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商洛市2026年高三年级第二次模拟考试 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 设 ，则在复平面内， 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知某种商品的广告费支出 (单位: 万元)与销售额 (单位: 万元)之间有如下对应数据:
4 6 7 8 10
32 42 52 62 72
根据上表可得经验回归方程 ，据此估计，当投入 12 万元广告费时，销售额为
A. 83 万元 B. 85 万元 C. 86 万元 D. 87 万元
4. 已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线 ， 为垂足，则 的中点 所在曲线的方程为
A. B. C. D.
5. 已知正数 满足 ,则 的最小值为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
6. 已知圆锥 的底面半径为 1,母线长为 3,圆柱 的下底面在圆锥 的底面上,上底面圆 的圆周在圆锥 的侧面上,则圆柱 的侧面积的最大值为
A. B. C. D.
7. 在平行四边形 中, 是 的中点, 是 上靠近 的三等分点, 交 于点 ,若 ,则
A. B. 2 或 C. D. 或
8. 已知直线 是函数 和函数 图象的公切线,则
A. e B. 3 C. 4 D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线 的左、右顶点分别为 ,右焦点为 ,点 在 上, 与 轴垂直. 若直线 的斜率是直线 的斜率的 3 倍,且 , 点 在 的左支上,则
A. B. 的渐近线方程为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11. 若数列 满足 为常数 ,则称数列 为 “调和数列”. 已知各项均为正数的数列 满足 ,则下列说法正确的是
A. 数列 是“调和数列”
B. 数列 是递增数列
C. 对任意的 ,都有
D. 若 ，则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 _____.
13. 某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这 5 种兴趣课,小胡和小张两位同学商量每人选报 2 门兴趣课,若两人所选的兴趣课至多有一门相同,且小胡必需选 “围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有_____种. (用数字作答)
14. 设函数 ，则关于 的方程 根的个数为_____，其所有根之和的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知函数 图象的相邻两对称轴之间的距离为 .
(1)求 ；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的 (横坐标不变),得到函数 的图象,若 在 上恒成立, 求实数 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 为等边三角形,平面 平面 ,点 是棱 上的一点.
(1)求证: 为直角三角形；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
18.(本小题满分 17 分)
国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动. 在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2 个白色小球和 1 个红色小球, 每次随机抽取一个小球后放回. 抽奖规则如下: 设定抽中红球为中奖, 抽中白球为未中奖; 若抽到白球, 放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把 3 个球的颜色重新变为 2 个白色小球和 1 个红色小球的初始状态. 记第 次抽奖中奖的概率为 .
(1)求 和 ；
(2)是否存在实数 ，使得对任意的不小于 4 的正整数 ，都有 若存在,则求出 的值; 若不存在,请说明理由;
(3)若累计中奖 4 次及以上可以获得一张优惠券,则从初始状态下连抽 9 次获得一张优惠券的概率为多少
19. (本小题满分 17 分)
如图所示，已知抛物线 是抛物线上的四个点，其中 在第一象限 ( 在 的左侧), 在第四象限,满足 ,线段 与 交于点 . 记线段 与 的中点分别为 . 当 经过 的焦点 且垂直于 轴时, .
(1)求 的准线方程；
(2)求证: ；
(3)若 ，求 的面积.
商洛市2026年高三年级第二次模拟考试 数学 参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 D.
2. A 显然 ,故 ,其对应的点位于第一象限. 故选 A.
3. 由上表可知: ,得样本点的中心为 ,代入经验回归方程 ,得 ,所以经验回归方程为 ,将 代入可得 ,即估计当投入 12 万元广告费时,销售额为 87 万元. 故选 D.
4. A 设 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 . 故选 A.
5. 由 ,得 ,又 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立. 故 的最小值为 9 . 故选 D.
6. 由圆锥 的底面半径为 1,母线长为 3,得高为 ,设圆柱 的底面半径为 ,高为 ,则 ,圆柱 的侧面积 ,所以 时, . 故选 C.
7. B 由条件知 ,所以 ,设 ,则 ,所以 或 ,所以 或 . 故选 B.
8. 由题知 ,令 ,得 ,将 代入 ,得 ,所以直线 与函数 的图象的切点为 ,所以 . 设直线 与函数 的图象的切点为 ,又 ,所以 . 由 ,知 ,因为函数 单调递增,且 ,所以 , ,所以 . 故选 C.
9. 因为 ,所以 ,故 正确; ,故 B 正确; ,故 C 错误; ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 设 ,则 ,所以 的斜率为 的斜率为 ,所以 ,又 ,所以 , ,渐近线方程为 , A 错误, B 正确; 的左焦点为 , 正确; 设 ,则 ,所以 时, 的最小值为 的最小值为 , D 错误. 故选 BC.
