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高三数学试卷
注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 满足 ，则
A. B. C. D.
2. 将复数 的实部与虚部进行交换,得到的复数为
A. B. 5-15i C. -5-5i D.
3. 若向量 满足 ,则
A. (-2,4) B. C. D.
4. 已知奇函数 在 上单调递减，则
A. B.
C. D.
5. 已知 均为四边形 所在平面外一点,且 平面 平面 ,则下列直线与 一定不垂直的是
A. B. C. D.
6. 设双曲线 的左焦点为 ,过 作 的一条渐近线的垂线,交 轴于点 . 若 ,则 的离心率为
A. 2 B.
C. D.
7. 某工作室有 4 名插画师和 3 名建模师, 两类人员完全不重叠, 现将其分成 3 个小队前往 A, B, C三个展会进行现场创作，要求每个小队必须同时包含至少 1 名插画师和至少 1 名建模师， 则不同的人员派遣方案种数为
A. 192 B. 196 C. 216 D. 256
8. 已知点 为圆 上位于第一象限的动点,设 ,则 “ ” 的一个充分不必要条件可以是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为 0.9 , 现共有 200 个包裹需要依次分拣,每个包裹分拣正确与否相互独立,设随机变量 为分拣正确的包裹数,则
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 ,则
A.
B.
C. 均为增函数
D. 函数 存在极值
11. 在正四棱锥 中, 是 的中点, 为底面的中心,点 在四棱锥 的外接球 (球 ) 的球面上,点 在四棱锥 的内切球的球面上,则 A. 球 的表面积为
B. 平面 将该四棱锥 分成两部分，体积较小的部分也是一个四棱锥
C. 的最大值为
D. 为定值
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 设 为抛物线 的焦点，点 在 上，则 _____▲_____.
13. 已知函数 ，则 的所有零点之和为_____▲_____.
14. 若 均为正数，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的最大值.
16.(15分)
已知函数 .
(1)设 .
(i) 求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求 的单调区间.
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
17.(15分)
为研究大学生使用 AI 学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校 100 名大学生，数据如下:
单位:人
使用 AI 学习工具的情况 自主思考能力 合计
强 一般
经常使用 22 28 50
不经常使用 34 16 50
合计 56 44 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，分析大学生使用 AI 学习工具的情况是否与自主思考能力有关.
(2)小余之前从未使用过 学习工具,他计划开始尝试使用 学习工具进行学习,他在第 天使用 学习工具的概率为 ,设每天是否使用 学习工具进行学习相互独立. 设小余前 3 天中使用 学习工具进行学习的天数为 ,求 的分布列.
参考公式: .
参考数据:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.841 10.828
18. (17 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上位于第一象限的点, ,点 在 上, 分别为 的左、右顶点. (1)求 的方程.
(2)设 为坐标原点，直线 与 交于 ， 两点,将坐标平面沿 轴翻折成一个直二面角,如图所示.
(i) 在翻折前,当 时,线段 的中点为 ,求翻折后 时二面角 的余弦值；
(ii) 若 ，翻折后， ，求 的面积.
19.(17 分)
在正项数列 中,记 ,若 为非零常数列,则称 存在等比型递推结构,数列 为 的结构常数数列.
(1)试问数列 是否存在等比型递推结构？请说明理由.
(2)已知正项数列 存在等比型递推结构,且 .
(i) 求 的通项公式;
(ii) 设 ,记 的前 项和为 ,证明: 对任意 恒成立.
2026 届高三年级高考适应性训练试卷 数学参考答案
1.C 因为 ,所以 ,所以 .
2. A ,则所求复数为 .
3.B 设 ，则 ，解得 ，所以 .
4. A , A 正确. , B 错误. , C 错误. 错误.
5.C 连接 (图略)，因为 平面 ，所以 ，所以 与 一定不垂直.
