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广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣6的绝对值是6，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数”可求解．
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】科学记数法，即将一个大于10或者小于1的整数，写成a×10n，其中1≤|a|＜10。本题先确定a=5，然后计算得出n=-9，从而用科学记数法表示即可。
4．下列整式的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵2a和3b不是同类项，不能合并，∴此选项不符合题意；
B、≠-6a6b3，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠a2-2ab-b2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a和3b不是同类项，所以不能合并；B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示为：；
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵将截成弧长相等的两部分，
∴CD为直径，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案为：．
【分析】由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，则垂直平分，然后根据勾股定理即可求解．
7．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
8．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】过点C作于点D，根据等边三角形的性质得，用勾股定理求得CD的值，，令x=0可得，将点代入抛物线解析式计算即可求解．
9．如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，延长交轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：B．
【分析】根据两点间距离可得，延长交轴于点，由题意可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据待定系数法将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：令，
解得：，
，
，
，
，
如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
由平移的性质可得：点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故答案为：C．
【分析】将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，再证出当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法求出直线EF的的解析式，再求出抛物线的对称轴为直线x=2，联立方程组求出点C的坐标即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x3－8x=　 　.
【答案】2x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式2x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．若，是一元二次方程的两个根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
13．如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是　 　．
【答案】6
【知识点】旋转的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】由旋转的性质可知：，，
设，则，，
，
即：，
整理得：
解得，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，根据锐角三角函数可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
【分析】过作轴于，设，即可得到，根据菱形的性质得出求得的坐标，即可根据中点坐标得到的坐标，再代入求出的值即可．
15．等边三角形中，为边上一点，且，将沿翻折，得到，与交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
设，则，
过点作于点，如图
∴，则，，
根据翻折性质得出，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】先根据等边三角形的性质以及，可以得出，做辅助线后，则，，，依据折叠的性质并结合AA得到，从而得到，然后假设，则，，代入中，得到，然后计算出，最后计算即可。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
17．如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
18．某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月基本工资为元，每单提成为元．已知员工小王月份做了单业务，该月的工资为元．若小王想让每月的工资超过元，则他每月最少要做多少单业务？
【答案】解：依题意列式，
解得
设小王每月最少做单业务（x为正整数），则列式，
解得，
∴x=
即小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题先结合条件“ 小王每月基本工资为元，每单提成为元，小王月份做了单业务，该月的工资为元 ”，列式，从而求出a=300；再结合条件“ 小王想让每月的工资超过元 ”，则列不等式，求出x之后取最小正整数即可。
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．
19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值．
【答案】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高.
（2）解：由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
【知识点】分式的加减法；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的产量，再列出算式并利用分式的加减法的计算方法分析求解即可；
（2）利用““丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍”列出方程，再求解即可.
（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高；
（2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
20．心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等．
（1）评委丙给2班的打分是______分；
（2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分；
（3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜．
【答案】（1）10
（2）9；9.5
（3）解：根据扇形统计图中圆心角的度数，可知乙和丙圆心角度数是90°
甲所对的圆心角为360°-90°-90°-120°=，∴四位评委的权重比是60：90：120：90=2：3：4：3．
1班加权平均分：（8×2+9×3+9×4+10×3）÷（2+3+4+3）=为（分）．
2班加权平均分：（7×2+9×3+10×4+10×3）÷（2+3+4+3）=（分）．
∵，
∴2班获胜
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】解：（1）∵1班平均分为（8+9+9+10）÷4=9（分），
∴2班平均分也为9分，
∴评委丙给2班的打分为（分）．
故答案为：10；
（2）
解：1班成绩是8、9、9、10，所以1班的众数为9分．
2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，
∴2班成绩的中位数为（9+10）÷2=9.5（分）．
故答案为：；
【分析】（1）根据平均数相等即可得出答案；（2） 众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数 ，如果这组数据是偶数个，众数取中间两个的平均值，本题由众数和中位数的定义求解即可；（3）加权平均数的计算公式为：，其中x表示各数值，f表示各数值的权重。
根据图2计算出甲、乙、丙、丁圆心角的度数，再计算出他们的权重比，再根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案．
（1）解：∵1班平均分为（分），
∴2班平均分也为9分，
∴评委丙给2班的打分为（分）．
故答案为：10；
（2）解：1班成绩的众数为9分．
2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，
∴2班成绩的中位数为（分）．
故答案为：；
（3）解：根据扇形统计图中圆心角的度数，得甲所对的圆心角为，
∴四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：．
1班得分为（分）．
2班得分为（分）．
∵，
∴2班获胜．
21．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
【答案】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，，解得，
∴一次函数的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得，，
∴反比例函数的表达式为.
（2）解：当点在下方时，
若的面积是面积的倍， 则，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴；
当在点上方时，
若的面积是面积的倍，则，
∴为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴；
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先求出一次函数的解析式，再求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当点在下方时，②当在点上方时，先分别画出图形，再利用反比例函数图象上点坐标的特征以及“的面积是面积的倍 ”列出方程求解即可.
