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广东省深圳市南山实验教育集团麒麟二中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1）.
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标平移规律：左减右加，上加下减，可得答案.
2．被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(　　）
A．55×10 B．5.5×10 C．5.5×10 D．0.55×10
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a4，
∴此选项不符合题意；
B、≠a5，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据同类二次根式的定义"同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式"可知，与不是同类二次根式，不能合并；
D、根据二次根式的性质“”可求解.
4．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图，
∵ 直尺的两边互相平行，
∴ ∠3 = ∠1 = 52°（两直线平行，内错角相等）。
∵ 直角三角尺的角为 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠3 = 90° - 52° = 38°。
故答案为：C。
【分析】利用直尺两边平行的条件，通过内错角相等找到中间角的度数，再结合直角三角尺的 90° 角，通过角度减法运算求出∠2 的度数。
5．小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：设第三根木棒的长度为cm。
根据三角形三边关系，可得：
，即。
在3cm、6cm、7cm、12cm这4根木棒中，满足的是6cm、7cm，共2根。
根据概率公式，恰好能组成三角形的概率为。
故答案为：B。
【分析】先根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”列出不等式，求出第三边的取值区间；再从给定木棒中筛选出符合区间的木棒，统计符合条件的数量；最后用“符合条件的情况数÷总情况数”计算概率。
6．“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里，
由题意得，，
故答案为：A.
【分析】设学生步行的速度为每小时x里，则孔子做牛车的速度为每小时1.5x里，由题意可得学生步行所用的时间为，孔子坐牛车所用的时间为，然后根据学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，且孔子和学生们同时到达书院就可列出方程.
7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；角平分线的概念；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：连接 EF，使其与 AD 相交于点 G。
由已知条件 AE = AF = DE = DF = m，根据四边相等的四边形是菱形，可判定四边形 AEDF 为菱形。依据菱形的性质，对角线 AD 垂直于 EF，且 AD 被 EF 平分，
即 AD = 2AG；同时 AD 平分∠BAC。
已知∠EAF = 132°，故∠EAG = 66°。
在直角三角形 AEG 中，根据余弦函数的定义，AG = AE cos∠EAG = m cos66°。
因此，AD = 2AG = 2m cos66°。
故答案为：D。
【分析】通过四边相等的条件判定四边形 AEDF 为菱形，再利用菱形对角线互相垂直平分且平分内角的性质，构造出含 66° 角的直角三角形，最后依据锐角三角函数的定义求出 AD 的长度。
8．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若， ，则EH的长为（　　）
A．14 B． C．16 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，，
，，
在 中，由勾股定理得：
由作图可知， 平分 ，
（正方形对边平行），
，
，
设 ，则 ，代入得：
解得 ，即
在 中，由勾股定理得：
故答案为：B。
【分析】先利用勾股定理求出 的长度，再通过角平分线和平行线的性质推得 ，接着由相似三角形的比例关系求出 的长度，最后在直角三角形中用勾股定理算出 的长度。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．分解因式　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
10．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为　 　（写出一个符合条件的实数即可）
【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，
则，
解得，
所以x的值可以是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式x 5≥0，求解得到x≥5，再写出一个满足该范围的实数即可。
11．《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是　 　．
【答案】16
【知识点】正方形的性质；相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为2，
正方形的面积为4，
正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
∵
正方形与正方形的相似比为，
正方形与正方形的面积比为，
正方形的面积为，
故答案为：．
【分析】先求出原正方形 ABCD 的面积，再根据位似图形的相似比等于边长比、面积比等于相似比的平方，计算出位似正方形 A'B'C'D' 的面积。
12．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数），函数的图象为曲线L．请写出一个符合条件的k值　 　，使得曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点．
【答案】8或12（写出一个即可）
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，
当函数经过时，则，解得，
同理可得当函数经过时，，
当函数经过时，，
当函数经过时，，
∴当或时，曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点．
故答案为：8或12（写出一个即可）．
【分析】先确定4个台阶顶点的坐标，再根据反比例函数中，计算出经过各顶点时对应的值，从中选取一个符合条件的即可。
13．如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，由题意可得：，，，，
由折叠得，，，
，，，
的延长线过点C，
，
在和中，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
故答案为：
【分析】连接 ，利用矩形性质、折叠性质和 HL 定理证明 ，推得 ，结合 ，根据正弦定义 。
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
15．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式
；
当 时，原式 .
