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2025级高一4月期中质量检测
数学 (人教A版) A
满分150分，时间120分钟。请在答题卡上作答。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知平面向量 ，若 ，则实数 的值为( )
A. B. 7 C. 1 D. -1
2. 在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 如图，在 中， ， 为 的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 下列说法中, 正确的是 ( )
A. 有一个面为多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体是棱锥
B. 用一个平面去截圆锥, 圆锥底面与截面之间的部分是圆台
C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
5. 已知平面向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
6. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. 2i B. -2i C. 2 D. -2
7. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为 ( )
A. B. C. 3 D.
8. 已知平面向量 ，且 ，已知向量 与 所成的角为 ，且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若复数 满足 ,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数 是关于 的方程 的一个根
10. 如图， 为四边形 的斜二测直观图,其中 . 将四边形 以 为旋转轴，旋转一周得到几何体 . 则下列说法正确的有( )
A.
B. 几何体 是圆台
C. 几何体 的体积为
D. 几何体 的侧面积为
11. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601~1665)于1643年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点. 已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于120°时，使得 的点 即为费马点. 在 中， 角 的对边分别为 ，且 ，点 是 的 “费马点”. 记 ，则下列说法正确的有( )
A. B. 若 ,则 的面积为
C. 若 ，则 D. 若 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知复数 满足 ，则 _____.
13. 已知 为 的重心， ，则 _____.
14. 如图几何体是圆锥 的一部分，其中 ， ，一只蚂蚁点 出发沿曲面运动到点 ，则这只蚂蚁行驶的最短路程是_____ .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 外接圆的半径为 ， ，求 的面积.
16.(15分)
已知复数 .
(1)若复数 是纯虚数，求实数 的值；
(2)若在复平面内，复数 表示的点在第二象限，求 的取值范围；
(3)当 时，复数 所对应的平面向量为 ；当 时，复数 所对应的平面向量为 ，若向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
17. (15 分)
已知 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， 且 三点共线.
(1)求 的值；
(2)若向量 的夹角为 ，且 ，求向量 与 的夹角的余弦值；
(3)已知 ， ，点 的坐标为 ，若四边形 为平行四边形，求点 的坐标.
18.(17分)
如图，现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥 ，下部是正四棱柱 ，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 倍， .
(1)若 ， ，求该几何体的体积与表面积；
(2)若 ，正四棱锥的侧棱长为 6，且 ， 分别是线段 ， 上的动点，求 的最小值.
19. (17 分)
记锐角 的内角 的对边分别为 .
(1)若 ，求证: ；
(2)当 ， 时，求 面积的最大值；
(3)若 ，且 ，其中符号 表示不大于 的最大整数,求 的值.
2025级高一4月期中质量检测
数学 (人教A版) 参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C A D D C B
1. A 由题意得, ,解得 . 故选 A.
2. 由题意得, . 故选 B.
3. C 由 ,得 ,由 为 的中点,得 . 故选 C.
4. A 只有当平面与底面平行时，所截部分才是圆台，故 B 错误；上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱才是正四棱柱, 故 C 错误; 斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形, 故 D 错误. 故选 A.
5. 由题意得, ,则 ,所以 在 上的投影向量为 . 故选 D.
6. D 设复数 ，由 ，得 ，两边平方得 ，解得 ，故复数 的虚部为 -2 . 故选 D.
7. 在 中, ,由 得 ,所以 . 因为 , ,即 ,所以 ,则 ,所以 ,当且仅当 , 即 时取等号,由 得 ,符合条件,所以 的最小值为 3 . 故选 C.
8. 由题意得, ,由 ,得 ,即 ,化简得 . 令 , 开口向上,要使 恒成立,则 ,解得 . ,又 ,则 的最小值为 . 故选 B.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABD BC ABC
9. ABD 由题意得, ,即 ,则 ,则 ,故 A 正确; ,故 B 正确; ,所以 在复平面内对应的点为 ,位于第三象限,故 错误; 设复数 是关于 的方程 的一个根,则另一个根为 ,根据韦达定理,得 ,所以 ,所以复数 是关于 的方程 ,即 的一个根,故 正确. 故选 ABD.