11. ACD 因为各项均为正数的数列 满足 ,所以 ,所以数列 是“调和数列”,故 正确; 若 满足各项均为正数,且 ,但 是递减数列,故 错误; 由 为等差数列,所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号,故 正确; 若 ,所以 ,所以 . 令 ,所以 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 ,所以 ,即 在 时恒成立,所以 ,即 ,即 ,即 ,所以 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12.2 法 1: 由 ,得 ,由余弦定理,得 ,即 ,解得 或 (舍).
法 2: 由 ,得 ,由正弦定理,得 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 为锐角,所以 ,所以 ,所以 .
13.36 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时:当相同的兴趣课为“围棋”时，有 种，当相同的兴趣课不是“围棋”时，有 种，所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有 24 种. 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时,有 ,所以两位同学不同的选课方案有 .
14. (3 分) 令 ,可得 ,因此 的根必然满足 . 对于 ,当 ,解得 . 当 ,解得 ,故有两根. 且 ,令 ,则 ,令 ,则 在 上是减函数,所以当 时, 1,所以 ,又因为 时, ,所以 ,且当 时, ,又 时, ,所以 ,故答案为 .
15. 解:(1)因为 的图象相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，解得 . 4 分
(2)由(1)知 ， 6 分
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得 ，
所以 . 8 分
在 上恒成立,可化为 在 上恒成立. 9 分
当 时, , 10 分
则 解得 ,
故实数 的取值范围为 . 13 分
16.(1)证明:取 的中点 ，连接 ，如图所示，因为 为等边三角形, 为线段 的中点,所以 ,又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 , 3 分
又 平面 ,所以 . 4 分
在 中, ,由余弦定理可得
因为 ,所以 ,又 ,所以 ,又 平面 ,所以 平面 , 6 分
又 平面 ,所以 ,故 为直角三角形. 7 分
(2)解:由(1)得 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系,如图所示,则 ,
设 ,则 .
设平面 的一个法向量 ,则 令 ,解得 ,
所以平面 的一个法向量 . 10 分
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ,
所以 , 12 分
解得 或 (舍), 14 分
所以 ,即线段 的长为 . 15 分
17. 解: (1) 的定义域为 时, , 2 分
令 ,易知 在 上单调递减,且 , 4 分
当 时, ,当 时, , 5 分
所以 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 6 分
(2)由 有两个零点得,方程 在 上有两个根,所以 ，所以 在 上有两个根. 7 分
设 , 8 分
则 ,当 时, ,当 时, , 10 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,且 的极大值为 , 12 分
又 ,当 时, ,且 时, .
所以要使方程 在 上有两个根,则直线 与 的图象有两个交点,
所以 , 14 分
故实数 的取值范围为 . 15 分
18. 解: (1) 由题意知 , 2 分
4 分
(2)因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始,若第 次中奖,此时第 次抽奖中奖的概率为 ,
从初始状态开始,若第 次未中奖而第 次中奖,此时第 次抽奖中奖的概率为
从初始状态开始,若 次未中奖且第 次未中奖,则第 次抽奖中奖的概率为 .
综上,对任意的 , 8 分
又 ,所以 . 10 分
(3)由题意知每抽三次至少有一次中奖, 故连抽 9 次至少中奖 3 次, 所以只需排除 3 次中奖的情况即可获得一张优惠券,另外每两次中奖的间隔不能超过三次,每次中奖后袋中的球会回到初始状态,
从初始状态开始,抽一次中奖的概率为 ,
从初始状态开始抽两次,第一次未中奖而第二次中奖的概率为 ,
从初始状态开始抽三次,前两次均未中奖而第三次中奖的概率为 ,
用 表示第 次,第 次,第 次中奖,其余未中奖,
则三次中奖的所有情况如下: ,
故仅三次中奖的概率为: ,
15 分
所以从初始状态下连抽 9 次获得一张优惠券的概率为 . 17 分
19.(1)解:当 经过 的焦点 且垂直于 轴时， ，
所以线段 是 的通径,即 ,得到 , 2 分
则 的准线方程为 . 3 分
(2)证明:设 ， ， ， .
若 ,则直线 的斜率不存在,
由对称性,可知 均在 轴上,则 三点共线; 4 分
若 ,则直线 的斜率存在,直线 的方程为: ,结合 ,
则 . 5 分
同理可得 的方程为 的方程为 的方程为 6 分
设 ,因为 ,
所以 ,则 .
则直线 与 轴平行. 7 分
设直线 与线段 的交点分别为 .
将 代入直线 的方程,则 ;
将 代入直线 的方程,则 . 8 分
又 ,则 两点重合,
即 为线段 与 的交点 ,所以 . 10 分
(3)解:由(2)，直线 与 轴平行，则 .
又 ,同理可得 ,
又由 ,
则 ,
.
12 分
由 ,则 ,
即 . 13 分
则
. 14 分
如图，过 作 的平行线，交 于点 ，则四边形 为平行四边形，
结合 ,则 .
因为 ,则 ,结合 ,
则 ,又 为 的中点,则 为 的中点.
则 ,则 的面积为 6 . 17 分

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