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深圳实验学校高中部 2025-2026 学年度第二学期期中考试 高一数学
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. 15 B. -2 C. 2 D. 3
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 如图是一个正方体的展开图, 若将它还原为正方体, 则 ( )
A. B. C. D.
4. 如图，在长方体 中， ， ，于分别为 ， 的中点,点 在矩形 内运动 (包括边界),若 平面 ,则动点 的轨迹长度为( )
A. 2
B.
C.
D.
5. 如图，矩形 中， ， 分别为边 ， 上的动点，且 ， ，若 ,则 的最小值为 ( )
A. 8 B.
C. 16 D.
6. 沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时。如图, 沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体, 下方的容器中装有沙子, 沙子堆积成一个圆台,若该沙漏高为 6,沙子体积占该沙漏容积的 ,则沙子堆积成的圆台的高为( )
A. 1
B.
C. 2
D.
7. 如图,为了测量两个信号塔塔 之间的距离,选取了同一水平面内的两个测量基点 与 在同一铅垂平面内 . 已知在点 处测得点 的仰角为 ,点 的仰角为 ,在点 处测得点 的仰角为 ,点 的仰角为 米,则 ( )米
A. B.
C. D.
8. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ， ，若过 三点作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 任何一个复数 (其中 为虚数单位) 都可以表示成 的形式,通常称之为复数 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 根据以上信息, 下列说法正确的是 ( )
A. B. 的实部为
C. D. 当 时，若 为偶数，则复数 为纯虚数
10. 如图，在等边 中， ，点 在边 上，且 . 过点 的直线分别交射线 于不同的两点 . 则以下选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的最小值是
11. 已知半径为 的球与圆台的上下底面和侧面都相切,若圆台上下底面半径分别为 和 ,母线长为 ,球的表面积与体积分别为 和 ,圆台的表面积与体积分别为 和 ,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 均为单位向量，且 ，则 和 的夹角大小为_____.
13. 某同学用 3 个全等的小三角形拼成如图所示的等边 ,已知 , ，则 的边长为_____.
14. 如图，棱长为 5 的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔， 则这个有孔立方体的表面积(含孔内各面)是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 在棱长为 1 的正方体 中， 分别为 的中点.
(1)求五面体 的体积；
(2)若点 在线段 上， 平面 ， 求线段 的长度.
16. (本小题 15 分) 是 所在平面内一点, 分别为 的外心和重心, 且 .
(1)用 ， 来表示 和 ；
(2)若 的面积为3，求 的面积；
(3)若 ，求 的值.
17. (本小题 15 分) 已知 分别为 三个内角 的对边, 且 .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ， ，求线段 长度的最小值.
18. (本小题 17 分) 几何体 是四棱锥， 为正三角形， ， ， 为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得 四点共面？ 若存在,求出 的值;
若不存在, 请说明理由.
19. (本小题 17 分) 如图，半圆 的直径为 2， 为直径延长线上一点， 为半圆上任意一点,以 为一边作等边 .
(1)当 时，
① 求 的面积；
②若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
深圳实验学校高中部 2025-2026 学年度第二学期期中考试 高一数学 答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
C D B B C A D B AC ABD ABC 222
15.(1)如图所示，将五面体 拆成三棱锥 和四棱锥 ， 在三棱锥 中，可得 ，
又由正方体 中， 平面 ， 且 为 的中点,所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离,即三棱锥的高为 1, 在四棱锥 中,可得 ,
又由正方体 中, 平面 ,且 为 的中点,
所以 到平面 的距离等于为 ,即四棱锥 的高为 ,
所以五面体 的体积 .
(2)设 ， ，则平面 平面 ，
又因为 平面 ,且 平面 ,所以 ,在矩形 中，由 ， 可得 ,又因为 ,所以四边形 为平行四边形,所以 , 所以 .
16.(1)由已知
分别为 重心，所以
(2)由(1) 所以 ，所以
(3) 分别为 的外心，设 中点
17.(1)因为 ，
所以 . 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即 ,
即 . 因为 ,所以 ,所以 .
(2)由(1)得 ，因为 的面积为 ，即 ，
所以 . 因为 ,所以 ,所以
.
当且仅当 ,即 时,等号成立,所以线段 长度的最小值为 .
18.(1)记 为 的中点，连接 ，如图 1，因为 分别为 的中点，故 ， 因为 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 为正三角形，所以 ， ，
又 为等腰三角形, ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,又 平面 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 , 故平面 平面 ,
图 2
又因为 平面 ,故 平面 .
(2)延长 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 过点 作 交 于点 ，
如图 2,因为 平面 平面 ,
平面 平面 ,
所以 ,此时 四点共面,
由 (1) 可知, ,得 ,
故 ，又因为 ，所以 ， 则有 ，故 .
19.(1)当 时，由条件知 ，
所以 ,
所以
①三角形 的面积为 .
②如图，以 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，
作 交 于点 ,
由①知 ，同理 ，
所以 ,
所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
(2)设 与 相交于点 ，则 且 ，
所以 ,
又 ,所以 ,所以 , 所以 ,
设 ,
由余弦定理知 ,
又 所以 ,
即
当且仅当 ,即 ,即 时, 取得最小值为 .
当且仅当 ,即 ,即 时, 取得最小值为 .

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