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广东省珠海市文园中学(集团)2025年中考第三次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(　　）
A．55×10 B．5.5×10 C．5.5×10 D．0.55×10
3．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A． B．1 C．3 D．5
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（　　）
A．2 B． C． D．
8．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（　　）
A．85 B．81 C．73 D．71
9．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．计算：　 　．
12．某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为　 　．（结果保留小数点后一位）
13．如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为　 　．
14．如图，在正方形中，点是边上一点，将正方形沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
17．如图，在平行四边形中，E是边上一点，，．
（1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，求四边形的周长．
18．【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演．为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况．
【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：
方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；
方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；
方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析．
（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是 ▲ （填“A”“B”或“C”）．
【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；
身高段（单位：） 频数
① 10
② 50
③
④ 10
【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：
（2）填空： ▲ ；
（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段 ▲ （填“①”“②”“③”或“④”）；
（4）现需选拔身高达到及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
20．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离．
（1）为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，）
21．综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．
例如：如图1，已知，矩形，轴，点B在上，点C在上，则矩形为的美好矩形．
（1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
（2）如图3，点A的坐标为，点B是函数图象上一点，且横坐标为m，若函数图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；
（3）对于实数a，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，请直接写出b的值．
23．综合与探究
问题情境
在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由．
数学思考
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究
（2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．
（3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ａ错误.
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故Ｃ错误.
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形进行判断即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式可对C作出判断；然后利用平方差公式可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题可知：，
解得：．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】利用分式及二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：B．
【分析】作垂直于点，根据角平分线的性质得等于，根据特殊角的三角函数值求得等于，可得是等腰直角三角形，即可得等于1，等于，根据勾股定理得等于.
8．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：根据题意得：
第①个图形需要9根小木棒，
第②个图形需要17根，即，
第③个图形需要25根，即，
观察发现，第n个图形需要（根），
第⑩个图形需要根，
故答案为：B ．
【分析】根据题目情境，结合图形得第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，即，第③个图形需要25根，即，观察发现，第n个图形需要（根），即可得第⑩个图形需要小木棒的根数.
9．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】先根据垂径定理可得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求得．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵中，，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内的增大而减小，
∵，，都在函数图象上，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系可得在每个象限内的增大而减小，再结合，最后求出即可.
11．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据分式加减的运算法则，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可计算．
12．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【分析】
先观察表格中不同投掷次数下“投掷到中心区域”的频率数据，分析频率随着投掷次数增加的变化趋势，当试验次数不断增加时，“摆放到中心区域”的频率会逐渐稳定在一个数值附近，利用频率估计概率解答即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：是正六边形的外角，
是正五边形的外角，
，
，
故答案为：．
【分析】利用正多边形的性质求出，，最后利用角的运算求出的度数即可.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
根据正方形性质，结合折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据正方形性质，结合折叠性质得垂直，等于，都等于，进一步得全等，即可得等于5，根据勾股定理得，即可得全等，根据正弦定义相等，即可得，进一步得的长为.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数y＝kx+b，
当x=0时，y=b，
∴B(0，b)，
当y=0时，kx+b=0，
解得x=，
∴A(，0)，
∵点C（2，4），B为线段AC的中点，
∴点B纵坐标为2，
∴B(0，2)，
即b=2，
∵点A与点C关于点B对称，
∴点A横坐标为-2，
∴A(-2，0)，
即=-2，
∴k=1，
∴一次函数解析式为y=x+2，
∵反比例函数y＝（m＞0）的图象过点C(2，4)，
∴将点C(2，4)代入，得m=8，
∴反比例函数y＝，
延长ED交y轴于点F，
设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝，得x=，
则E(，a)，
把y=a代入y=x+2，得x+2=a，
∴x=a-2，
∴D(a-2，a)，
∴S△ODE= S△OFE- S△OFD=，
∵EF=，DF=a-2，OF=a，
∴S△ODE==，
∴当a=1时，S△ODE有最大值，最大值为．
故答案为．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得B(0，b)，A(，0)，根据线段中点坐标可得B(0，2)，则b=2，根据对称性质可得点A横坐标为-2，则k=1，即一次函数解析式为y=x+2，根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式解得反比例函数y＝，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝，得x=，则E(，a)，将y=a代入y=x+2可得D(a-2，a)，再根据三角形，结合二次函数性质即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，负整数指数幂法则以及算术平方根把进行化简得，再加减运算即可得出答案．
17．【答案】（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形的周长为．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）利用过一个定点作已知直线的平行线的方法和步骤求解即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再利用平行线的性质可得，，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形的周长为．
18．【答案】解：（1）C
（2）
（3）②
（4）根据题意得：（人）
∴参加选拔校园仪仗队的学生人数为150人.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题目情境得：
在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析．
故答案为：C.
