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数学
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则 的子集个数为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 在平行四边形 中, 是 中点, 是 上靠近 的三等分点,则
A. B.
C. D.
3. 设 ,则 的最小值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
5. 在 的展开式中, 的系数为
A. -10 B. 0 C. 10 D. 20
6. 已知椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ,从 发出的光线,经 上的点 反射后,反射光线再经 上的点 反射. 若经过这两次反射后, ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
7. 若函数 则 的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 在等比数列 中， ,若不等式 成立,则 的最小值为
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 的最小值为 ,且过点 , 其部分图象如图所示,将 的图象向左平移 个单位长度得函数 的图象,则
A. 的最小正周期为 B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
10. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,点 是圆 上的动点,则下列说法正确的是
A. 的周长是 10
B. 若焦点在 轴上的双曲线 与 有相同的渐近线,且 的焦距为 4,则 的方程为
C. 若 ,则点 的轨迹方程是
D. 若点 是 右支上的动点,则 的最小值是 2
11. 如图,球 的半径为 为球面上三点,劣弧 的长度为 ,设 。表示以 为圆心,且过 的圆,同理,圆 的劣弧 的长度分别记为 ,曲面 (阴影部分) 叫做曲面三角形,若 ,则称其为曲面等边三角形,线段 , 与曲面三角形 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥,记为球面 . 设 ，则下列结论正确的是
A. 若平面三角形 是面积为 的等边三角形,则
B. 若 ,则
C. 若平面三角形 为直角三角形,且 ，则 为常数
D. 若 ,则球面 的体积 满足
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 若 ，则 的虚部是_____.
13. 若函数 是奇函数，则实数 _____.
14. 在 中, 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高.
16. (15分)如图，在圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径， 是圆柱的一条母线， ，且点 不与 ， 两点重合.
(1)证明:平面 平面 .
(2)若平面 与平面 的夹角为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15分)如图，已知抛物线 ( ) 过点 ，直线 经过 的焦点 ，且 与 在第一象限的交点为 . 以 为圆心, 为半径的圆与 轴负半轴交于点 .
(1)求 的方程；
(2)若坐标原点 到 的距离为 ，求 的方程；
(3)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由.
18.(17 分)蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关. 现收集到一只蝗虫的产卵数 (单位:个)和温度 (单位:℃)的 8 组观测数据，制成图 1 所示的散点图. 现用两种模型: 分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图 2 所示的残差图.
图 1 产卵数散点图
图 2 两种模型的残差图
整理收集到的数据，得到下表:
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 .
(1)根据残差图，模型_____(填“①”或“②”)的拟合效果更好，说明理由. 根据所选择的模型,利用上表中的数据,求出 关于 的回归方程.
(2)据统计，该地每年平均温度达到 以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治. 设该地每年平均温度达到 30 ℃ 以上的概率为 ,该地今后 年内恰好需要 2 次人工防治的概率为 .
① 求 取得最大值时对应的概率 ;
② 当 取最大值时，设该地今后 5 年需要人工防治的次数为 ，求 的均值和方差.
附:对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .
19. (17分)已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
(3)当 时，定义数列 满足: ， .
(1) 证明: .
(II)结合(I)的结论，证明: ， .
一、选择题
1. D由于集合 所以 的子集个数为 .
2. C 因为四边形 为平行四边形,所以 ,所以
3. 由题意得,
当且仅当 即 时取等号,故 的最小值为 9 .
4. 当 时, . 显然为增函数; 当 时, , 为开口向下的二次函数。对称轴为 . 即 :
当 时. ,即 . 解得 . 故 的取值范围是 .
5. B 由题意得. 的通项 . ,所以 的通项为 . 要得到 。需满足 即 ,代入得系数为 ;
又 的通项为 ,要得到 。需满足 即 。代入得系数为 . 两部分系数相加为 0 . 因此, 的系数为 0 .
6. D 因为 ，所以 ,设 ,则 , .
因为 ,所以 . 所以 . 所以 . ,又因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 所以 . 所以 的离心率为 .
7. 令 ,则 ,即 ,解得 或 .
当 时, . 求导得 ,令 ,即 ,解得 , 故当 时, ,当 时, . 所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,且 :
当 时, 在 上单调递增, 且 ,所以 有 3 个解， 有 2 个解,所以 的零点个数为 5 .
8. D 设 的公比为 ,由 , ,得 . 则 . 令 ,即 ,记
当 为偶数时, ,此时 无正整数解:
当 为大于 2 的奇数时. ,由 . 解得 , 又 为奇数,所以 的最小值为 27 .
二、选择题
9. BCD .
又 最小值为 ,则 . 故 . 即 ,解得 或 . 由图知 ,故 ,故 .
所以 . 又 . 则 . 且点 在逆减区间内,所以 ,解得 . 又 ,则 ,且 ,故 .
所以 . 则 . 故 A 错误.B 正确;
为奇函数。
又 ,所以 为偶函数，故 C、D 正确.