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
16．山海有情，天辽地宁，年月日是第个“中国旅游日”．我市某中学举行了以“我爱辽宁”为主题的旅游知识竞赛活动．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：____________，____________，____________．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____________组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）；；；
（2）乙；
（3）解：小祺的观点比较片面，理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）
∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
【分析】（）根据中位数，众数和优秀率的求解方法，直接求解即可；
（）根据中位数的意义，求解即可；
（）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可；
（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
（3）小祺的观点比较片面，
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
17．小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量。
（2）解：①；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；不等式的解及解集；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据“第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳”，据此可建立方程组；，
然后解方程组即可
（2）①设小亮安排m个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安排开合跳的个数，然后再化简即可；
②设小亮安排m个深蹲，根据“深蹲的数量不少于开合跳的数量”，据此可建立不等式：，然后解不等式，求出m的范围；设消耗的总热量为千卡，据此建立等量关系：，然后再根据函数的性质，即可求出的最大值
（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量；
（2）解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
18．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OA，先求出，可得∠OAC=90°，再结合OA是的半径，即可证出CA是的切线；
（2）先利用相似三角形的性质及线段的和差求出BE的长，再连接BD，利用角平分线的定义和弧与弦的关系可得BD=DE，再利用圆周角的性质可得，最后求出即可．
（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
19．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小明从赛道顶端A处下滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍小明，测得小明离A处的滑雪距离单位：以及无人机离A处的距离单位：注：无人机的安全高度忽略不计随滑雪时间单位：变化的数据，整理得下表：
滑行时间 0 1 2 3 4 5
滑行距离 0 6 14 24 36 50
无人机离A处的距离 0 0 0 15 30 45
经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与之间成一次函数关系．
（1）直接写出y关于x的函数解析式和s关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，试计算此时小明的滑雪时间x的值；若不能，求出无人机与小明的最小距离．
【答案】（1）
（2）解：当时，
，
解得：，不合题意，舍去
答：小明滑完整个赛道需要耗时．
（3）解：由题意得：，
∴，
，
原方程无解，
在小明到达终点前，无人机不能追上小明．
设无人机与小明的距离为，
；
当滑雪时间为时，无人机与小明的距离最小，最小距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设
经过点，，
解得：，
，
设，
经过点，，
，
解得：，
．
【分析】(1) 用待定系数法，代入表格中对应数据，分别求出 y 关于 x 的二次函数解析式和 s 关于 x (x≥2) 的一次函数解析式。
(2) 将赛道总长 150m 代入 y 的解析式，解一元二次方程，取正根得到小明滑完全程的耗时。
(3) 令 y=s，通过判别式判断方程无解，确定无人机追不上小明；再构造距离函数 d=y-s，配方成顶点式求出最小距离。
（1）解：设
经过点，，
解得：，
，
设，
经过点，，
，
解得：，
．
（2）解：当时，
，
解得：，不合题意，舍去
答：小明滑完整个赛道需要耗时．
（3）解：由题意得：，
∴，
，
原方程无解，
在小明到达终点前，无人机不能追上小明．
设无人机与小明的距离为，
；
当滑雪时间为时，无人机与小明的距离最小，最小距离为．
20．（）用数学的眼光观察．
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，请直接写出的度数为______．
（）用数学的思维思考．
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接：
①尺规作图：过点作直线垂直于，其中点在上方，且满足；
②连接，判断三点的位置关系，并说明理由；
（）用数学的语言表达．
如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度为______．
【答案】解：（）；
（）①作图如图所示：
②点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
∵四边形是正方形，
，，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（）或
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（）∵四边形是菱形，，
，，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
故答案为：；
（）如图，过点作于，过点作于，则，
∵矩形中，，，
，，
，
∴，
，
∴四边形是圆内接四边形，
，
，
、、在同一条直线上，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
当时，，
解得或（不合，舍去），
；
当时，，
解得或（不合，舍去），
；
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
【分析】(1) 利用菱形性质和旋转性质，通过 SAS 证明△BAE≌△DAF，结合∠ABD=60°，直接得出∠ADF 的度数。
(2) ①按要求用尺规作垂直且相等的线段 EF；②连接 AC 作辅助线，通过 AAS 证明△AEO≌△EFH，推得角度关系，证明 C、D、F 三点共线。
(3) 先证 C、D、F 共线，设 BE=x 表示出各线段长度，分 CF=EF 和 CF=CE 两种等腰情况，列方程求解得到 BE 的长度。
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团麒麟二中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
2．被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(　　）
A．55×10 B．5.5×10 C．5.5×10 D．0.55×10
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
6．“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．①以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M；②分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P；③连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若， ，则EH的长为（　　）
A．14 B． C．16 D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．分解因式　 　．
10．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为　 　（写出一个符合条件的实数即可）
11．《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是　 　．
12．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数），函数的图象为曲线L．请写出一个符合条件的k值　 　，使得曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点．
13．如图所示为一张矩形纸片，E为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点若，则的值是　 　．
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：．
15．先化简，再求值： ，其中 ．
16．山海有情，天辽地宁，年月日是第个“中国旅游日”．我市某中学举行了以“我爱辽宁”为主题的旅游知识竞赛活动．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为分，分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组
乙组
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：____________，____________，____________．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____________组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
17．小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排_______个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
18．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
19．某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小明从赛道顶端A处下滑，滑行2s后，小华操控一个无人机从A处沿着赛道方向保持相同安全高度跟拍小明，测得小明离A处的滑雪距离单位：以及无人机离A处的距离单位：注：无人机的安全高度忽略不计随滑雪时间单位：变化的数据，整理得下表：
滑行时间 0 1 2 3 4 5
滑行距离 0 6 14 24 36 50
无人机离A处的距离 0 0 0 15 30 45
经探究发现，y与x之间成二次函数关系，s与之间成一次函数关系．
（1）直接写出y关于x的函数解析式和s关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，试计算此时小明的滑雪时间x的值；若不能，求出无人机与小明的最小距离．
20．（）用数学的眼光观察．
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，请直接写出的度数为______．
（）用数学的思维思考．
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接：
①尺规作图：过点作直线垂直于，其中点在上方，且满足；
②连接，判断三点的位置关系，并说明理由；
（）用数学的语言表达．
如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度为______．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1）.
