号 9 10 11
答案 ABC BD AC
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
13. 14. 3
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15.(1)当 时， ， 1 分当 时, , 4 分当 时满足,故 ; 5 分
(2)设数列 的前 90 项和为 ，又 ， 6 分则
8 分
因为 , 10 分
所以
分
所以 . 13 分 (其它解法酌情给分).
16.(1)10 个事件中包含第一类人工智能与算力的有 4 个事件， 所以从 10 个事件中随机抽取一个事件，该事件属于属于第一类主线的概率为 3 分
(2)10 个事件中包含 6 个第二类或第三类的事件，
所有可能的取值为:0,1,2,3. 5 分
9 分
所以 的分布列为:
X 0 1 2 3
1 6
. 12 分
(3)
理由如下: 从 10 个事件中按可放回抽样的方式随机选 3 个事件,
随机变量 ,所以 . 15 分
17.
18.(1)连接 ，交 于 ，
连接 ，因为 为中点，
所以 是 的中位线，所以 ， 2 分
又因为 平面 平面 ,所以 平面 . 3 分
(2) ，又 是 的中点，所以 ，因为 底面 ，
所以 ,而 平面 平面 , 所以 底面 平面 ,所以 , 5 分又 平面 平面 ,故 平面 ,
所以 , 6 分
又因为 平面 平面 ,
故 平面 . 7 分
(3)设 ，以点 为坐标原点，以 所在直线分别建立 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设 .
9 分
因为 与 所成的角为 ,
则 即 ,
化简得 ,又因为 ,解得 11 分
又因为 ,故 ,设平面 的一个法向量为 ,则
,则
所以 . 13 分
由(2)可知: 平面 ，
故 是平面 的一个法向量, 14 分
设平面 与平面 夹角为 ,则有 . 故平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18.
(1) 的定义域为 1 分 2 分
当 时, 恒成立, 在区间 上单调递增; 3 分当 时,令 ,得 ,
当 时, ; 当 时, , 5 分因此, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 6 分综上所述,当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 7 分
(2) ，易知 ，由(1)知:
①当 时， 是 上的增函数，且 ，所以 无极大值，不合题意, 8 分
② 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 .
当 ,即 时, 在 上单调递增,无极大值,不合题意; 9 分当 ,即 时, 时, ,
是唯一极大值点,不合题意; 10 分
当 ,即 时, 时, ,
时, ,所以函数 在 上无极大值,
,易证 ,
,使 ,当 时, 时, ,
为 的极大值点,且 12 分
由 ,得 ,
14 分
要证 ,即证 , 15 分
需证 ,
令 ,则 ,
在 上为减函数,故 ,所以 ,
即 成立,故 . 17 分
19.【答案】(1) ; (2) ; (3)
(1) 由题意得 , 1 分又椭圆过 ,故有 ,解得 ,
所以 . 3 分
(2)由(1)知 ，经过 3 次操作后停止，即有 ， 与
关于原点对称， ，所以 与 关于原点对称， 因为 与 关于 轴对称, 与 关于 轴对称,
所以 与 关于原点对称。设 ,
则 , 5 分即有 ,解得 ,所以 ,故有 . 7 分
(3)由(1)知， ，设 ，则直线 的方程为 ,消 得
因为 ,所以 . 9 分因为 是上述方程的一个根,所以 则有 ,即 , 11 分设直线 的方程为
,消 得
因为 ,所以 . 12 分
因为 是上述方程的一个根,
所以
则有 ,即 ,
所以 与 关于原点对称。 14 分
故直线 的方程为 ,
点 到直线 的距离
又因为 ,所以 16 分
所以 . 17 分
(其它解法酌情给分).

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