（2）∵选取100个人，
∴，
故答案为：.
（3）∵选取100个人，
∴中位数排在第和名之间，
∵
∴估计该校学生身高的中位数落在身高段②，
故答案为：②.
【分析】（1）根据抽样调查的可靠性，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析，即可得答案.
（2）根据选取选取100个人，即可得.
（3）根据选取选取100个人，可得中位数排在第和名之间，进一步可得估计该校学生身高的中位数落在身高段②.
（4）根据题目情境得参加选拔校园仪仗队的学生人数等于该校总人数乘以参加选拔校园仪仗队的学生的百分数即可答案.
19．【答案】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的根，
∴传统车辆的配送速度为：，
∴无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．
（2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则：
解得：
∴无人机的速度至少提高到70千米/时.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据题目情境列分式方程求解即可.
（2）设无人机的速度提高到千米/时，根据前10分钟无人机的行程加提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式解答即可.
（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．
（2）设无人机的速度提高到千米/时，则
答：无人机的速度至少提高到70千米/时，
20．【答案】（1）解：如图，
根据题意得：，，，
．
在中，，
．
∴应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工.
（2）解：能，理由如下：
如图，
过点作于点，则，
在中，，
，
，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题目情境得等于，等于，等于，即可得等于
，根据三角函数定义得应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工.
（2）过点作于点，根据等于乘以，即可求出，进一步可判断能保证货车顺利进入地下停车场．
（1）解：由题意可知：，，，
．
在中，，
．
答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点作于点，
则，
在中，，
，
，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
21．【答案】解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）两点之间线段最短.
【分析】（1）利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：设矩形是其美好矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴或.
（3）解：或2或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，即，
①顶点在x轴上，端点纵坐标是，
即或，
解得：或，均符合题意，
②端点在x轴上，顶点纵坐标是，
即或，
解得：或（舍去，不符合a，b大小关系）或或或（舍去，不满足a，b大小关系）；
当对称轴不在x的取值范围内时，
有：或，
解得：或，
综上所述，或2或．
【分析】（1）根据求出A点和C的坐标，进一步得B点和D的坐标，然后求出，，再根据矩形面积公式即可求解.
（2）设矩形是其美好矩形，即可得，，进一步得等于，等于，根据矩形面积公式列方程解出即可得或.
（3）根据美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，得正方形的边长为，根据二次函数的对称轴为直线，当时，顶点在x轴上，端点纵坐标是，列方程组解出得b的值，同理得端点在x轴上，顶点纵坐标是时，b的值，当对称轴不在x的取值范围内时，b的值，综合即可得或2或.
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：设矩形是其美好矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴或；
（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为，
二次函数的对称轴为直线，
当时，即，
①顶点在x轴上，端点纵坐标是，
即或，
解得：或，均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是，
即或，
解得：或（舍去，不符合a，b大小关系）或或或（舍去，不满足a，b大小关系）；
当对称轴不在x的取值范围内时，
有：或，
解得：或，
综上所述，或2或．
23．【答案】解：（1）如图，
连接，
∵，
∴，
∴
（2）如图，
过点E作，交的延长线于点G，则，
∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点．
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点．
（3）当，如图，
根据旋转的性质得：，
取的中点N，连接，交于点P，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，解得，
当，如图，
根据旋转的性质，得，
取的中点M，连接，交于点Q，则，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，根据等于，相等，相等，即可证明
全等，根据全等性质即可得.
（2）过点E作平行，交的延长线于点G，则相等，根据旋转性质得相等，相等，都，进一步得都相等，相等，进一步即可得全等，可得相等，可得点是的中点．
（3）当等于，根据旋转的性质得相等，取的中点N，连接，交于点P，则垂直，即可得平行，等于，进一步根据条件求出，，根据即可得，同理可得当时，，综上所述，的长为或．
1 / 1广东省珠海市文园中学(集团)2025年中考第三次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ａ错误.
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故Ｃ错误.
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的图形进行判断即可得答案.
2．被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(　　）
A．55×10 B．5.5×10 C．5.5×10 D．0.55×10
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得.
3．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项错误，故不符合题意；
B、，选项错误，故不符合题意；
C、，选项错误，故不符合题意；
D、，选项正确，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用积的乘方法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式可对C作出判断；然后利用平方差公式可对D作出判断.
4．代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题可知：，
解得：．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】利用分式及二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可.