故答案为：D.
【分析】根据点的坐标平移规律：左减右加，上加下减，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a4，
∴此选项不符合题意；
B、≠a5，
∴此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
B、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
C、根据同类二次根式的定义"同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式"可知，与不是同类二次根式，不能合并；
D、根据二次根式的性质“”可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 如图，
∵ 直尺的两边互相平行，
∴ ∠3 = ∠1 = 52°（两直线平行，内错角相等）。
∵ 直角三角尺的角为 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠3 = 90° - 52° = 38°。
故答案为：C。
【分析】利用直尺两边平行的条件，通过内错角相等找到中间角的度数，再结合直角三角尺的 90° 角，通过角度减法运算求出∠2 的度数。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：设第三根木棒的长度为cm。
根据三角形三边关系，可得：
，即。
在3cm、6cm、7cm、12cm这4根木棒中，满足的是6cm、7cm，共2根。
根据概率公式，恰好能组成三角形的概率为。
故答案为：B。
【分析】先根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”列出不等式，求出第三边的取值区间；再从给定木棒中筛选出符合区间的木棒，统计符合条件的数量；最后用“符合条件的情况数÷总情况数”计算概率。
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里，
由题意得，，
故答案为：A.
【分析】设学生步行的速度为每小时x里，则孔子做牛车的速度为每小时1.5x里，由题意可得学生步行所用的时间为，孔子坐牛车所用的时间为，然后根据学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，且孔子和学生们同时到达书院就可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；角平分线的概念；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：连接 EF，使其与 AD 相交于点 G。
由已知条件 AE = AF = DE = DF = m，根据四边相等的四边形是菱形，可判定四边形 AEDF 为菱形。依据菱形的性质，对角线 AD 垂直于 EF，且 AD 被 EF 平分，
即 AD = 2AG；同时 AD 平分∠BAC。
已知∠EAF = 132°，故∠EAG = 66°。
在直角三角形 AEG 中，根据余弦函数的定义，AG = AE cos∠EAG = m cos66°。
因此，AD = 2AG = 2m cos66°。
故答案为：D。
【分析】通过四边相等的条件判定四边形 AEDF 为菱形，再利用菱形对角线互相垂直平分且平分内角的性质，构造出含 66° 角的直角三角形，最后依据锐角三角函数的定义求出 AD 的长度。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，，
，，
在 中，由勾股定理得：
由作图可知， 平分 ，
（正方形对边平行），
，
，
设 ，则 ，代入得：
解得 ，即
在 中，由勾股定理得：
故答案为：B。
【分析】先利用勾股定理求出 的长度，再通过角平分线和平行线的性质推得 ，接着由相似三角形的比例关系求出 的长度，最后在直角三角形中用勾股定理算出 的长度。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=．
故答案为．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.