五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22．在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
（2）如图2，连接，发现三条线段之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
（3）如图3，连接，，若正方形的边长4，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）解：根据折叠性质，得，
四边形是正方形，
，
根据折叠的性质得出，
，
的度数不变，为。
（2）理由如下：
证明：如图，过点作，交的延长线于点
在正方形中，，
由（）可知，，，
∴在中，
在和中，
（SAS），
，
在中，
。
（3）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：根据折叠的性质得出
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值=
【分析】（1）根据折叠的性质以及正方形的性质，得出以及，从而得出，进而列式，从而得出答案；
（2）做辅助线后，结合正方形的性质以及角度计算得出，结合直角三角形锐角互余以及等角对等边，得出，此时利用SAS证明，从而得出，推出，然后根据勾股定理计算出，最后计算即可得出答案；
（3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心、为半径的圆上运动，观察图片以及三角形面积得出，当在上时，的面积最大，此时，进而结合勾股定理和正方形的性质，求出，，并求出，最后再结合三角形面积公式计算即可。
（1）解：把沿所在直线折叠，点落在点处，
四边形是正方形，
，
沿所在直线折叠使点与点重合，
，
的度数不变且为
（2）理由如下：如图，过点作，交的延长线于点
在正方形中，，
由（）可知，，，
∴在中，
在和中，
在中，
（3）解：∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值为
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当时，求点的横坐标；
②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：①令，
解得或；
点，，
令，得，
．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②∵、，由待定系数法，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可；
②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可．
（2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可．
（1）解：①令得，解得或；
点，，
令，得，
．
，．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②设直线的表达式为．
将点、代入，得，解得，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．
∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
1 / 1广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣6的绝对值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．华为某型号手机的芯片采用的是水平，，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列整式的计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：2x3－8x=　 　.
12．若，是一元二次方程的两个根，则　 　．
13．如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是　 　．
14．如图，菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，与交于点D，若反比例函数经过点D，则　 　．
15．等边三角形中，为边上一点，且，将沿翻折，得到，与交于点，则　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
17．如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
18．某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月基本工资为元，每单提成为元．已知员工小王月份做了单业务，该月的工资为元．若小王想让每月的工资超过元，则他每月最少要做多少单业务？
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）．
19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值．
20．心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等．
（1）评委丙给2班的打分是______分；
（2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分；
（3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜．
21．如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22．在数学综合实践课上，李老师要求同学们以正方形的折叠与某些线段的折叠为例探究图形间存在的关系．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长与的延长线交于点，沿所在直线折叠使点与点重合，点在上．
（1）如图1，的度数不变，请你求出该角的度数；
（2）如图2，连接，发现三条线段之间存在一定的数量关系，请证明你的发现；
（3）如图3，连接，，若正方形的边长4，请直接写出面积的最大值．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．
（1）作直线，是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当时，求点的横坐标；
②如图2，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值．
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线（）与线段只有一个交点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣6的绝对值是6，
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数”可求解．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】科学记数法，即将一个大于10或者小于1的整数，写成a×10n，其中1≤|a|＜10。本题先确定a=5，然后计算得出n=-9，从而用科学记数法表示即可。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵2a和3b不是同类项，不能合并，∴此选项不符合题意；
B、≠-6a6b3，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠a2-2ab-b2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a和3b不是同类项，所以不能合并；B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示为：；
故选：C．
【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵将截成弧长相等的两部分，
∴CD为直径，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案为：．
【分析】由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，则垂直平分，然后根据勾股定理即可求解．
7．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】过点C作于点D，根据等边三角形的性质得，用勾股定理求得CD的值，，令x=0可得，将点代入抛物线解析式计算即可求解．
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
如图，延长交轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：B．
【分析】根据两点间距离可得，延长交轴于点，由题意可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，再根据待定系数法将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：令，
解得：，
，
，
，
，
如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
由平移的性质可得：点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故答案为：C．
【分析】将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，再证出当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法求出直线EF的的解析式，再求出抛物线的对称轴为直线x=2，联立方程组求出点C的坐标即可.
11．【答案】2x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式2x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】旋转的性质；已知正切值求边长
【解析】【解答】由旋转的性质可知：，，
设，则，，
，
即：，
整理得：
解得，
∴，，
∴.
故答案为：6.
【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，根据锐角三角函数可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过作轴于，
∵，
则，
设，
则，
∵四边形是菱形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
【分析】过作轴于，设，即可得到，根据菱形的性质得出求得的坐标，即可根据中点坐标得到的坐标，再代入求出的值即可．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
设，则，
过点作于点，如图
∴，则，，
根据翻折性质得出，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】先根据等边三角形的性质以及，可以得出，做辅助线后，则，，，依据折叠的性质并结合AA得到，从而得到，然后假设，则，，代入中，得到，然后计算出，最后计算即可。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
17．【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
18．【答案】解：依题意列式，
解得
设小王每月最少做单业务（x为正整数），则列式，
解得，
∴x=
即小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题先结合条件“ 小王每月基本工资为元，每单提成为元，小王月份做了单业务，该月的工资为元 ”，列式，从而求出a=300；再结合条件“ 小王想让每月的工资超过元 ”，则列不等式，求出x之后取最小正整数即可。
19．【答案】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高.