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（　　）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的面积等于菱形的两条对角线乘积的一半可求解．
7．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：B．
【分析】作垂直于点，根据角平分线的性质得等于，根据特殊角的三角函数值求得等于，可得是等腰直角三角形，即可得等于1，等于，根据勾股定理得等于.
8．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（　　）
A．85 B．81 C．73 D．71
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：根据题意得：
第①个图形需要9根小木棒，
第②个图形需要17根，即，
第③个图形需要25根，即，
观察发现，第n个图形需要（根），
第⑩个图形需要根，
故答案为：B ．
【分析】根据题目情境，结合图形得第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，即，第③个图形需要25根，即，观察发现，第n个图形需要（根），即可得第⑩个图形需要小木棒的根数.
9．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】先根据垂径定理可得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求得．
10．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵中，，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内的增大而减小，
∵，，都在函数图象上，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系可得在每个象限内的增大而减小，再结合，最后求出即可.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据分式加减的运算法则，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可计算．
12．某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为　 　．（结果保留小数点后一位）
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中信息可知，当实验次数越来越多时，估计冰壶“掷到中心区域”的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【分析】
先观察表格中不同投掷次数下“投掷到中心区域”的频率数据，分析频率随着投掷次数增加的变化趋势，当试验次数不断增加时，“摆放到中心区域”的频率会逐渐稳定在一个数值附近，利用频率估计概率解答即可．
13．如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：是正六边形的外角，
是正五边形的外角，
，
，
故答案为：．
【分析】利用正多边形的性质求出，，最后利用角的运算求出的度数即可.
14．如图，在正方形中，点是边上一点，将正方形沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
根据正方形性质，结合折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据正方形性质，结合折叠性质得垂直，等于，都等于，进一步得全等，即可得等于5，根据勾股定理得，即可得全等，根据正弦定义相等，即可得，进一步得的长为.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数y＝kx+b，
当x=0时，y=b，
∴B(0，b)，
当y=0时，kx+b=0，
解得x=，
∴A(，0)，
∵点C（2，4），B为线段AC的中点，
∴点B纵坐标为2，
∴B(0，2)，
即b=2，
∵点A与点C关于点B对称，
∴点A横坐标为-2，
∴A(-2，0)，
即=-2，
∴k=1，
∴一次函数解析式为y=x+2，
∵反比例函数y＝（m＞0）的图象过点C(2，4)，
∴将点C(2，4)代入，得m=8，
∴反比例函数y＝，
延长ED交y轴于点F，
设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝，得x=，
则E(，a)，
把y=a代入y=x+2，得x+2=a，
∴x=a-2，
∴D(a-2，a)，
∴S△ODE= S△OFE- S△OFD=，
∵EF=，DF=a-2，OF=a，
∴S△ODE==，
∴当a=1时，S△ODE有最大值，最大值为．
故答案为．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得B(0，b)，A(，0)，根据线段中点坐标可得B(0，2)，则b=2，根据对称性质可得点A横坐标为-2，则k=1，即一次函数解析式为y=x+2，根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式解得反比例函数y＝，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，把y=a代入y＝，得x=，则E(，a)，将y=a代入y=x+2可得D(a-2，a)，再根据三角形，结合二次函数性质即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义，负整数指数幂法则以及算术平方根把进行化简得，再加减运算即可得出答案．
17．如图，在平行四边形中，E是边上一点，，．
（1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，求四边形的周长．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形的周长为．
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）利用过一个定点作已知直线的平行线的方法和步骤求解即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再利用平行线的性质可得，，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形的周长为．
18．【问题情境】文园中学准备开展校庆活动，需选拔若干名身高相近的学生组成仪仗队进行方阵表演．为此，要先开展一次调查研究来了解全校学生的身高分布情况．
【调查方案】选取100个人进行调查，现有三种调查方案：
方案A：在各个班级后两排中随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析；
方案B：在各个班级随机选取100名男学生的身高作为样本进行调查分析；
方案C：在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析．
（1）其中抽取的样本具有代表性的方案是 ▲ （填“A”“B”或“C”）．
【数据整理】学校根据样本数据，整理成表格（注：每组身高含最低值，不含最高值）；
身高段（单位：） 频数
① 10
② 50
③
④ 10
【问题解决】请结合表中信息解答下列问题：
（2）填空： ▲ ；
（3）估计该校学生身高的中位数落在身高段 ▲ （填“①”“②”“③”或“④”）；
（4）现需选拔身高达到及以上的人组成仪仗队，若该校有1500名学生，请估计能参加选拔校园仪仗队的学生人数．
【答案】解：（1）C
（2）
（3）②
（4）根据题意得：（人）
∴参加选拔校园仪仗队的学生人数为150人.