10. 在四边形 中，易得 . 把直观图还原为原平面图形，则四边形 是直角梯形,其中 ,则 ，故 A 错误；因为 ,则几何体 是上底半径为 1, 下底半径为 3，高为 的圆台，故 B 正确；几何体 的体积为 ,故 C 正确; 几何体 的侧面积为 ,故 D 错误. 故选 BC.
11. ABC 由 和正弦定理,得 . 即 , ,即 ,得 ,故 A 正确; 为正三角形,边长 ，此时三角形费马点与三角形的中心重合,则 ,故 正确; 设 , ,则 , . 由 ,得 ，则 ，故 C 正确；由余弦定理得 ,又 ,则 或 . 在 中,由余弦定理得,
或 ,结合 可得 ,则 ,即 , ,故 D 错误. 故选 ABC.
三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.
设 ,则 ,则 ,所以 ,即 .
13.
如图,延长 交 于点 ,则 为 的中点,
,
,
.
14.
将不完整的圆锥侧面展开,设其圆心角为 ,则 ,解得 ,即 , 如图. 在 中， ,则 ,即这只蚂蚁行驶的最短路程是 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
(1)由 ，得 . (1 分)
由正弦定理,得 ,即 , (3 分)
由余弦定理,得 . (5 分)
因为 ,所以 . (7 分)
(2)因为 ，所以 ， (9 分)
由 外接圆的半径为 ,得 , (11 分)
所以 的面积 . (13 分)
16.(15分)
(1)因为复数 是纯虚数，所以 ， (2 分)
即 ,解得 . (4 分)
(2)因为复数 表示的点在第二象限，所以 ， (6 分)
即 ,解得 ,即 的取值范围为 . (8 分)
(3)当 时， ，则 ； (9 分)
当 时, ,则 , (10 分)
所以 . (11 分)
因为向量 与 的夹角为钝角,
所以 且向量 与 不反向共线, (12 分)
即 且 ,
解得 且 ,即实数 的取值范围是 . (15 分)
17. (15 分)
(1) ，又 ，
由 三点共线,得 ,即 ,解得 . (4 分)
(2)由题意得， ，
, (5 分)
所以 .
(9 分)
所以 . (11 分)
(3) 由 (2) 得, ,
由四边形 为平行四边形得 ,
又 ,所以 ,解得 ,即 . (15 分)
18.(17分)
(1)由题意得，正四棱锥 的体积 , 正四棱柱 的体积 , 所以该几何体的体积为 . (3 分)
过点 作 ,垂足为 ,则 ,
则正四棱锥 的侧面积 ,
正四棱柱 的侧面积 ,
正四棱柱 的下底面的面积 ,
所以该几何体的表面积为 . (7 分)
(2)如图，将侧面 和侧面 展开，
易知 的最小值为展开图中 三点共线时 的最小值,
即展开图中点 到线段 的距离. (9 分)
由题可知 .
连接 ,则 ,
所以 .
过点 作 于 ,则 . (11 分)
记 ,
则 ,
(13 分)
所以 ,
所以 为锐角, (14 分)
此时 ,
所以 .
即 的最小值为 . (17 分)
19.(17分)
(1)由 是锐角三角形,得 ,则 , (1 分) 因为 在 上单调递增,所以 , (3 分) 又 在 上单调递减，所以 . (5 分)
(2)由 ，得 ，
则 ,
又 ,所以 . (8分)
由余弦定理得, ,
所以 ,当且仅当 时取等号, (10 分)
所以 .
即 面积的最大值为 . (11 分)
(3)因为 ，所以 ，
又因为 ,
所以 ,
所以 均为整数. (15 分)
因为 ,所以 ,
所以 ，所以 ，所以 . (17 分)
以上各解答题如有不同解法并且正确, 请按相应步骤给分.

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