（2）解：由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
【知识点】分式的加减法；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的产量，再列出算式并利用分式的加减法的计算方法分析求解即可；
（2）利用““丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍”列出方程，再求解即可.
（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高；
（2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
20．【答案】（1）10
（2）9；9.5
（3）解：根据扇形统计图中圆心角的度数，可知乙和丙圆心角度数是90°
甲所对的圆心角为360°-90°-90°-120°=，∴四位评委的权重比是60：90：120：90=2：3：4：3．
1班加权平均分：（8×2+9×3+9×4+10×3）÷（2+3+4+3）=为（分）．
2班加权平均分：（7×2+9×3+10×4+10×3）÷（2+3+4+3）=（分）．
∵，
∴2班获胜
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】解：（1）∵1班平均分为（8+9+9+10）÷4=9（分），
∴2班平均分也为9分，
∴评委丙给2班的打分为（分）．
故答案为：10；
（2）
解：1班成绩是8、9、9、10，所以1班的众数为9分．
2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，
∴2班成绩的中位数为（9+10）÷2=9.5（分）．
故答案为：；
【分析】（1）根据平均数相等即可得出答案；（2） 众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数 ，如果这组数据是偶数个，众数取中间两个的平均值，本题由众数和中位数的定义求解即可；（3）加权平均数的计算公式为：，其中x表示各数值，f表示各数值的权重。
根据图2计算出甲、乙、丙、丁圆心角的度数，再计算出他们的权重比，再根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案．
（1）解：∵1班平均分为（分），
∴2班平均分也为9分，
∴评委丙给2班的打分为（分）．
故答案为：10；
（2）解：1班成绩的众数为9分．
2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，
∴2班成绩的中位数为（分）．
故答案为：；
（3）解：根据扇形统计图中圆心角的度数，得甲所对的圆心角为，
∴四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：．
1班得分为（分）．
2班得分为（分）．
∵，
∴2班获胜．
21．【答案】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，，解得，
∴一次函数的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得，，
∴反比例函数的表达式为.
（2）解：当点在下方时，
若的面积是面积的倍， 则，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴；
当在点上方时，
若的面积是面积的倍，则，
∴为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴；
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先求出一次函数的解析式，再求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）分类讨论：①当点在下方时，②当在点上方时，先分别画出图形，再利用反比例函数图象上点坐标的特征以及“的面积是面积的倍 ”列出方程求解即可.
22．【答案】（1）解：根据折叠性质，得，
四边形是正方形，
，
根据折叠的性质得出，
，
的度数不变，为。
（2）理由如下：
证明：如图，过点作，交的延长线于点
在正方形中，，
由（）可知，，，
∴在中，
在和中，
（SAS），
，
在中，
。
（3）
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：根据折叠的性质得出
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值=
【分析】（1）根据折叠的性质以及正方形的性质，得出以及，从而得出，进而列式，从而得出答案；
（2）做辅助线后，结合正方形的性质以及角度计算得出，结合直角三角形锐角互余以及等角对等边，得出，此时利用SAS证明，从而得出，推出，然后根据勾股定理计算出，最后计算即可得出答案；
（3）根据折叠的性质可得，得出在以为圆心、为半径的圆上运动，观察图片以及三角形面积得出，当在上时，的面积最大，此时，进而结合勾股定理和正方形的性质，求出，，并求出，最后再结合三角形面积公式计算即可。
（1）解：把沿所在直线折叠，点落在点处，
四边形是正方形，
，
沿所在直线折叠使点与点重合，
，
的度数不变且为
（2）理由如下：如图，过点作，交的延长线于点
在正方形中，，
由（）可知，，，
∴在中，
在和中，
在中，
（3）解：∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当在上时，的面积最大，此时
∵
∴，
∴
∴面积的最大值为
23．【答案】（1）解：①令，
解得或；
点，，
令，得，
．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②∵、，由待定系数法，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出、、，则、．设点的坐标为（），然后根据正切的定义列式计算即可；
②先运用待定系数法求得直线的表达式为．再求得抛物线的对称轴为；设点的坐标为（），则点的坐标为．可表示出、，然后再列出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可．
（2）由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．则平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为．然后分抛物线的顶点在线段上时以及、三种情况解答即可．
（1）解：①令得，解得或；
点，，
令，得，
．
，．
设点的坐标为（），
，
，即．
，解得或（舍去）
点的横坐标为；
②设直线的表达式为．
将点、代入，得，解得，
直线的表达式为：．
，对称轴为直线．
设点的坐标为（），则点的坐标为．
，．
矩形的周长，
当时，矩形的周长有最小值．
（2）解：由题可意：得点的坐标为，点的坐标为．
∴平移后的抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为．
①当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
则，
．
②当时，如解图2，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得；
③当时，如解图3，若抛物线与线段只有一个交点，
则当时，，解得．
综上，的取值范围为或或．
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