【知识点】抽样调查的可靠性；频数与频率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题目情境得：
在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析．
故答案为：C.
（2）∵选取100个人，
∴，
故答案为：.
（3）∵选取100个人，
∴中位数排在第和名之间，
∵
∴估计该校学生身高的中位数落在身高段②，
故答案为：②.
【分析】（1）根据抽样调查的可靠性，在各个班级随机选取100名学生的身高作为样本进行调查分析，即可得答案.
（2）根据选取选取100个人，即可得.
（3）根据选取选取100个人，可得中位数排在第和名之间，进一步可得估计该校学生身高的中位数落在身高段②.
（4）根据题目情境得参加选拔校园仪仗队的学生人数等于该校总人数乘以参加选拔校园仪仗队的学生的百分数即可答案.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟．
（1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时；
（2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务．
【答案】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，由题意得：
解得，
经检验，是原分式方程的根，
∴传统车辆的配送速度为：，
∴无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．
（2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则：
解得：
∴无人机的速度至少提高到70千米/时.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据题目情境列分式方程求解即可.
（2）设无人机的速度提高到千米/时，根据前10分钟无人机的行程加提速后8分钟的行程大于等于16千米列不等式解答即可.
（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时．
（2）设无人机的速度提高到千米/时，则
答：无人机的速度至少提高到70千米/时，
20．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离．
（1）为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，
根据题意得：，，，
．
在中，，
．
∴应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工.
（2）解：能，理由如下：
如图，
过点作于点，则，
在中，，
，
，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题目情境得等于，等于，等于，即可得等于
，根据三角函数定义得应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工.
（2）过点作于点，根据等于乘以，即可求出，进一步可判断能保证货车顺利进入地下停车场．
（1）解：由题意可知：，，，
．
在中，，
．
答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工；
（2）能，理由如下：
如图，过点作于点，
则，
在中，，
，
，
∴能保证货车顺利进入地下停车场．
21．综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）两点之间线段最短.
【分析】（1）利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可.
五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．
例如：如图1，已知，矩形，轴，点B在上，点C在上，则矩形为的美好矩形．
（1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
（2）如图3，点A的坐标为，点B是函数图象上一点，且横坐标为m，若函数图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；
（3）对于实数a，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，请直接写出b的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：设矩形是其美好矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴或.
（3）解：或2或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，即，
①顶点在x轴上，端点纵坐标是，
即或，
解得：或，均符合题意，
②端点在x轴上，顶点纵坐标是，
即或，
解得：或（舍去，不符合a，b大小关系）或或或（舍去，不满足a，b大小关系）；
当对称轴不在x的取值范围内时，
有：或，
解得：或，
综上所述，或2或．
【分析】（1）根据求出A点和C的坐标，进一步得B点和D的坐标，然后求出，，再根据矩形面积公式即可求解.
（2）设矩形是其美好矩形，即可得，，进一步得等于，等于，根据矩形面积公式列方程解出即可得或.
（3）根据美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，得正方形的边长为，根据二次函数的对称轴为直线，当时，顶点在x轴上，端点纵坐标是，列方程组解出得b的值，同理得端点在x轴上，顶点纵坐标是时，b的值，当对称轴不在x的取值范围内时，b的值，综合即可得或2或.
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：设矩形是其美好矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴或；
（3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，
∴正方形的边长为，
二次函数的对称轴为直线，
当时，即，
①顶点在x轴上，端点纵坐标是，
即或，
解得：或，均符合题意；
②端点在x轴上，顶点纵坐标是，
即或，
解得：或（舍去，不符合a，b大小关系）或或或（舍去，不满足a，b大小关系）；
当对称轴不在x的取值范围内时，
有：或，
解得：或，
综上所述，或2或．
23．综合与探究
问题情境
在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由．
数学思考
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究
（2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．
（3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图，
连接，
∵，
∴，
∴
（2）如图，
过点E作，交的延长线于点G，则，
∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点．
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点．
（3）当，如图，
根据旋转的性质得：，
取的中点N，连接，交于点P，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，解得，
当，如图，
根据旋转的性质，得，
取的中点M，连接，交于点Q，则，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，根据等于，相等，相等，即可证明
全等，根据全等性质即可得.
（2）过点E作平行，交的延长线于点G，则相等，根据旋转性质得相等，相等，都，进一步得都相等，相等，进一步即可得全等，可得相等，可得点是的中点．
（3）当等于，根据旋转的性质得相等，取的中点N，连接，交于点P，则垂直，即可得平行，等于，进一步根据条件求出，，根据即可得，同理可得当时，，综上所述，的长为或．
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