10. CD 对于 ,由题意得圆心 , ,则
. 所以 的周长为 。故 错误；
对于 B，C 的渐近线方程为 ，所以设 的方程为 。因为 的焦距为 4,所以 ,解得 ,所以 ,解得 . 所以 的方程为 ,即 ,故 错误;
对于 C. 因为 . 所以 的轨迹为以 为焦点的椭圆,所以长抽 . 即 ,焦距 . 即 . 又 ,所以 的轨迹方程是 . 故 C 正确;
对于 D. 因为 是 右支上的动点,所以 . 故 D 正确.
11. 对于 ,因为等边三角形 的面积为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,则 . 故 A 错误:
对于 B. 由 。可得 。所以 . 故 B 正确:
对于 ,由余弦定理得 因为 ,所以 ,
即 , 化简得 ,故 正确;
对于 ,由 ,可得 . 故 . 由正弦定理可得 的外接圆半径为 。点 到平面
的距离 ,则三枚锥 的体积 ,又由球面 的体积 ,所以球面 的体积应小于以 为高的正四面体的体积 ,所以 ,故 D 正确.
三、填空题
12.4依题意: ,故 ,故 的虚部是 4 .
13.1 . 所以 . 因为 是奇函数,所以 , ,即 ,所以 . 即 . 所以 解得 。此时 的定义域为 ,关于原点对称,满足奇函数要求, 符合题意.
14.3由余弦定理及基本不等式,得 ,所以 . 于是由正弦定理,得原式 . 令 , 则 ,当且仅当 . 即 时等号成立。故原式的最小值为 3 .
四、解答题
15. 解: (1) 由正弦定理,可得 . ,
因为 ,所以 . (3 分) 两边取平方,可得 . 故 .
因为 ,所以 .
(6 分)
(2)由(1)可得 .
由 ,可得 .
则 . (9 分)
又 ,故 为锐角.
则 .
所以
.
又因为 ,所以 .
则 边上的高为 .
(13 分)
16.(1)证明:因为 是底面圆 : 上的一条直径， 所以 .
因为 上底面圆 ，
所以 底面圆 ,
因为 底面圆 ,所以 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 .
所以平面 平面 . (5 分)
(2)解:因为 底面则 底而圆 .
所以 .
所以 为二面角 的平面角.
故 .
又 ,所以 为等边三角形.
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴. 建立如图所示的空间直角坐标系.
(7 分)
由 . 设 . 则 .
则 .
.
则 .
设平面 的法向量为 ,
则 即 解得 0,令 ,得 . 故 . (12 分)
设直线 与平面 所成的角为 0 .
则
即直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分)
17. 解:(1)因为点 在 上. 所以 ,解得 ,
所以 的方程为 . (3 分)
(2)由(1)知 ,设 的方程为 . 即 , (5 分)
因为坐标原点 到 的距离为 ,所以 ,解得 , 所以 的方程为 或 .
(8 分)
(3)直线 与 相切. (9 分)
理由如下:
设 . 则 .
由 ,得 ,解得 . 即 .
所以直线 的方程为 . (12 分) 联立
消去 得 ,
所以
,
所以直线 与 相切. (15 分)
18. 解:(1)①. (1 分)
理由如下: 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄,所以模型①的拟合效果更好. (3 分) 令 ,则 .
(4 分)
所以 ,(5 分) 因此 关于 的线性回归方程为 4.3,
所以产卵数 关于温度 的回归方程为 . (7 分)
(2)①由题意得， . (8 分)
所以 .
. (10 分)
令 ,得 .
故当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
(12 分)
所以 取得最大值时对应的概率 . (13 分)
②由①知，当 时， . (14 分)
即每年需要人工防治的概率为 ,且 服从二项分布 . (15 分)
所以 . (17 分)
19.(1)解: .
① 当 时， ， 在 上单调递增:
② 当 时，令 ，解得 .
当 时, 单调递增:
当 时, 单调逆减,
综上,当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减. (3 分)
(2)解:若 . 当 时， ，显然不满足 恒小于等于 0,因此 .
由 (1) 知,当 时, . (4 分)
令 ,则 ,只需 ,
令 ,则 .
由 ,得 ,由 ,得 .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 处取到最小值 0 . 于是 ,故 .
所以 ,即实数 的取值范围为 .
(7 分)
(3)证明:(I)当 时， ， 由( 1 )知 在 上单调递增,且 ,
因为 ,所以 ,所以 >0.
于是 . . (8 分)
设 ,则 ,
要证 .
即证 ,
即证 .
不等式两边同时乘 .
整理得 .
令 . 容易验证 ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
又 ,故 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,原不等式得证. 分
(ii) 当 时, ,满足 , 当 时,由 (1) 得 ,
所以 . .
所以 . 因此 . (15 分)
易证 ,于是 .
所以当 时, ,
综上, . (17 分)

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