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高一数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版必修第一册至必修第二册第七章。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ,则集合
A. B.
C. D.
2. 记 的内角 的对边分别为 ，且 ，则
A. B. C. D.
3. 为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
4. 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知单位向量 满足 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
6. 已知 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3
7. 若 ,且 ,则
A. B. C. D.
8. 台风中心 位于 地(视为质点)正西方向 处，正向北偏东 方向移动，速度的大小为 ，距离台风中心 范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么 地遭受台风影响的持续时间为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ,则
A. 的虚部为 -1 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 如图，已知函数 的图象由曲线 与线段 构成，则下列结论正确的是
A. 函数 有 2 个零点
B. 函数 有 2 个零点
C. 函数 有 2 个零点
D. 若 ,则 的取值范围为
11. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是
A.
B. 外接圆的半径为
C. 的最大值为 4
D. 若 的外心为 ,则 的最大值为 4
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 三点共线，则 _____▲_____.
13. 若 ，则 _____▲_____.
14. 已知函数 的部分图象如图所示， ， 是图象上的两个顶点， 为坐标原点，且 ，则 _____▲_____. 若点 分别在曲线 上, 关于 轴上的点 对称,且 ,则点 的横坐标为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知指数函数 的图象、对数函数 的图象分别经过点 .
(1)求 ， 的解析式；
(2)若函数 ，求不等式 的解集.
16. (15分)
已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 在 上的值域为 ，求 的取值范围.
17. (15分)
(1)若 是关于 的方程 的一个根，求 ；
(2)若对任意 ，关于 的方程 都有纯虚数根，求出该纯虚数根.
18. (17分)
如图，在梯形 中， 分别是边 上不与端点重合的点,且 .
(1)用 ， 表示 ；
(2)若 与 交于点 ，求 ；
(3)若 ，求 的最小值.
19. (17分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 .
(2)已知 为 边上的一点，且 ， .
(i) 求 ;
(ii) 若 是线段 上(不与 重合)的一动点，求 的最小值.
高一数学参考答案
1. .
2. 由正弦定理 ,得 .
3. 把函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象.
4. D 将 两边平方,得 ,得 ,所以 .
5. A 由 ,得 ,得 ,所以 在 上的投影向量为 .
6. 令 ,得 . 令 ,得 .
故 .
7. A 由 ,得 ,得 . 由 ,得 ,所以 . 故 .
8. B 如图,假设台风中心 到达 点时, . 设 ,易得 . 由余弦定理 ，得 ，得 或 300，所以 地遭受台风影响的持续时间为 .
9. 的虚部为 2,
A 错误. 正确. 正确. 在复平面内对应的点 位于第二象限, D 错误.
10. ABD 的图象与直线 有 2 个公共点,所以函数 有 2 个零点, A 正确.
的图象与函数 的图象有 2 个公共点,所以函数 有 2 个零点, B 正确.
的图象与函数 的图象有 1 个公共点,所以函数 仅有 1 个零点, C 错误.
函数 的图象经过定点 ,当 时, ,当 时, 是增函数,所以 ,得 ,所以 的取值范围为 , 正确.
11. 由题意得 ,由正弦定理得 ,
得 .
因为 ,所以 ,所以 .
易得 ,则 ,由 ,得 ,所以 错误.
设 外接圆的半径为 ,由 ,得 正确.
由余弦定理 ,得 ,当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 4，C 正确.
. 因为 ，当且仅当 时,等号成立,所以 ,所以 的最大值为 4, D 正确.
12.4 由题意得 . 因为 三点共线,所以 ,得 ,得 .
13. .
14. 由 ,得 ,结合 的图象可知 .
由 ,得 . 因为 ,所以 . 如图,设 关于 的对称点为 ,则 . 因为 关于 轴上的点 对称,所以 ,所以 关于直线 对称, 得 ,即 . 又 ,解得 ,所以点 的横坐标为 .
15. 解: (1) 设 . 由 ,得 . 2 分由 ,得 , 4 分所以 . 6 分
(2)由(1)得 ，易得 在定义域 上单调递增. 8 分
因为 , 10 分
所以由 ,得 ,得 . 12 分
故不等式 的解集为 . 13 分
16. 解: (1) 由 ,得 . 2 分
由 , 4 分
得 , 6 分
所以 的单调递增区间为 . 7 分
(2)由 ，得 . 9 分
因为 在 上的值域为 ,且 , 11 分
所以 ， 13 分
得 ,即 的取值范围为 . 15 分
17. 解: (1) 由题意易得方程的另一个根为 , 2 分
由韦达定理得 5 分
得 7 分
(2)设该纯虚数根为 ，且 ， 8 分
则 ,得 , 9 分
所以 11 分
得 13 分
故该纯虚数根为一i. 15 分
18. 解: (1) . 3 分
(2)由 ,得 . 5 分
设 ,则 . 7 分
因为 三点共线,所以 ,得 . 9 分
故 . 10 分
(3) 设 ，则 ， 12 分得 . 13 分
. 15 分
当 时, 取得最小值,且最小值为 . 17 分
19. 解: (1) 由正弦定理得 , 1 分
得 , 2 分则 . 由 ,得 ,所以 ,故 . 3 分
因为 ,所以 . 4 分
(2)(i)在 中，由正弦定理得 . ① 6 分
在 中,由正弦定理得 . ② 8 分
因为 ,所以 . 9 分
得 . 10 分
(ii) 由余弦定理 ,得 . 11 分
结合 ,得 . 12 分
如图，作 (点 在 的下方)， ，垂足为 ，过点 作 ,垂足为 . 13 分
14 分
则 . 故 的最小值为 . 17 分

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