10．【答案】6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，
则，
解得，
所以x的值可以是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式x 5≥0，求解得到x≥5，再写出一个满足该范围的实数即可。
11．【答案】16
【知识点】正方形的性质；相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为2，
正方形的面积为4，
正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
∵
正方形与正方形的相似比为，
正方形与正方形的面积比为，
正方形的面积为，
故答案为：．
【分析】先求出原正方形 ABCD 的面积，再根据位似图形的相似比等于边长比、面积比等于相似比的平方，计算出位似正方形 A'B'C'D' 的面积。
12．【答案】8或12（写出一个即可）
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，
当函数经过时，则，解得，
同理可得当函数经过时，，
当函数经过时，，
当函数经过时，，
∴当或时，曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点．
故答案为：8或12（写出一个即可）．
【分析】先确定4个台阶顶点的坐标，再根据反比例函数中，计算出经过各顶点时对应的值，从中选取一个符合条件的即可。
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，由题意可得：，，，，
由折叠得，，，
，，，
的延长线过点C，
，
在和中，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
故答案为：
【分析】连接 ，利用矩形性质、折叠性质和 HL 定理证明 ，推得 ，结合 ，根据正弦定义 。
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、实数的绝对值和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
15．【答案】解：原式
；
当 时，原式 .
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
16．【答案】（1）；；；
（2）乙；
（3）解：小祺的观点比较片面，理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【知识点】中位数；方差；常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）
∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
【分析】（）根据中位数，众数和优秀率的求解方法，直接求解即可；
（）根据中位数的意义，求解即可；
（）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可；
（1）∵甲组成绩从小到大排列为：，，，，，，，，
∴，
∵乙组成绩出现最多的是分，
∴，
优秀率：，
故答案为：；；；
（2）∵甲组中位数是，乙组中位数是，小明得了分，在小组中略偏上，
∴小明可能是乙组的学生，
故答案为：乙；
（3）小祺的观点比较片面，
理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
17．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量。
（2）解：①；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；不等式的解及解集；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据“第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳”，据此可建立方程组；，
然后解方程组即可
（2）①设小亮安排m个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安排开合跳的个数，然后再化简即可；
②设小亮安排m个深蹲，根据“深蹲的数量不少于开合跳的数量”，据此可建立不等式：，然后解不等式，求出m的范围；设消耗的总热量为千卡，据此建立等量关系：，然后再根据函数的性质，即可求出的最大值
（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量；
（2）解：①设小亮安排m个深蹲，则安排开合跳的个数为：
个；
②设小亮安排m个深蹲，
根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
18．【答案】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线.
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OA，先求出，可得∠OAC=90°，再结合OA是的半径，即可证出CA是的切线；
（2）先利用相似三角形的性质及线段的和差求出BE的长，再连接BD，利用角平分线的定义和弧与弦的关系可得BD=DE，再利用圆周角的性质可得，最后求出即可．
（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
19．【答案】（1）
（2）解：当时，
，
解得：，不合题意，舍去
答：小明滑完整个赛道需要耗时．
（3）解：由题意得：，
∴，
，
原方程无解，
在小明到达终点前，无人机不能追上小明．
设无人机与小明的距离为，
；
当滑雪时间为时，无人机与小明的距离最小，最小距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设
经过点，，
解得：，
，
设，
经过点，，
，
解得：，
．
【分析】(1) 用待定系数法，代入表格中对应数据，分别求出 y 关于 x 的二次函数解析式和 s 关于 x (x≥2) 的一次函数解析式。
(2) 将赛道总长 150m 代入 y 的解析式，解一元二次方程，取正根得到小明滑完全程的耗时。
(3) 令 y=s，通过判别式判断方程无解，确定无人机追不上小明；再构造距离函数 d=y-s，配方成顶点式求出最小距离。
（1）解：设
经过点，，
解得：，
，
设，
经过点，，
，
解得：，
．
（2）解：当时，
，
解得：，不合题意，舍去
答：小明滑完整个赛道需要耗时．
（3）解：由题意得：，
∴，
，
原方程无解，
在小明到达终点前，无人机不能追上小明．
设无人机与小明的距离为，
；
当滑雪时间为时，无人机与小明的距离最小，最小距离为．
20．【答案】解：（）；
（）①作图如图所示：
②点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
∵四边形是正方形，
，，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（）或
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（）∵四边形是菱形，，
，，，
∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，
，
故答案为：；
（）如图，过点作于，过点作于，则，
∵矩形中，，，
，，
，
∴，
，
∴四边形是圆内接四边形，
，
，
、、在同一条直线上，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
当时，，
解得或（不合，舍去），
；
当时，，
解得或（不合，舍去），
；
综上所述，的长度为或，
故答案为：或．
【分析】(1) 利用菱形性质和旋转性质，通过 SAS 证明△BAE≌△DAF，结合∠ABD=60°，直接得出∠ADF 的度数。
(2) ①按要求用尺规作垂直且相等的线段 EF；②连接 AC 作辅助线，通过 AAS 证明△AEO≌△EFH，推得角度关系，证明 C、D、F 三点共线。
(3) 先证 C、D、F 共线，设 BE=x 表示出各线段长度，分 CF=EF 和 CF=CE 两种等腰情况，列方程求解得到 BE 的长度。
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