6. D 不妨设直线 的方程为 ，则 ，因为 ，所以 ,则 ,所以 的离心率为 .
7. C 不同的人员派遣方案种数为 .
8. 因为 ,所以 ,设 ,则 ,根据题意易得 . 若 ,则 ,即 ,所以 ,所以 ,即 .
9. ABD 根据题意易得 , A 正确. , B 正确, C 错误. 正确.
10. 当 时, 错误. 易得 在 , 上单调递增,所以 在 上单调递增,则 正确. ,所以 在 上单调递增, 正确. 0,则 在 上单调递增,不存在极值, D 错误.
11. BCD 连接 ,则 平面 . 易知 在 上, ,设 ,在 中, ,得 ,所以球 的半径 ,表面积为 错误. 取 的中点 ,连接 ,易得 ,则四边形 即为平面 截该四棱锥所得的截面,由图可知体积较小的部分为四棱锥 , B正确. . ,则 所以 正确. 设四棱锥 内切球的半径为 ,则 ,得 ,设内切球的球心为 ,则 ,则 正确.
12. .
13. 由 ，得 ，因为 ，所以 或 ,所以 的所有零点之和为 .
14. 设 . 由 ,得 ,当且仅当 时,等号成立,
所以 ,令 ,解得 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,故 的最大值为 .
15. 解: (1) 根据正弦定理,得 ,即 . 3 分根据余弦定理,得 , 5 分因为 ,所以 . 7 分
(2)因为 ， 9 分
所以 , 11 分
当且仅当 时，等号成立， 12 分所以 的最大值为 13 . 13 分
16. 解:(1)若 ,则 . 1 分
(i) , 2 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 4 分
(ii) 令 ,得 ,所以 的单调递增区间为 ; 7 分
令 ,得 ,所以 的单调递减区间为 . 9 分
(2)(方法一)若 恒成立，则 ，即 恒成立. 10 分
设 ,则 , 11 分
当 时, 在 上单调递增, 12 分
当 时, 在 上单调递减, 13 分
所以 , 14 分
则 ,即 ,所以 的取值范围为 . 15 分
(方法二) 设 ,
则 . 10 分
令 ,得 , 11 分
令 ,得 , 12 分
则 , 14 分
得 . 15 分
17. 解:(1)零假设为 : 大学生使用 AI 学习工具的情况与自主思考能力无关.
5 分
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为大学生使用 AI 学习工具的情况与自主思考能力有关. 7 分
(2) 的可能取值为 0,1,2,3, 8 分
9 分
11 分
13 分
14 分
故 的分布列为
0 1 2 3
15 分
18. 解: (1) 由题意得 ,即 , 1 分
因为点 在 上,所以 , 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(i)依题意得 ，由 得(3 + 4 分所以 , 5 分解得 或 (舍去),
将 代入 ，解得 或 ， 6 分 ,翻折后,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 7 分设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 9 分
易得平面 的一个法向量为 . 10 分
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
,所以二面角 的余弦值为 . 11 分
(ii) 由 得 ,得 .
翻折后, ,
则 , 12 分
, 13 分
解得 . 14 分
. 17 分
19.(1)解: 设 , 3 分
所以数列 存在等比型递推结构. 4 分
(2)(j)解:因为数列 存在等比型递推结构，所以可设 ，
设 ,则 ,所以 为等比数列,
,所以 ,解得 , 5 分
所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, , 6 分所以当 时, , 8 分即 ,因为 ,所以 . 9 分
(ii) 证明: 由 (i) 得 ,所以 10 分
所以
分
则 . 12 分
所以要证 ,只需证 . ... 13 分
设函数 ,则 ,设 ,则
1,当 时, ,则 在 上单调递增,所以 , 14 分
所以 在 上恒成立,则 在 上单调递增,所以 ,所以 在 上恒成立, 15 分
令 ,得 ,即 16 分
所以 ,即 ,
所以对任意 恒成立. 17 分

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